第=page44頁，共=sectionpages1818頁2025-2026學(xué)年沈陽市沈文新高考研究聯(lián)盟高二上學(xué)期10月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列命題中，假命題是(

)A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

B.|a|=|b|是向量a=b的必要不充分條件

2.在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OP=2PAA.-23a-12b+13.已知向量a→=(2,1,1),b→=(9,x,A.762 B.63 4.已知空間三點(diǎn)A(4,1,3)，B(2,5,-3)，C(3,x,0)共線，則實(shí)數(shù)A.3 B.5 C.-3 D.5.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，α//β，則m/?/βB.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n

C.若m⊥α，n⊥6.如圖，邊長為2的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，其余頂點(diǎn)在α的同側(cè)，且點(diǎn)B和點(diǎn)D到平面α的距離均為22，則平面A1C1D與平面α的夾角的余弦值A(chǔ).12 B.22 C.17.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．現(xiàn)已證明：在?ABC中，若三個(gè)內(nèi)角均小于120°，則當(dāng)點(diǎn)P滿足∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)P被人們稱為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上知識(shí)，已知a為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，A.3-23 B.3+23 C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，定義：ABn=x1-x2n+y1A.若A,B關(guān)于x軸對稱，則ABs=ABt

B.若A,B關(guān)于直線y=x對稱，則ABs二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，已知四面體ABCD，點(diǎn)E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是(

)A.AB+BC+CD=AD B.AB10.已知點(diǎn)M(-1,1)，N(2,1)，且點(diǎn)P(a,b)在直線A.a2+b2-a-2b的最小值為398 B.|PM|+|PN|11.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)M(-a,0)，N(a,0)距離之積等于a2a>0的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-2,2] B.|OP|的最大值是22

C.?PMN面積的最大值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離d=

．13.設(shè)點(diǎn)A(-2,0)和B(0,3)，在直線l：x-14.△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=2，點(diǎn)D滿足DA=AC，點(diǎn)E是BD所在直線上一點(diǎn)，若CE=xCA+yCB，則x+2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l：y=kx+k+1．

(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)A(-1,1)；

(2)已知兩點(diǎn)B(-4,4)，C(0,2).過點(diǎn)A的直線l與線段16.(本小題15分)

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，D是AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：BC1/?/平面A1CD；

(Ⅱ17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，D是BC上一點(diǎn)，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．

(Ⅰ)求證：點(diǎn)D為BC中點(diǎn)；

(Ⅱ)當(dāng)18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，(1)求證：PB⊥(2)若PB=23，求平面PAB與平面19.(本小題17分)

人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則歐幾里得距離D(A,B)=(x1-x2)2+(y1-y2)2；曼哈頓距離d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦距離答案解析1.【答案】D

【解析】解：對于A，由空間向量的定義知，任意兩個(gè)空間向量不能比較大小，故A為真命題；

對于B，兩個(gè)向量模長相等，方向不一定相同，充分性不成立，

兩個(gè)相等向量的模長一定相等，必要性成立，故B為真命題；

對于C，長度為0的向量叫做零向量，只有零向量的模長等于0，故C為真命題；

對于D，共線的單位向量是相等向量或相反向量，故D為假命題；

故選：D．2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算求解即可．【解答】

解：在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OP=2PA，BQ=QC，3.【答案】A

【解析】解：由題意知，5a又因?yàn)閍→//5解得x=y∴|a故選：A．4.【答案】A

【解析】解：由題意可知，AB=(-2,4,-6),AC=(-1,x-1,-3)，

因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，

所以存在t∈R，滿足AC=tAB，即(-1,5.【答案】C

【解析】解：已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，

對于A，若m//α，α//β，

則直線m可能與平面β平行，也可能在平面β內(nèi)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于B，若α⊥β，m?α，n?β，

此時(shí)直線m與n可能平行、相交或異面，不一定垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C，若m⊥α，n⊥β，n⊥m，則直線m，n所在的方向向量即分別為平面α，β的法向量，

兩法向量垂直，則兩平面垂直，故選項(xiàng)C正確；

對于6.【答案】A

【解析】解：分別過B，D作平面α的垂線，垂足為G，H，點(diǎn)B和點(diǎn)D到平面α的距離相等，故BD/?/平面α由C1C⊥BD且BD⊥AC，即BD垂直平面ACC1A1內(nèi)的兩條相交直線，分別過C，A1作平面α的垂線，垂足為E，F(xiàn)，如圖，則E由BG=DH=22，且BD與因此∠CAE=30°，∠進(jìn)而由∠C1CE=150°，易知點(diǎn)C1又因?yàn)锽1D1與A1C1中點(diǎn)

O1到平面α的距離為22+3，因此點(diǎn)D而點(diǎn)B到平面α的距離為2且BD1=23，故直線BD1與平面α的夾角正弦值為22+3-2223=1故直線BD1與平面A1C1D垂直，故平面故選：A．7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量模的坐標(biāo)表示，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．

設(shè)a=(x,y)，b=(2,0)，c=(0,3)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Px【解答】解：設(shè)a=(x,y)則|a即為點(diǎn)Px,y到A則△ABC由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，需滿足：點(diǎn)P在y軸上且∠APB=120°，則因?yàn)閨OA|=|OB|=2，則OP=2距離之和最小為4故選：B．8.【答案】C

【解析】解：對于A，因A,B關(guān)于x軸對稱，

且Ax1,于是AB同理ABt=(|x1-對于B，因A,B關(guān)于直線y=x對稱，

且Ax則AB同理AB取函數(shù)f(x)=2x，顯然該函數(shù)在R上為增函數(shù)，由s,t∈N因|x1-y1|≥0，故有對于C，OAs=(由OAs=2OBs可得：若取x1=2,x2=0,y1則2OBt=2×21s，2對于D，設(shè)點(diǎn)M(x,y)∈P，則而x-x1s,y-即點(diǎn)M(x,y)∈故選：C．9.【答案】ABC

【解析】解：A：因?yàn)锳B+BC+B：因?yàn)锳B+BC-C：因?yàn)锳B+12D:因?yàn)锳B-AE故選：ABC．10.【答案】ABD

【解析】解：對于A選項(xiàng)，點(diǎn)P(a,b)在直線l：x+y+2=0，可得b=-2-a，

故a2+b2-a-2b=a2+(-2-a)2-a-2(-2-a)=2a2+5a+8=2(a+54)2+398，

顯然當(dāng)a=-54時(shí)，a2+b2-a-2b取得最小值為398，∴A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，設(shè)M(-1,1)關(guān)于l：x+y+2=0的對稱點(diǎn)為M'(m,n)，如圖，

則n-1m+1?(-1)=-1m-12+n+12+2=0，解得m=-3n=-1，

∴M'(-3,-1)，連接M'N，與l：x+y+2=0相交于點(diǎn)P，

此時(shí)|PM|+|PN|取得最小值，最小值為|M'N|=(-3-2)2+(-1-1)211.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查曲線與方程，屬于較難題．

根據(jù)雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項(xiàng)的真假即可．【解答】解：設(shè)P(x,當(dāng)a=2時(shí)，曲線的方程為對于A：整理可得：x2+y可得x4-8x2對于B，|OP因?yàn)?22≤x所以|OP|?12-4=2對于C：y2=16+16x2-所以y2所以當(dāng)t=8時(shí)，(y2)max=1，所以對于D：(x+2當(dāng)且僅當(dāng)(x+2=2(x所以(所以PM+PN的取值范圍是4,4故選：BCD．12.【答案】|AP【解析】解：因?yàn)槠矫姒恋姆ㄏ蛄繛閚，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，

過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)B，

所以n是直線l的方向向量，

則點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影長，

即向量BP的長度，也即d=|AP?n||13.【答案】17【解析】【分析】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．

求出點(diǎn)B關(guān)于直線l：x-y+1=0的對稱點(diǎn)為C，連接AC，直線AC交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P【解答】

解：設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l：x-y+1=0的對稱點(diǎn)為C(a,b)，

則{0+a2-3+b2+1=0b-3a-0=-1，解得a=2，b=1，

14.【答案】2

(-【解析】解：由DA=AC可知，D在邊CA的延長線上，且A為CD的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)E是BD所在直線上一點(diǎn)，且CE=xCA+yCB=x2?CD+yCB，

所以x2+y=1，即x+2y=2；

因?yàn)镃A?CE=xCA2+yCA?CB，由題意|CA|=1,CA?CB=1，

所以CA?CE=x+y，

因?yàn)閨CE|2=|xCA+yCB|2，所以|CE|=x2+2xy+2y2，

所以CA?CE|CE|=x+yx2+2xy+2y2，

令m=x+yx15.【答案】解：(1)證明：由y=kx+k+1，可得k(x+1)=y-1，

令x+1=0y-1=0，得x=-1y=1，

∴直線l恒過定點(diǎn)A(-1,1)；

(2)∵A(-1,1)，B(-4,4)，C(0,2)【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】16.【答案】(Ⅰ)證明見解答；(Ⅱ)2【解析】解：(Ⅰ)證明：連接AC1，交A1C于點(diǎn)O，連接OD，

因?yàn)镺，D分別是AC1，AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)D是△ABC1的中位線，

所以O(shè)D/?/BC1，

因?yàn)锽C1?平面A1CD，OD?平面A1CD，

所以BC1/?/平面A1CD；

(Ⅱ)設(shè)△ABC的面積為S，棱長AA1的長度為h，B到平面A1CD的距離為d，

因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的體積V=Sh=4，

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，

所以△ACD的面積為12S，

所以三棱錐A1-17.【答案】解：(Ⅰ)證明：由BC⊥平面POD，得BC⊥OD，

又AB⊥BC，則OD/?/AB，

又O為AC中點(diǎn)，所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

(Ⅱ)如圖，

過O作OF⊥PD于點(diǎn)F，

由OF⊥PD，OF⊥BC，PD∩BC=D，

∴OF⊥平面PBC，

又F為PD的中點(diǎn)，∴△POD為等腰三角形，

∴PO=【解析】(Ⅰ)由BC⊥平面POD得BC⊥OD，由AB⊥BC得OD/?/AB，再由O為AC中點(diǎn)得點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；

(Ⅱ)作OF⊥PD于點(diǎn)F，證明OF⊥18.【答案】解：(1)證明：取AD的中點(diǎn)M，連接MB，則BC//MD且所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以CD//BM且在?ABDBD所以BD=6=所以BM⊥AD，所以BM⊥BC，所以則PC2+又BC,PC?平面PBC所以CD⊥平面PBC又PB?平面PBC，所以PB(2)在?PBC，所以∠PCB=120如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(4故PB=設(shè)平面PAB的法向量為m=(x1,y則有令y1=1,y則，所以平面PAB與平面PBD夾角的余弦值為3133

【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】19.【答案】解：(1)d(A,B)=|-1-35|+|2-45|=8+65=145，

cos(A,B)=cos?OA,OB?=OA?OB|OA||OB|=-35+855×1=55，

e(A,B)=1-cos(A,B)=1-55=5-55；

(2)設(shè)N(