2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)學邏輯排列組合在算法設計中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設集合A={1,2,3,...,n}，其中n≥2。記A上所有排列的集合為S(A)。請定義一個算法，用于生成S(A)中的所有排列。要求算法描述清晰，并簡要分析該算法在最壞情況下的時間復雜度。在您的算法描述中，請包含對以下兩種特殊情況的處理：1)n為奇數(shù)；2)n為偶數(shù)。二、給定一個包含n個不同元素的集合S。設計一個算法，用于計算S中所有非空子集的個數(shù)。請描述您的算法，并分析其時間復雜度。三、考慮一個有向無環(huán)圖（DAG）G=(V,E)，其中V是頂點集合，E是邊集合。假設對每個頂點v∈V，都有一個正整數(shù)權值w(v)相關聯(lián)。設計一個算法，用于找出G中所有頂點的一個排列π=(v1,v2,...,vn)，使得對于圖中任意一條有向邊(vk,vl)∈E（其中1≤k<l≤n），都有w(vk)≤w(vl)。請描述您的算法，并證明其正確性。四、設有n個不同元素，需要將它們排成一列。如果其中恰好有k個元素的位置是逆序的（即存在一對元素vi,vj，滿足i<j但排列中vi在vj之后），這樣的排列有多少種？請給出計算該數(shù)量的公式，并簡要說明您的推導過程。五、利用容斥原理，證明在n個人組成的集合中，至少有3個人是相互認識的（即他們之間兩兩都認識）或者至少有3個人是相互不認識的（即他們之間兩兩都不認識），其中“認識”關系是傳遞的。六、設計一個算法，用于生成集合{1,2,...,n}的所有子集。要求每個子集以無序的方式（即不考慮元素順序）輸出。請描述您的算法，并分析其時間復雜度。請?zhí)貏e說明，當n較大時，如何有效地存儲和輸出所有生成的子集。七、給定一個長度為n的整數(shù)序列a1,a2,...,an。請設計一個算法，用于找出序列中所有上升子序列的最長長度。上升子序列是指序列中一個或多個元素組成的非空子序列，該子序列中的元素在原序列中是嚴格遞增的，且在原序列中的相對順序保持不變。請描述您的算法，并分析其時間復雜度。八、設有n個球和n個盒子，編號分別為{1,2,...,n}。請設計一個算法，計算將這n個球放入n個盒子中（每個盒子放一個球）的不同方案總數(shù)。要求方案計數(shù)中考慮球和盒子的區(qū)分（即球不同、盒子也不同）。請給出計數(shù)公式，并簡要說明理由。試卷答案一、算法描述：使用遞歸函數(shù)進行深度優(yōu)先搜索（DFS）。1.定義遞歸函數(shù)`generate_permutation(current_permutation,available_elements)`，其中`current_permutation`是當前已構建的部分排列，`available_elements`是尚未使用的元素集合。2.如果`available_elements`為空，則將`current_permutation`輸出。3.否則，遍歷`available_elements`中的每一個元素`x`：a.從`available_elements`中移除`x`，將其添加到`current_permutation`的末尾，形成新的部分排列`new_permutation`。b.遞歸調(diào)用`generate_permutation(new_permutation,available_elements\{x})`。c.將`x`恢復到`available_elements`中（回溯）。4.從初始調(diào)用`generate_permutation([],{1,2,...,n})`開始執(zhí)行。復雜度分析：共有n!個排列。每次遞歸調(diào)用處理一個元素，遞歸深度為n?？偟倪f歸調(diào)用次數(shù)是n!。在每次調(diào)用中，生成新排列和更新可用元素集合的操作是O(n)的。因此，最壞情況時間復雜度為O(n*n!)。特殊情況處理：算法本身對n的奇偶性沒有特殊要求，遞歸邏輯一致。在n為奇數(shù)或偶數(shù)時，均能正確生成所有n!個排列。二、算法描述：利用二進制表示法。1.對于集合S中的每個元素，考慮其在一個n位二進制數(shù)中的位置。2.對于S中的任何一個元素，它出現(xiàn)在某個子集中當且僅當對應二進制數(shù)的相應位為1。3.因此，所有非空子集可以由1到2^n-1之間的所有二進制數(shù)表示。4.遍歷從1到2^n-1的所有整數(shù)，對于每個整數(shù)，將其二進制表示轉(zhuǎn)換為對應的子集。復雜度分析：共有2^n個子集（包括空集）。生成每個子集需要O(n)的時間（將整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制表示并映射到元素）。因此，總時間復雜度為O(n*2^n)。三、算法描述：利用拓撲排序思想。1.將DAGG=(V,E)輸入。2.計算每個頂點v∈V的出度（即以v為起點的邊的數(shù)量）。3.創(chuàng)建一個優(yōu)先隊列（例如最大堆），按照頂點的出度進行排序。出度小的頂點優(yōu)先排列。4.如果存在多個頂點具有相同的出度，可以根據(jù)頂點的編號進行排序（例如，編號小的優(yōu)先）。5.初始化一個空列表`permutation`用于存儲排列結(jié)果。6.當優(yōu)先隊列非空時，執(zhí)行以下操作：a.從優(yōu)先隊列中取出一個頂點v。b.將v添加到`permutation`的末尾。c.對于所有以v為起點的邊(v,w)，將頂點w的出度減1。d.如果頂點w的出度變?yōu)?，將其加入優(yōu)先隊列。7.當優(yōu)先隊列為空且`permutation`包含n個頂點時，`permutation`即為所求的排列。正確性證明：（循環(huán)不變量證明）維護一個循環(huán)不變量：在每一步，優(yōu)先隊列中所有頂點的出度均小于當前步驟加入排列的頂點在加入之前的出度。初始化：開始時，優(yōu)先隊列根據(jù)出度排序，滿足不變量。迭代：假設在某一時刻，當前隊列頭部頂點v的出度為k，且已根據(jù)出度排序。執(zhí)行步驟6a，將v加入排列。步驟6c會將所有從v出發(fā)的邊的目標頂點w的出度減1。對于這些頂點w，它們在加入排列v之前的出度都至少為k+1（否則v不可能在此時被取出）。減1后，它們的出度變?yōu)閗。由于優(yōu)先隊列是基于出度排序的，這些出度變?yōu)閗的頂點要么已經(jīng)在隊列中（出度仍小于k），要么將在后續(xù)步驟中被取出（因為它們的出度仍然小于當前排列的長度）。因此，優(yōu)先隊列仍然保持按出度排序的性質(zhì)，循環(huán)不變量在每次迭代后依然成立。終止：當所有頂點都被加入排列時，最后一個加入的頂點的出度必然為0（否則優(yōu)先隊列未空）。此時排列長度為n，所有頂點出度都小于n，滿足排列的性質(zhì)。并且由于DAG的性質(zhì)，最終所有頂點都會被加入排列。因此，算法終止時得到的排列滿足w(vk)≤w(vl)對于所有1≤k<l≤n且(vk,vl)∈E。四、計算公式：設C(n,k)表示從n個元素中選取k個元素的組合數(shù)。令S(n,k)表示n個元素排列中恰好有k個逆序的排列數(shù)量。則S(n,k)=C(n,k)*D(n,k)，其中D(n,k)是將n個元素排成恰好有k個逆序的特定模式（例如字典序最小模式）的方法數(shù)。對于n個元素的任意排列，其逆序數(shù)k可以在0到n*(n-1)/2之間。由于排列總數(shù)為n!，我們有Σ_{k=0}^{n*(n-1)/2}S(n,k)=n!。要計算恰好有k個逆序的排列數(shù)量，可以使用帕斯卡三角形（楊輝三角）的性質(zhì)：S(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)這個公式的推導可以通過考慮第n個元素的位置來獲得。如果第n個元素是最大的（假設元素互不相同），那么逆序數(shù)等于前n-1個元素中比它小的元素數(shù)量（即k-1個逆序來自于這部分），此時逆序數(shù)為k-1的排列數(shù)為C(n-1,k-1)。如果第n個元素不是最大的，那么它必須排在比它小的元素之后才能增加逆序數(shù)。前n-1個元素中比它小的元素有n-1-k個，逆序數(shù)為k的排列數(shù)為C(n-1,k)。因此，總的S(n,k)是這兩種情況的和。推導過程：考慮n個元素的排列。設第n個元素為x。令A是前n-1個元素中小于x的元素集合，B是前n-1個元素中大于x的元素集合。在排列中，A中的元素必須都在x之前，B中的元素必須都在x之后，才能保證x不增加逆序數(shù)。設A有m個元素。如果x是排列中第m+1個位置（即A的元素都在它前面，B的元素都在它后面），那么前m個元素必須全部來自A，后面n-1-m個元素必須全部來自B。這種情況下，前m個元素內(nèi)部可以有C(m,m)=1種排列方式，后面n-1-m個元素內(nèi)部可以有C(n-1-m,n-1-m)=1種排列方式。因此，當x處于第m+1位時，恰好有n-1-m個逆序的排列數(shù)為C(m,m)*C(n-1-m,n-1-m)=1*1=1。如果x不是第m+1位，那么逆序數(shù)會大于n-1-m?？紤]所有將x放在位置j(m<j≤n-1)的情況。對于每個j，前j-1個位置必須全部來自A，第j個位置是x，后面n-1-j個位置必須全部來自B。此時，前j-1個元素來自A的排列方式有C(j-1,j-1)=1種，后面n-1-j個元素來自B的排列方式有C(n-1-j,n-1-j)=1種。因此，當x放在位置j時，恰好有n-1-m個逆序的排列數(shù)為C(j-1,j-1)*C(n-1-j,n-1-j)=1*1=1。所以，恰好有n-1-m個逆序的排列數(shù)等于集合A的元素個數(shù)m的取值方式的數(shù)量，即C(n-1,n-1-m)=C(n-1,m)。對所有可能的m(即A的大小，從0到n-1)求和，得到總的恰好有k(k=n-1-m)個逆序的排列數(shù)為Σ_{m=0}^{n-1}C(n-1,m)=2^(n-1)。但這與Σ_{k=0}^{n-1}S(n,k)=n!矛盾。修正思路：我們需要考慮x的位置j不只是取決于m，還取決于k。更準確的推導是基于遞歸關系S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)。這可以通過考慮第n個元素x的位置來推導：如果x是排列中最后（第n）個位置，那么前n-1個元素必須形成恰好k-1個逆序的排列，數(shù)量為S(n-1,k-1)。如果x不是最后一個位置，它必須排在比它小的元素之后才能貢獻逆序數(shù)。前n-1個元素中比x小的元素有n-1-k個，這些元素必須都在x之后。這意味著前n-1-k個元素（都比x?。┍仨毿纬汕『胟個逆序的排列，數(shù)量為S(n-1,k)。因此，S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)。這個遞歸關系與帕斯卡三角形相同，其邊界條件為S(1,0)=1,S(1,1)=1。因此，S(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。五、證明：使用鴿巢原理（抽屜原理）。1.定義n個人組成的集合為V={p1,p2,...,pn}。2.定義關系：對于任意兩個人pi,pj∈V，如果他們相互認識，則稱他們屬于關系“認識”；如果他們相互不認識，則稱他們屬于關系“不認識”。3.假設“認識”關系是傳遞的。這意味著如果A認識B，B認識C，那么A也認識C。4.對于集合V中的任意一個人pi，考慮他與其他n-1個人的關系：他要么認識對方，要么不認識對方。由于關系是傳遞的，他不能同時與另一個人既認識又不認識。因此，對于pi，其他n-1個人可以分為兩類：a.與pi認識的人集合R(p_i)。b.與pi不認識的人集合N(p_i)。這兩類集合是V\{pi}的一個劃分，且R(p_i)和N(p_i)都是非空的（否則，如果R(p_i)為空，那么pi與所有人都不認識，與關系傳遞性矛盾；如果N(p_i)為空，那么pi與所有人認識，同樣與傳遞性矛盾，因為如果pi不認識某人q，那么根據(jù)傳遞性，pi也不認識與q認識的人，這與N(p_i)為空矛盾）。5.現(xiàn)在，考慮所有n個人組成的集合V。我們可以考察每個人與其他人的關系，這形成了n個集合{R(p_i),N(p_i)}(i=1..n)。6.對于任意兩個人pi和pj(i≠j)，他們要么都屬于R(p_i)和R(p_j)，要么都屬于N(p_i)和N(p_j)。否則，如果pi∈R(p_i)且pj∈N(p_i)，那么根據(jù)傳遞性，pi不認識與pj認識的人，這與pj∈N(p_i)矛盾。因此，對于關系“認識”或“不認識”，這n個人可以分為若干個“塊”，每個塊中的任意兩人要么相互認識，要么相互不認識。7.根據(jù)鴿巢原理，由于有n個人和2種關系（認識/不認識），至少有一個“塊”包含至少?n/2?個人。8.對于這個包含至少?n/2?個人的“塊”：a.如果這個塊中存在任意兩人相互認識，那么根據(jù)關系的定義和傳遞性，該塊中所有人相互認識，即存在至少3個人相互認識。b.如果這個塊中不存在任意兩人相互認識，那么該塊中所有人相互不認識，即存在至少3個人相互不認識。9.因此，在n個人組成的集合中，必然至少有3個人是相互認識的，或者至少有3個人是相互不認識的。六、算法描述：同樣利用二進制表示法。1.集合{1,2,...,n}的所有子集可以由0到2^n-1的所有二進制數(shù)表示。每個二進制數(shù)的n位決定了哪些元素在子集中（第i位為1表示元素i在子集中，為0表示不在）。2.遍歷從0到2^n-1的所有整數(shù)。3.對于每個整數(shù)i，將其轉(zhuǎn)換為n位二進制數(shù)表示。4.根據(jù)二進制數(shù)的每一位是0還是1，構建對應的子集，并輸出。由于題目要求無序輸出，可以直接按順序輸出每個子集。復雜度分析：共有2^n個子集。生成每個子集需要O(n)的時間（將整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制表示并提取元素信息）。輸出子集也需要O(n)的時間。因此，總時間復雜度為O(n*2^n)。有效存儲和輸出：當n較大時，直接存儲所有2^n個子集可能非常耗內(nèi)存。一種有效的方法是：1.遍歷0到2^n-1的整數(shù)。2.對于每個整數(shù)i，檢查其對應的子集S(i)。3.如果S(i)滿足某種特定的篩選條件（例如，需要輸出大小為k的子集），則進行篩選。4.將滿足條件的子集S(i)直接輸出到屏幕或文件，而不是先存儲在內(nèi)存中。這種方法的空間復雜度可以降低到O(1)（如果不考慮輸入/輸出緩沖區(qū)）。如果需要存儲所有子集，可以考慮使用生成器（在Python等語言中）或分批處理，但存儲所有子集本身對于大n是不現(xiàn)實的。七、算法描述：使用動態(tài)規(guī)劃（DynamicProgramming,DP）。1.定義DP數(shù)組`dp[i]`，表示以第i個元素結(jié)尾的最長上升子序列的長度。2.初始化：對于所有的i(0≤i<n)，令`dp[i]=1`。因為每個元素自身就是一個長度為1的上升子序列。3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移：對于i從1到n-1，考慮所有j從0到i-1：a.如果`a[i]>a[j]`，則意味著元素`a[i]`可以接到以`a[j]`結(jié)尾的上升子序列后面，形成一個新的更長上升子序列。b.更新`dp[i]=m