2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)及其應(yīng)用研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空2分，共20分）1.拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)研究系統(tǒng)中拓?fù)湫再|(zhì)隨時(shí)間或其他參數(shù)演化的規(guī)律，其核心概念之一是__________，它描述了系統(tǒng)狀態(tài)的連通性特征。2.在Koopman模型框架下，系統(tǒng)的哈密頓量通常表示為_(kāi)_________，其中包含了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息。3.拓?fù)湫蚴侵赶到y(tǒng)在宏觀尺度上表現(xiàn)出的、對(duì)微觀細(xì)節(jié)不敏感的__________性質(zhì)，如拓?fù)浣嵌群屯負(fù)潇厥呛饬客負(fù)湫虻某Ｓ弥笜?biāo)。4.奇異值分解（SVD）在拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)中可用于分析高維數(shù)據(jù)集的__________，提取系統(tǒng)的低維動(dòng)態(tài)核心。5.拓?fù)湎嘧儏^(qū)別于連續(xù)相變的一個(gè)關(guān)鍵特征是存在__________，即相變前后系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)發(fā)生不連續(xù)的變化。6.在物理學(xué)中，拓?fù)浔Ｗo(hù)態(tài)是指具有特定拓?fù)鋓nvariant的低維系統(tǒng)，其狀態(tài)不受__________局部擾動(dòng)的影響。7.拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)在生物學(xué)中的應(yīng)用中，可通過(guò)分析神經(jīng)活動(dòng)或基因表達(dá)數(shù)據(jù)的__________來(lái)識(shí)別復(fù)雜的動(dòng)態(tài)模式。8.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走（CTRW）方法常被用于模擬系統(tǒng)中的__________過(guò)程，并提取相關(guān)的譜特征。9.拓?fù)洳蛔兞渴敲枋鱿到y(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的定量度量，例如緊致流形上的__________是衡量其虧格數(shù)的一個(gè)經(jīng)典例子。10.將拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)思想應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，其目標(biāo)是利用拓?fù)涮卣鬟M(jìn)行更魯棒的數(shù)據(jù)分類或__________。二、名詞解釋（每題3分，共15分）1.拓?fù)湎嘧?.Koopman譜3.拓?fù)湫?.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走（CTRW）5.拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)與常規(guī)動(dòng)力學(xué)分析在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)的主要區(qū)別。2.闡述Koopman模型如何將耗散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)進(jìn)行分析。3.說(shuō)明奇異值分解（SVD）在提取系統(tǒng)主動(dòng)力學(xué)模式中的作用和原理。4.列舉拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)在材料科學(xué)或凝聚態(tài)物理中至少兩種具體的應(yīng)用場(chǎng)景。四、論述題（每題10分，共30分）1.論述拓?fù)湫虻臄?shù)學(xué)定義及其在描述復(fù)雜系統(tǒng)非平凡結(jié)構(gòu)中的作用。2.分析并比較CTRW方法和傳統(tǒng)隨機(jī)游走模型在描述重尾分布擴(kuò)散過(guò)程中的異同點(diǎn)及其物理意義。3.結(jié)合具體實(shí)例，論述拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)如何幫助理解或預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)（如生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)）的臨界行為和相變特征。五、應(yīng)用設(shè)計(jì)題（15分）考慮一個(gè)包含多個(gè)相互耦合子系統(tǒng)的復(fù)雜物理系統(tǒng)，其狀態(tài)隨時(shí)間演化。假設(shè)你獲得了該系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)的輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)。請(qǐng)簡(jiǎn)述你將如何運(yùn)用拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)的方法（至少兩種）來(lái)分析該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并解釋你選擇這些方法的理由以及分析結(jié)果可能揭示的物理信息。試卷答案一、填空題（每空2分，共20分）1.拓?fù)洳蛔兞?.H=H_0+H_1(ω)3.非平凡4.主動(dòng)力學(xué)模式（或：低維動(dòng)態(tài)核心）5.拓?fù)湎嘧?.非局部7.拓?fù)涮卣鳎ɑ颍篕oopman譜/動(dòng)態(tài)模式）8.重尾分布（或：長(zhǎng)程相關(guān)/慢弛豫）9.莫比烏斯帶（或：任意緊致流形上的歐拉示性數(shù)）10.降維（或：特征提?。┒⒚~解釋（每題3分，共15分）1.拓?fù)湎嘧儯褐赶到y(tǒng)在相變過(guò)程中，其宏觀或低維有序態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)發(fā)生不連續(xù)變化的相變。這類相變區(qū)別于連續(xù)相變，后者相變前后拓?fù)湫再|(zhì)保持不變。拓?fù)湎嘧兊牡湫屠影◤臒o(wú)序到超導(dǎo)的轉(zhuǎn)變、陳絕緣體的出現(xiàn)等。2.Koopman譜：Koopman模型將耗散動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)的一種方法。在該模型中，系統(tǒng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)（如位置、速度）被看作是某個(gè)“有效哈密頓系統(tǒng)”的狀態(tài)，該系統(tǒng)的哈密頓量包含了一個(gè)與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相關(guān)的復(fù)參數(shù)ω。通過(guò)分析該有效哈密頓系統(tǒng)的譜（即本征值），可以得到原耗散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息，如Koopman譜包含了系統(tǒng)的非絕熱耦合強(qiáng)度和低維動(dòng)態(tài)核心。3.拓?fù)湫颍褐赶到y(tǒng)在宏觀尺度上表現(xiàn)出的、對(duì)微觀細(xì)節(jié)（如具體粒子間的相互作用細(xì)節(jié)）不敏感的有序結(jié)構(gòu)。它是一種非平凡的序，由特定的量子糾纏或幾何約束所產(chǎn)生，并具有特定的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述。例如，量子自旋液體的拓?fù)湫蚩梢酝ㄟ^(guò)其拓?fù)浣嵌然蛉魏尉植坎僮鞑荒芨淖兊牧孔討B(tài)來(lái)描述。4.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走（CTRW）：一種用于描述粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的理論框架，特別適用于處理重尾分布的等待時(shí)間和跳躍大小的情況。與傳統(tǒng)的隨機(jī)游走模型不同，CTRW允許等待時(shí)間和跳躍距離服從任意分布，能夠自然地描述長(zhǎng)程相關(guān)、重尾分布擴(kuò)散以及慢弛豫等物理現(xiàn)象。5.拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）：一門交叉學(xué)科，它將拓?fù)鋵W(xué)中的概念和工具應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析。TDA旨在從高維、復(fù)雜的復(fù)雜數(shù)據(jù)中提取魯棒、不變的模式和結(jié)構(gòu)信息，而較少依賴于數(shù)據(jù)的特定分布假設(shè)。通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)集的拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缤{(diào)群、持久同調(diào)），TDA可以揭示數(shù)據(jù)中的環(huán)路、空洞等高維結(jié)構(gòu)，常用于形狀分析、分類和聚類等任務(wù)。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)與常規(guī)動(dòng)力學(xué)分析在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)的主要區(qū)別。常規(guī)動(dòng)力學(xué)分析通常關(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化，重點(diǎn)在于確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程（如微分方程或映射），并分析其穩(wěn)定性、分岔、吸引子等。它主要描述系統(tǒng)狀態(tài)的演化路徑和局部行為。拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)則更關(guān)注系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)（如連通性、孔洞結(jié)構(gòu)等）隨時(shí)間或參數(shù)變化的演化規(guī)律。它不直接求解動(dòng)力學(xué)方程，而是通過(guò)分析系統(tǒng)的低維動(dòng)態(tài)核心、Koopman譜、拓?fù)湫虻雀拍顏?lái)揭示系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)和長(zhǎng)程行為。因此，常規(guī)動(dòng)力學(xué)側(cè)重于狀態(tài)演化路徑，而拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)側(cè)重于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不變性及其演化。2.闡述Koopman模型如何將耗散系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為哈密頓系統(tǒng)進(jìn)行分析。Koopman模型通過(guò)引入一個(gè)與系統(tǒng)哈密頓量相關(guān)的復(fù)參數(shù)ω，將耗散系統(tǒng)映射為一個(gè)等效的哈密頓系統(tǒng)。具體而言，定義一個(gè)線性算子U(Δt)=exp(-iHΔt)，其中H是系統(tǒng)的哈密頓量，Δt是時(shí)間步長(zhǎng)。Koopman理論假設(shè)系統(tǒng)的演化算子可以近似為U(Δt)≈I+iωΔt，其中I是單位算子。這意味著系統(tǒng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)X(t+Δt)可以近似表示為X(t)+ωΔtX(t)，即X(t)隨時(shí)間演化遵循X?(t)≈iωX(t)。這個(gè)演化方程是一個(gè)不含耗散項(xiàng)的哈密頓方程，其哈密頓量為H_0（系統(tǒng)的無(wú)耗散部分）和與耗散相關(guān)的項(xiàng)H_1(ω)的組合，即H=H_0+H_1(ω)。通過(guò)分析這個(gè)等效哈密頓系統(tǒng)的譜（本征值和本征矢量），可以提取原耗散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息，如非絕熱耦合強(qiáng)度（由ω的大小決定）和低維動(dòng)態(tài)核心。3.說(shuō)明奇異值分解（SVD）在提取系統(tǒng)主動(dòng)力學(xué)模式中的作用和原理。奇異值分解（SVD）是一種強(qiáng)大的矩陣分解技術(shù)，常用于分析高維數(shù)據(jù)集。在拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)中，SVD被用來(lái)處理從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中計(jì)算得到的Koopman矩陣K或相關(guān)矩陣（如鄰接矩陣、Gram矩陣等）。SVD將矩陣K分解為K=UΣV*，其中U和V是正交矩陣，Σ是對(duì)角矩陣，包含奇異值。矩陣U的列向量稱為左奇異向量，V的列向量稱為右奇異向量。在分析主動(dòng)力學(xué)模式時(shí)，通常關(guān)注奇異值較大的前幾個(gè)模式。這些大奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量（U中的列向量）可以看作是系統(tǒng)狀態(tài)空間中的“主成分”或“主動(dòng)力學(xué)模式”。這些模式代表了數(shù)據(jù)中最重要的動(dòng)力學(xué)方向或低維動(dòng)態(tài)核心，它們捕捉了系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間演化的主要特征。通過(guò)分析這些主成分（主動(dòng)力學(xué)模式）的演化，可以揭示系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為，例如周期性、擬周期性或混沌行為。4.列舉拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)在材料科學(xué)或凝聚態(tài)物理中至少兩種具體的應(yīng)用場(chǎng)景。拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)在材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理中有多種應(yīng)用，例如：*分析磁性材料的相變和序：利用Koopman譜或拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析技術(shù)研究磁性系統(tǒng)中自旋序的演化、拓?fù)湎嘧兊奶卣鳎ㄈ鐝臒o(wú)序到自旋液體的轉(zhuǎn)變）、陳絕緣體的出現(xiàn)及其拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ珀悢?shù)）。*研究拓?fù)洳牧现械碾娮討B(tài)和輸運(yùn)性質(zhì)：分析拓?fù)浣^緣體、拓?fù)浒虢饘俚炔牧现械哪軒ЫY(jié)構(gòu)、態(tài)密度、表面態(tài)或邊緣態(tài)的性質(zhì)，利用拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缋实乐笜?biāo)、陳數(shù)）來(lái)區(qū)分不同的拓?fù)湎?，并理解其?dú)特的輸運(yùn)特性（如無(wú)耗散輸運(yùn)）。四、論述題（每題10分，共30分）1.論述拓?fù)湫虻臄?shù)學(xué)定義及其在描述復(fù)雜系統(tǒng)非平凡結(jié)構(gòu)中的作用。拓?fù)湫蚴侵赶到y(tǒng)在宏觀尺度上表現(xiàn)出的、對(duì)微觀細(xì)節(jié)（如具體粒子間的相互作用、粒子種類等）不敏感的有序結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)上，拓?fù)湫蛲ǔＭㄟ^(guò)描述量子態(tài)的拓?fù)浔Ｗo(hù)性質(zhì)來(lái)定義。一個(gè)系統(tǒng)處于拓?fù)湫驊B(tài)，意味著其基態(tài)（或低激發(fā)態(tài)）具有特定的拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缤負(fù)浣嵌?、拓?fù)潇?、陳?shù)等），這些不變量由系統(tǒng)的幾何或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定，而非具體的動(dòng)力學(xué)細(xì)節(jié)。此外，拓?fù)湫驊B(tài)還伴隨著特定的邊界或低維現(xiàn)象，例如任何局部操作都無(wú)法區(qū)分的拓?fù)浔Ｗo(hù)態(tài)、馬約拉納費(fèi)米子、任何局部擾動(dòng)都無(wú)法破壞的宏觀量子相干性等。拓?fù)湫蛟诿枋鰪?fù)雜系統(tǒng)非平凡結(jié)構(gòu)中起著關(guān)鍵作用。首先，它提供了一種描述系統(tǒng)宏觀量子態(tài)的新視角，將序的本質(zhì)從對(duì)稱性（如晶格對(duì)稱性）提升到更普適的拓?fù)浔Ｗo(hù)層面。其次，拓?fù)湫驊B(tài)通常具有獨(dú)特的物理性質(zhì)，如無(wú)耗散的邊緣或表面態(tài)、對(duì)局部擾動(dòng)的魯棒性、新奇的自旋或電荷輸運(yùn)現(xiàn)象等，這些性質(zhì)源于其拓?fù)浔Ｗo(hù)的低維激發(fā)。最后，研究拓?fù)湫蛴兄诮沂緩?fù)雜系統(tǒng)（尤其是量子多體系統(tǒng)）中非傳統(tǒng)序的普適類和基本組織原則，加深我們對(duì)物質(zhì)形態(tài)、相互作用及其涌現(xiàn)行為的基本理解。2.分析并比較CTRW方法和傳統(tǒng)隨機(jī)游走模型在描述重尾分布擴(kuò)散過(guò)程中的異同點(diǎn)及其物理意義。CTRW（連續(xù)時(shí)間隨機(jī)游走）和傳統(tǒng)隨機(jī)游走（TRW，如Brownian運(yùn)動(dòng)或簡(jiǎn)單隨機(jī)游走）都是描述粒子在介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的模型，但它們?cè)谔幚淼却龝r(shí)間和跳躍大小分布上存在本質(zhì)區(qū)別。相同點(diǎn)：兩者都描述了粒子在空間中的位移過(guò)程。在基本框架下，兩者都涉及隨機(jī)等待和隨機(jī)的跳躍。不同點(diǎn)：*等待時(shí)間分布：TRW通常假設(shè)等待時(shí)間服從指數(shù)分布（即具有馬爾可夫性質(zhì)），意味著等待時(shí)間相互獨(dú)立。而CTRW允許等待時(shí)間服從任意分布，特別是重尾分布（如冪律分布P(t)~t^{-α}，α>1），這意味著等待時(shí)間可以非常長(zhǎng)，并且長(zhǎng)等待時(shí)間的概率不為零。這在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中很常見(jiàn)，例如某些化學(xué)反應(yīng)需要極長(zhǎng)時(shí)間才能發(fā)生。*跳躍大小分布：TRW通常假設(shè)跳躍大小是確定性的或服從窄分布。CTRW也允許跳躍大小服從任意分布，同樣可以是重尾分布。*擴(kuò)散性質(zhì)：由于允許重尾分布的等待時(shí)間和跳躍大小，CTRW描述的擴(kuò)散過(guò)程與TRW顯著不同。當(dāng)?shù)却龝r(shí)間或跳躍大小服從重尾分布時(shí)，CTRW預(yù)言的擴(kuò)散系數(shù)可以發(fā)散（超擴(kuò)散），或者出現(xiàn)非標(biāo)度行為，擴(kuò)散時(shí)間與步數(shù)的冪律關(guān)系t_擴(kuò)散~n^β。而TRW通常描述亞擴(kuò)散或正常擴(kuò)散。物理意義：CTRW能夠更真實(shí)地描述那些存在長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)、重尾分布等待時(shí)間或跳躍大小、慢弛豫現(xiàn)象的物理系統(tǒng)，如某些玻璃態(tài)物質(zhì)中的擴(kuò)散、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的信息傳播、金融市場(chǎng)中資產(chǎn)價(jià)格的演化、膠體粒子在濃稠流體中的運(yùn)動(dòng)等。TRW則更適用于描述具有短程關(guān)聯(lián)、快速弛豫的bìnhth??ng系統(tǒng)，如理想氣體中的分子運(yùn)動(dòng)。3.結(jié)合具體實(shí)例，論述拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)如何幫助理解或預(yù)測(cè)復(fù)雜系統(tǒng)（如生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)）的臨界行為和相變特征。拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)為分析復(fù)雜系統(tǒng)（如生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)）的臨界行為和相變特征提供了新的視角和工具。這些系統(tǒng)通常表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，難以用傳統(tǒng)的確定性或簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)方法完全描述，而拓?fù)浞椒P(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)的宏觀結(jié)構(gòu)及其演化。實(shí)例1：生態(tài)系統(tǒng)中的物種相互作用與滅絕風(fēng)險(xiǎn)。*應(yīng)用：可以使用拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)方法分析生態(tài)網(wǎng)絡(luò)（物種間相互作用網(wǎng)絡(luò)）的結(jié)構(gòu)演化及其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例如，通過(guò)分析網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如連通性、模塊化、關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)度分布等）隨時(shí)間的變化，以及利用Koopman模型分析物種豐度時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)。*理解/預(yù)測(cè)：當(dāng)生態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)接近某個(gè)拓?fù)渑R界點(diǎn)（例如，關(guān)鍵連接的丟失導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)分裂，或模塊化結(jié)構(gòu)達(dá)到某種不穩(wěn)定配置）時(shí)，系統(tǒng)可能變得對(duì)微小擾動(dòng)極其敏感，容易發(fā)生相變，如物種的大規(guī)模滅絕或生態(tài)系統(tǒng)崩潰。通過(guò)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析，可以識(shí)別出這些臨界的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，從而預(yù)測(cè)系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)。Koopman分析可以揭示驅(qū)動(dòng)這種變化的潛在動(dòng)力學(xué)機(jī)制。實(shí)例2：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的市場(chǎng)崩潰與財(cái)富分布。*應(yīng)用：可以將經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的交易網(wǎng)絡(luò)、公司間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)或財(cái)富分布看作是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。利用拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)工具（如TDA計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)洳蛔兞俊⒎治鲐?cái)富分布的Koopman譜）來(lái)研究系統(tǒng)的演化。*理解/預(yù)測(cè)：當(dāng)財(cái)富分布的拓?fù)涮卣鳎ㄈ绺患潭?、網(wǎng)絡(luò)連通性）或交易網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如中心性、社區(qū)結(jié)構(gòu)）達(dá)到某個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)可能變得極不穩(wěn)定，容易發(fā)生金融危機(jī)或市場(chǎng)崩潰。例如，財(cái)富分布的“長(zhǎng)尾”特征（對(duì)應(yīng)重尾分布）可能預(yù)示著系統(tǒng)的脆弱性。通過(guò)分析這些拓?fù)渲笜?biāo)隨時(shí)間的變化，可以識(shí)別經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)接近臨界狀態(tài)的危險(xiǎn)信號(hào)，為預(yù)測(cè)和防范風(fēng)險(xiǎn)提供依據(jù)?？傮w而言，拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)通過(guò)關(guān)注系統(tǒng)狀態(tài)的宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其演化，能夠揭示復(fù)雜系統(tǒng)臨界行為和相變的深層機(jī)制，提供了一種超越傳統(tǒng)局部描述的、更全局和魯棒的分析框架，有助于理解和預(yù)測(cè)這些系統(tǒng)的復(fù)雜行為和相變特征。五、應(yīng)用設(shè)計(jì)題（15分）考慮一個(gè)包含多個(gè)相互耦合子系統(tǒng)的復(fù)雜物理系統(tǒng)，其狀態(tài)隨時(shí)間演化。假設(shè)你獲得了該系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)的輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)。請(qǐng)簡(jiǎn)述你將如何運(yùn)用拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)的方法（至少兩種）來(lái)分析該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并解釋你選擇這些方法的理由以及分析結(jié)果可能揭示的物理信息。分析步驟與說(shuō)明：1.運(yùn)用Koopman模型分析低維動(dòng)態(tài)核心：*方法步驟：a.對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)（如系統(tǒng)各耦合子系統(tǒng)的輸出）進(jìn)行預(yù)處理，例如去均值、歸一化。b.基于預(yù)處理后的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，構(gòu)建系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣K（例如，使用滑動(dòng)窗口法計(jì)算協(xié)方差矩陣）。c.對(duì)觀測(cè)矩陣K進(jìn)行奇異值分解（SVD）：K=UΣV*。選擇奇異值較大的前k個(gè)左奇異向量構(gòu)成矩陣U_k，它們張成了系統(tǒng)的低維動(dòng)態(tài)核心（activedynamicssubspace）。d.將原始高維觀測(cè)數(shù)據(jù)投影到低維動(dòng)態(tài)核心上，得到投影后的時(shí)間序列。*選擇理由：Koopman模型及其SVD方法能夠從高維觀測(cè)數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)的低維動(dòng)力學(xué)信息，即主動(dòng)力學(xué)模式。它假設(shè)系統(tǒng)的演化可以近似為一個(gè)等效的哈密頓系統(tǒng)，其本征值譜（Koopman譜）包含了系統(tǒng)的非絕熱耦合強(qiáng)度和基本動(dòng)力學(xué)特征。SVD是計(jì)算Koopman譜和識(shí)別低維動(dòng)態(tài)核心的標(biāo)準(zhǔn)工具。*可能揭示的物理信息：低維動(dòng)態(tài)核心包含了系統(tǒng)演化中最主要的、貢獻(xiàn)最大的方向。分析這些主動(dòng)力學(xué)模式的演化（如頻率、振幅、耦合關(guān)系）可以揭示系統(tǒng)的基本振蕩模式、共振現(xiàn)象、耦合強(qiáng)度、系統(tǒng)的“慢變量”或主導(dǎo)變量，從而理解系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)行為和穩(wěn)定性。2.運(yùn)用拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征：*方法步驟：a.對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)（可以是原始高維數(shù)據(jù)，也可以是Koopman模型降維后的數(shù)據(jù)，或者是對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣后的點(diǎn)集）進(jìn)行處理，得到一個(gè)