第八章Advancedmathematics無窮級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)第一節(jié)無窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)目錄/Contents第八章無窮級(jí)數(shù)第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法第三節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法第四節(jié)冪級(jí)數(shù)第五節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第五節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)稱為函數(shù)在處的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)．,稱為函數(shù)的麥克勞林(Maclaurin)級(jí)數(shù)．,時(shí),則級(jí)數(shù)當(dāng)一、泰勒級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)在含的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),則級(jí)數(shù)定義8.8一般情況下,的泰勒級(jí)數(shù)未必收斂于,下面定理給出了泰勒級(jí)數(shù)收斂于的充要條件．的充要條件是

的階泰勒公式的余項(xiàng)當(dāng)則函數(shù)

在該區(qū)間能展開為泰勒級(jí)數(shù)．時(shí)趨于零,即．一、泰勒級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)在含的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),定理8.18．（必要性）由于函數(shù)在含的某區(qū)間內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù),即則,；一、泰勒級(jí)數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)在含的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),所以證明（充分性）由于,則,即．一、泰勒級(jí)數(shù),,即函數(shù)在收斂域內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù),則必為泰勒級(jí)數(shù)．證明

因?yàn)?對其逐項(xiàng)求各階導(dǎo)數(shù),再令,就得到關(guān)系式,,從而定理得證.定理8.18及定理8.19是函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的理論依據(jù).一、泰勒級(jí)數(shù)定理8.19是冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)的和函數(shù),則設(shè)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第五節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用1.

直接展開法將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)的步驟如下：（1）求出函數(shù)

處的各階導(dǎo)數(shù),并求值;在二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)

.將函數(shù)直接展開法是利用定理8.18及定理8.19,(4)在收斂域內(nèi).

(2)

寫出冪級(jí)數(shù)

,并求其收斂半徑,確定其收斂域；二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(3)在收斂域內(nèi)驗(yàn)證;

則在的Taylor級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù),也即麥克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù))為（即,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)解,故因?yàn)檎钩傻膬缂?jí)數(shù)(即麥克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù)).將函數(shù)【例1】故其收斂半徑,得其收斂區(qū)間為.對于內(nèi)任意有限的數(shù)在與間）,余項(xiàng)的絕對值,由于,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),故,所以,,.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)有限,而級(jí)數(shù)收斂,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知因?yàn)?,,,,,,,,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)由于,故解展開成麥克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù).【例2】將函數(shù),二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)則的麥克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù)為

對于內(nèi)任意有限的數(shù)

在與間）,余項(xiàng)的絕對值

,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),由于,得其收斂區(qū)間.故其收斂半徑

,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)收斂,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知

,而級(jí)數(shù),所以

故2.間接展開法間接展開法是利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,通過冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（加、減）、分析運(yùn)算（逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分）或變量代變換等方法,求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的方法.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)上式兩邊求導(dǎo),得,,,.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開成的冪函數(shù).【例3】將函數(shù)

解由于上式兩邊積分,有

,即.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù).【例4】將函數(shù)

,

(),解由于

,

().時(shí),有當(dāng).二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)發(fā)散,在點(diǎn)收斂,因此由于上面展開式在點(diǎn)

公式中

換成,得

,,即,即,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù).【例5】將函數(shù)

,,解由于公式中

換成,得又由于,

(),,(),二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù).【例6】將函數(shù)

,解

因?yàn)?/p>

由于上面展開式在點(diǎn)

收斂,在點(diǎn)

收斂,因此,

()

.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

.上式兩邊積分,有

,

(),即(1)；(2)

.又,

,公式中換成,得

,,

.于是,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的冪函數(shù).【例7】將下列函數(shù)展開成解

(1)因?yàn)?（2）因?yàn)?又,（）,

,（）,于是,收斂域?yàn)?即,（）.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(1)

,；(2),

.,又,（）,公式中換成,得,（）,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的冪函數(shù)；【例8】將函數(shù)下列函數(shù)展開成,則,于是解

(1)令

即,（）,所以,（）,即,().二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)即

,(

),公式中換成,得

,(

)

,

又

,(

),（2）令,

,于是,二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)所以

,（）,即,（）.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)(1)

,

；(2)

,

；(3)

,

；(4)

,（

）；二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)3.常用函數(shù)的麥克勞林展開式(5)

,（

）；(6)

,（

）；特別：

,（

）；

,（

）；二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第五節(jié)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式一、泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,就可以用它來進(jìn)行近似計(jì)算,即在展開式的有效區(qū)間上,函數(shù)值可以近似地利用這個(gè)級(jí)數(shù)按精確度要求計(jì)算出來．三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用公式中令,得

,三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用【例9】計(jì)算

的近似值,使其誤差不超過.解

由于,

,取前5項(xiàng)和作為近似值,

,其誤差,

.三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用又,（）,公式中令,

,得,三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用【例10】計(jì)算

的近似值,使其誤差不超過.解

由于,

這個(gè)級(jí)數(shù)從第二項(xiàng)起是交錯(cuò)級(jí)數(shù),若取前

項(xiàng)和作為近似值,則其誤差

,由于,于是.三、函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用于是,根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分,得