2025年秋季高三年級期中考試

數(shù)學(xué)試卷

考試時間：2025年11月3日下午15:00-17:007試卷滿分：150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合A={x|-1≤x<5},B={x|0<x≤6},則AUB=()

A.{x|0<x<5}B.{x|-1<x≤6}C.{x|-1≤x≤6}D.{x|-1≤x<6}

2.已知復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位),則z=()

ABD

3.已知冪函數(shù)f(x)=x??1+m2-m的圖象與坐標(biāo)軸無公共點，則m=()

A.0B.1C.0或-1D.0或1

4.已知a=(1,-2),b=(x,2),若a/1B,則2a+b=()

A.(1,-2)B.(1,0)C.(3,-2)D.(6,-2)

5.已知a,b∈R,則b≠0的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.在等比數(shù)列{an}中，a4,a?是方程x2+30x+36=0的兩個根，則a??=()

A.±6B.6C.36D.-6

7.函數(shù)f(x)=cos2x·(lnx-2π+1),x∈[0,2π]零點的個數(shù)為()

A.4B.5C.3D.2

8.已知f(x)=e-sinx+cosx,a=f(log?3),b=f(log?4),a=f(log?5),則()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

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二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如右圖，函的部分圖象與坐標(biāo)軸分別交于點

D,E,F,且△DEF的面積為,則()

A.f(x)上單調(diào)遞增

B.f(x)的對稱中心是,k∈Z

C.點D的縱坐標(biāo)為√3D.f(x)≥√3的解集

10.已知函數(shù)f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R則()

A.當(dāng)a=8時，f(x)在R上單調(diào)遞增B.當(dāng)a≤6時，f(x)有兩個極值

C.若f(x)有三個不同零點x,x?,x,則

D.過點(0,m)且與曲線y=f(x)相切的直線恰有3條，則-5<m<-3

11.定

H(x)=max{f(x),g(x)}在區(qū)間[m,n]上的值域為[2,4],則n-m的可能取值為()

A.1B.2C.6D.5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知a=(1,2),b=(-1,3),則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為

13.記等差數(shù)列{an}的前項和為S?,若a?+a?=2,則S?=.

14.已知a∈R,函,若關(guān)于x的方

解集中恰好只有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為

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四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本題滿分13分)已知數(shù)列{a,}的首項a?=1,且滿,n∈N

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

求滿足條件的最大整數(shù)n的值.

16.(本題滿分15分)已知向

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，最后使圖象上所

有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若存在使

8(x)-m≤2成立，求實數(shù)m的取值范圍.

17.(本題滿分15分)為了研究某種藥物，用小白鼠進(jìn)行試驗，發(fā)現(xiàn)藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的

關(guān)系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血

液內(nèi)的濃度y?與時間t滿足關(guān)系式：,a為常數(shù)),若使用口服方式給藥，

則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度y?與時間t滿足關(guān)系式：,現(xiàn)對小白鼠同時進(jìn)

行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾.(注：4小時內(nèi)意思是

小于或等于4小時)

(1)若a=1,求4小時內(nèi)，小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值?

(2)若使小白鼠在用藥后4小時內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4,求實數(shù)a的取值范圍.

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18.(本題滿分17分)如圖，△ABC中，AB=6,AC=2,點D在線段BC上，點E與點D位于直線AB

的異側(cè)且△ABE為等邊三角形.

(1)若3CD=DB,,求線段AD的長度；

(2)若CD=DB,求線段DE的最大值；

(3)若AD為∠CAB的平分線，求△ACD與△ABD內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.

19.(本題滿分17分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-me*,m∈R.

(1)當(dāng)m=2時，證明：f(x)在R上單調(diào)遞減.

(2)若f(x)有兩個極值點x?,x?,滿足x<x?且2x?-1≤x?,求m的取值范圍.

(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線仍是函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

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2025年秋季高三年級期中考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.答案：C

【解析】AUB={x|-1≤x<5或0<x≤6}={x|-1≤x≤6}

2.答案：B

【解析】

3.答案：D

【解析】→m=0或1

4.答案：A

【解析】1×2-(-2)×x=0→x=-1→b=(-1,2)→2a+b=(1,-2)

5.答案：B

【解析】令b=1,a=1,此時滿足b≠0,但不滿,說明

b≠0假設(shè)b=0,則：

這與矛盾，故假設(shè)不成立，b≠0成立，說明

所以b≠0是的必要不充分條件

6.答案：D

【解析】→a?<0,→a10=-6

7.答案：A

【解析】f(x)=0→cos2x=0或lnx-2π+1=0

cos2x=0→,k∈Z→,k∈Z

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∵x∈(0,2π),..或或或

設(shè)h(x)=e-x-1,h(x)=e-1≥0→x≥0,h(x)=e-1<0→x<0,所以函數(shù)h(x)在

(0,+∞)單調(diào)遞增，在(-∞,0)單調(diào)遞減，→h(x)=e-x-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號，

Inx-2π+1=0→x=e2π-1>(2π-1)+1=2π.故函數(shù)f(x)只有4個零點.

8.答案：C

【解析】

當(dāng)x>1時，,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

方法一：構(gòu)造函

(x+1)在(1,+∞)單調(diào)遞減，→log?3>log?4>log?5>1

→f(log?3)>f(log?4)>f(log?5)→a>b>c

方法二：對數(shù)糖水不等式：a>b>0,m>0→log。b<loga+m(b+m)

先證明糖水不等式：a>b>0,,理由：

→log?3>log?4>log?5>1

→f(log?3)>f(log?4)>f(log?5)→a>b>c

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方法三：

→log?3>log?4>log?5>1→f(log?3)>f(log?4)>f(log45)→a>b>c

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.答案：ACD

【解析】最小正周,故選項C正確；

令時，單調(diào)遞增且,此時

,y=√3tanu,當(dāng)

y=√3tanu單調(diào)遞增，:在上單調(diào)遞增，故選項A正確；

∈故選項錯

→,k∈eZ,所以函數(shù)f(x)的對稱中心為,kZ,B

,故選項D正確.

10.答案：ACD

【解析】當(dāng)a=8時，f'(x)=6x2+12x+8→△=122-4×6×8=-48<0,

→f(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故選項A正確；f(x)=6x2+12x+a

→△=122-4×6×a>0→a<6→f(x)有2個極值，但a=6時，△=0→f(x)≥0恒成立，

此時函數(shù)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，故選項B錯誤；

設(shè)函數(shù)f(x)=2(x-x?)·(x-x?).(x-x?)

→f(x)=2x3-2(x+x+x)x2+2(xx+xx+xx)x-2x?x?x?

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→-2x?x?X?=-3→,故選項C正確；

設(shè)切點(x?,f(x?)),f(x)=6x2+12x+a,

則切線方程為：y-(2x3+6x2+ax?-3)=(6x2+12x?+a)·(x-x?),代入點(0,m)得：

m=-4x3-6x?-3?y=m與h(x)=-4x3-6x2-3圖象有3個不同的交點，

h(x)=-12x2-12x?≥0→-1≤x?≤0,h(x)=-12x2-12x?<0→x?<-1或x?>0

函數(shù)h(x)在(-∞0,-1),(0,+∞)單調(diào)遞減，[-1,0]上單調(diào)遞增，且h(-1)=-5,h(0)=-3,

∴-5<m<-3,故選項D正確.

方法二：一元三次方程a?x3+a?x2+ax+ao=0(a?≠0)

韋達(dá)定理：選項C正確；

三次函數(shù)切線問題：過三次函數(shù)對稱中心做切線(有且僅有一條)

則坐標(biāo)平面被該條切線和三次函數(shù)圖象分為4個區(qū)域：過①③區(qū)域內(nèi)的點(不含邊界)作切線有且

僅有3條；過②④區(qū)域內(nèi)的點(不含邊界)作切線有且僅有1條；過切線或三次函數(shù)上的點(除去

對稱中心)作切線有且僅有2條；

f(x)=12x+12=0→x=-1,所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(-1,-a+1),過該點的切線方程為：

y-(-a+1)=f'(-1)(x+1)→y=(a-6)x-5恒過(0,-5),而函數(shù)f(x)恒過(0,-3),故只有

-5<m<-3時，點(0,m)落在①③區(qū)域內(nèi)，符合題意.

11.答案：BD

【解析】f(x)=-(x-2)2+4,

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依題意：觀察函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象，誰的圖象在上方就是函數(shù)H(x)的圖象包含邊界，如圖

所示：-x2+4x=2→x=2+√2

當(dāng)n=2+√2時，

符合題意

當(dāng)時符合題意

,故選項BD正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.答案：

【解析】

13.答案：9

【解析】2a?=a?+a?=2→a?=1,i

14.答案：

【解析】

且滿

當(dāng)a=3時，x=-2,此符合題意；

當(dāng)a≠3時，

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,此符合題意；

,則：

綜合：

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)方法一：累乘

依題意：

當(dāng)n≥2時，

當(dāng)n=1時，a=1符合，故a,=2n-1………6分

方法二：構(gòu)造

依題意：,則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列

→n<9,故滿足條件的最大整數(shù)n的值為8....................................13分

16.【解析】(1)

..............................1分

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故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間

,………6分

故函數(shù)f(x)的對稱中心為k∈Z………………7分

(2)依題意：

……………12分

|g(x)-m≤2→m-2≤g(x)≤m+2?→m∈F2,3]15分

17.【解析】(1)a=1時，y?=6-t,

則小白鼠血液中藥物的濃…………1分

當(dāng)0<t<2時，,即時，

當(dāng)2≤t≤4時，,即t=2時，H(t)max=5;

由于故小白鼠在時，濃度最高，達(dá)到

(2)

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在t∈(0,2)時單調(diào)遞減，;……11分

當(dāng)2≤t≤4時，

結(jié)合圖象知：,即t=4時，ymin=1→a≤1;………………14分

又∵∴a∈(0,1……………15分

18.【解析】∵△ABE為等邊三角形→

(1)

(2)方法一：CD=DB→D是線段BC中點，,不妨設(shè)∠CAB=θ

當(dāng)時，

方法二：以線段AB中點為坐標(biāo)原點0,AB方向為x軸，OE方向為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系：

不妨設(shè)∠CAB=θ,則E(0,3√3),A(-3,0),B(3,0),C(2cosθ-3,-2sinθ)

,DE=BE-BD=(-cosθ,3√3+sinθ)

|DE|=√(-coso)2+(3√3+sine)2=√28+6√3sine

時，

(3)由角平分線定理知：,不妨設(shè)|CD|=x,|BD|=3x,要構(gòu)成△ACB則：

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………………9分

不妨設(shè)△ACD與△ABD內(nèi)切圓半徑分別為r、R,

……………11分

……12分

………………15分

……17分

方法二：不妨

不妨設(shè)△ACD與△ABD內(nèi)切圓半徑分別為r、R,

在△ABC中，由余弦定理得：|BC2=|AC2+|AB2-2|AC|·|AB|·cosθ=40-24cosθ

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在t∈(0,1)時單調(diào)遞減

19.【解析】(1)證明：若m=2,則f(x)=x2-2x-2e*,→f(x)=2x-2-2e

令H(x)=2x-2-2e*,H'(x)=2-2e*,H'(x)≥0→x≤0,H(x)<0→x>0

故H(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增，在(0,+∞)單調(diào)遞減，→H(x)≤H(0)=-4<0,即

f(x)<0在R上恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞減………………4分

(2)f(x)=2x-2-me*,令h(x)=2x-2-me,h(x)=2-me*

①若m≤0,則h(x)>0在R上恒成立，→h(x)在R上單調(diào)遞增，→f(x)在R上最多一個極值

點，不符合題意

②若m>0,

故h(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

且h(1)=-me<0,h(2)=2-me2>0……………6分

依題意：且2x?-1≤x?

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,∵In2+1<