12.23在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，縫間距為0.2mm。藍(lán)色線光源的波長為λ1=440nm，綠色線光源的波長為λ2=540nm，它們分別垂直射入雙縫時(shí)，明紋的張角是多少？當(dāng)它們同時(shí)射入雙縫時(shí)，觀察雙縫干涉條紋的明暗分布。如果采用加有藍(lán)綠色濾光片的白光光源，連續(xù)光的波長范圍為多少？平均波長為多少？試估算從第幾級開始，條紋將變得無法分辨？[解析]如B12.23a圖所示，一線光源產(chǎn)生波長為λ的單色光，通過一條長縫S。長縫如同新的線光源，產(chǎn)生柱面光波，從雙縫S1和S2通過，在屏幕上形成干涉條紋。由于相干光是由光源S的波振面分為兩部分形成的，這種產(chǎn)生干涉的方法稱為分波振面法。xxxxB12.23a圖POr1r2S1S2dxDxθθSδ=dsinθ。(12.1)其中，d是縫間距，θ是干涉角。兩束光的相差為，(12..2)設(shè)光通過一條縫到達(dá)P點(diǎn)的強(qiáng)度為I1，則P點(diǎn)總強(qiáng)度為。(12..3)根據(jù)明紋的相差條件Δφ=±2kπ，k=0,1,2,…，可得光程差的明紋條件δk=dsinθk=±kλ，(k=0,1,2,…)(12..4a)當(dāng)k=0時(shí)，對應(yīng)的條紋稱為中央明條紋；當(dāng)k=1時(shí)，對應(yīng)的條紋稱為1級明條紋，中央明條紋兩側(cè)各有一條1級明條紋。根據(jù)暗紋相差條件Δφ=±(2k-1)π/2，k=1,2,3,…，可得光程差的暗紋條件δk=dsinθk=±(2k-1)λ/2。(k=1,2,3,…)(12..4b)當(dāng)k=1時(shí)，對應(yīng)的條紋稱為1級暗條紋，中央明條紋兩側(cè)各有一條1級暗條紋。從中央明條紋開始，兩側(cè)依次是1級暗條紋，1級明條紋，2級暗條紋，2級明條紋，…。對于相鄰的暗紋可得d(sinθk+1-sinθk)=λ，暗紋之間是明紋，當(dāng)干涉角很小時(shí)可得明紋的張角為Δθ=θk+1-θk≈sinθk+1-sinθk=λ/d，(12..5)可見：波長越長，明紋張角越大。當(dāng)干涉角很小時(shí)有sinθ=tanθ=x/D，在屏幕上明紋中心的位置為，(12..6a)暗紋中心的位置為。(12..6b)兩暗紋中心之間的距離為，(12..7)這也是明紋的寬度。由此可見：在干涉角很小時(shí)，雙縫干涉的條紋是等距離的，波長越長，明紋寬度越寬。實(shí)際上，當(dāng)光強(qiáng)小到一定程度時(shí)，人眼就感受不到明紋的存在，因此，人眼看到的明紋寬度比兩暗紋中心的距離要小。對于從藍(lán)到綠的波長連續(xù)變化的可見光，波長范圍為Δλ=λ2-λ1=100nm，平均波長為λ=(λ2+λ1)/2=490nm。如P12.23.b所示，B12.23b圖123…kk+1綠光暗紋級次123…k同級暗紋范圍123…k0123…kk+10123…k明紋級次藍(lán)光暗紋級次B12.23b圖123…kk+1綠光暗紋級次123…k同級暗紋范圍123…k0123…kk+10123…k明紋級次藍(lán)光暗紋級次明紋級次當(dāng)綠光的第k級暗紋與藍(lán)光的第k+1級暗紋重疊時(shí)，根據(jù)(12..6b)式可得方程，此式可化為，即，上式左邊是第k級明條紋中心的寬度，右邊是平均波長的條紋間距。由此可知：當(dāng)明條紋中心的寬度等于平均波長的條紋間距時(shí)，條紋無法分辨。由上式解得級次為k=λ/Δλ。(12..8)由此可得k=4.9，即：從第5級暗紋開始，干涉條紋變得無法辨別。明紋剛好無法分辨時(shí)，這個(gè)光程差稱為相干長度δm=kλ=λ2/Δλ。(12..9)可見：波長范圍越短，相干長度越長。[算法]圖像指令image可根據(jù)三維矩陣畫干涉條紋。前二維表示坐標(biāo)，第三維的第1頁表示紅色，第2頁表示綠色，第3頁表示藍(lán)色。如果只有第3頁有不為零的數(shù)據(jù)，image指令就只畫藍(lán)色的干涉條紋；如果第2頁和第3頁有不為零的數(shù)據(jù)，image指令就畫綠色和藍(lán)色的干涉條紋。[程序]P12_23.m如下。%藍(lán)綠光的雙縫干涉條紋clear%清除變量d=2e-4;%假設(shè)縫間距l(xiāng)ambda1=440e-9;%藍(lán)光波長lambda2=540e-9;%綠光波長lambda=(lambda2+lambda1)/2;%平均波長dlambda=lambda2-lambda1;%波長范圍theta=0:0.001:2;%角度向量th=theta*pi/180;%化為弧度i=cos(pi*d*sin(th)/lambda).^2;%平均波長的相對光強(qiáng)i1=cos(pi*d*sin(th)/lambda1).^2;%藍(lán)光相對光強(qiáng)i2=cos(pi*d*sin(th)/lambda2).^2;%綠光相對光強(qiáng)M1(:,:,3)=[fliplr(i1)i1];%矩陣的第3頁(藍(lán)色)取藍(lán)光強(qiáng)度,其他兩頁為零M2(:,:,2)=[fliplr(i2)i2];%矩陣的第2頁(綠色)頁取綠光強(qiáng)度M2(:,:,3)=0;%其中藍(lán)色頁取零figure%開創(chuàng)圖形窗口subplot(4,1,1)%取子圖image(M1)%畫藍(lán)光的干涉條紋axisoff%隱軸fs=16;%字體大小title('藍(lán)光雙縫干涉條紋','fontsize',fs)%標(biāo)題subplot(4,1,2)%取子圖image(M2)%畫綠光的干涉條紋axisoff%隱軸title('綠光雙縫干涉條紋','fontsize',fs)%標(biāo)題subplot(4,1,3)%取子圖image(M1+M2)%畫藍(lán)綠兩光的干涉條紋axisoff%隱軸title('藍(lán)綠混合光雙縫干涉條紋','fontsize',fs)%標(biāo)題n=100;%連續(xù)光的份數(shù)lam=linspace(lambda1,lambda2,n+1);%從藍(lán)到綠的波長向量M=0;%色值清零t=0;%光強(qiáng)清零dc=1/n;%顏色值增量fork=0:n%按波長循環(huán)ii=cos(pi*d*sin(th)/lam(k+1)).^2;%計(jì)算相對光強(qiáng)t=t+ii;%累加光強(qiáng)M1(:,:,3)=[fliplr(ii)ii]*(1-dc*k);%藍(lán)色頁取藍(lán)光強(qiáng)度M2(:,:,2)=[fliplr(ii)ii]*dc*k;%綠色頁取綠光強(qiáng)度M=M+M1+M2;%累加色值end%結(jié)束循環(huán)M=M/max(M(:));%歸一化subplot(4,1,4)%取子圖image(M)%畫藍(lán)光的干涉條紋axisoff%隱軸title('藍(lán)到綠連續(xù)光的雙縫干涉條紋','fontsize',fs)%標(biāo)題figure%開創(chuàng)圖形窗口subplot(2,1,1)%取子圖plot(theta,i1,theta,i2,theta,(i1+i2)/2)%畫光強(qiáng)曲線gridon%加網(wǎng)格xlabel('入射角\it\theta\rm/\circ','fontsize',fs)%x標(biāo)簽title('藍(lán)光和綠光的雙縫干涉光強(qiáng)以及平均值','fontsize',fs)%標(biāo)題legend('藍(lán)光','綠光','平均值')%圖例txt=['\Delta\it\theta\rm_1='num2str(lambda1/d*180/pi)'\circ'];%藍(lán)光張角文本text(0,0.25,txt,'fontsize',fs)%標(biāo)記藍(lán)光張角txt=['\Delta\it\theta\rm_2='num2str(lambda2/d*180/pi)'\circ'];%綠光張角文本text(0,0.75,txt,'fontsize',fs)%標(biāo)記綠光張角subplot(2,1,2)%取子圖plot(theta,i,theta,t/(n+1))%畫光強(qiáng)曲線gridon%加網(wǎng)格xlabel('入射角\it\theta\rm/\circ','fontsize',fs)%x標(biāo)簽title('平均波長和連續(xù)光的雙縫干涉光強(qiáng)','fontsize',fs)%標(biāo)題legend('平均波長','藍(lán)綠繼續(xù)光')%圖例txt=['\Delta\it\lambda\rm='num2str(dlambda*1e9)'nm'];%波長范圍文本txt=[txt',\it\lambda\rm='num2str(lambda*1e9)'nm'];%平均波長文本text(0,0.75,txt,'fontsize',fs)%標(biāo)記波長范圍delta=lambda^2/dlambda;%相干波長txt=['\it\delta\rm_m='num2str(delta*1e9)'nm'];%相干長度文本text(0,0.25,txt,'fontsize',fs)%標(biāo)記相干長度[圖示](1)如P12.23a第1子圖所示，藍(lán)光的波長比較短，條紋寬度比較窄。如P12.23a第2子圖所示，綠光的波長比較寬，條紋寬度也比較寬。如P12.23a第3子圖所示，如果單一波長的藍(lán)光和綠光同時(shí)產(chǎn)生雙縫干涉，明紋和暗紋就會(huì)隨級次的增加而逐漸錯(cuò)開。當(dāng)明紋與暗紋重疊時(shí)條紋就模糊，當(dāng)明紋與明紋重疊或暗紋與暗紋重疊時(shí)條紋就清晰，清晰和模糊的條紋交替出現(xiàn)。(2)如P12.23a第4子圖所示，對于從藍(lán)到綠的波長連續(xù)變化的可見光，假設(shè)各個(gè)波長的光強(qiáng)都相同，當(dāng)它們產(chǎn)生雙縫干涉時(shí)，前3級暗紋比較暗，干涉明紋十分清楚；第4級暗紋已經(jīng)不太暗了，條紋還能分辨。從第5級開始就沒有明顯的暗紋，干涉條紋十分模糊。(3)如P12.23b之上圖所示，藍(lán)光和綠光的光強(qiáng)是周期性變化的，單獨(dú)產(chǎn)生雙縫干涉時(shí)條紋清晰，藍(lán)光波長較短，條紋的張角約為0.13o，綠光波長較長，條紋的張角約為0.15o。當(dāng)藍(lán)綠兩光同時(shí)產(chǎn)生雙縫干涉時(shí)，光強(qiáng)的平均值隨角度起伏不同，當(dāng)強(qiáng)弱反差較小時(shí)，條紋模糊；當(dāng)強(qiáng)弱反差較大，條紋清晰。(4)如P12.23b之下圖所示，從藍(lán)到綠的波長連續(xù)變化的可見光的波長范圍為100nm，平均波長為490nm。平均波長強(qiáng)度的極值(包括最大值和最小值)的干涉角在同級藍(lán)光和