③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；注意：若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、全等、相似、對(duì)角線）為其他已知軌跡的線段求最值。易錯(cuò)提醒：混淆主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)?：在瓜豆原理中，主動(dòng)點(diǎn)被稱為“瓜”，從動(dòng)點(diǎn)被稱為“豆”。解題時(shí)需要明確哪個(gè)點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，哪個(gè)點(diǎn)是從動(dòng)點(diǎn)，并理解它們之間的關(guān)系。如果混淆了這一點(diǎn)，可能會(huì)導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤。?例1．（2024·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．變式1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為矩形，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，過做，垂足為，連接，若，，則的最小值為．變式2．（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為.變式3．（2024·廣東·九年級(jí)校考期中）如圖，中，，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則長的最小值是（）A．2 B．2.5 C． D．易錯(cuò)模型8：瓜豆（原理）模型-曲線軌跡模型解讀“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋轉(zhuǎn)、全等和相似。特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。易錯(cuò)提醒：忽略特殊位置和變化特點(diǎn)?：在解題過程中，需要特別注意主動(dòng)點(diǎn)的特殊位置（如起點(diǎn)或終點(diǎn)）和變化特點(diǎn)，這些信息對(duì)于確定從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡至關(guān)重要。如果忽略了這些細(xì)節(jié)，可能會(huì)導(dǎo)致解題不完整或錯(cuò)誤。?例1．（2024·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為．變式1．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則點(diǎn)C到直線的最小距離為（）A．1 B． C． D．變式2．（2024·江蘇南通·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

變式3．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，，平面上有一點(diǎn)P，，連接，，取的中點(diǎn)G．連接，在繞點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)過程中，則的最大值是（

）A．3 B．4 C． D．5易錯(cuò)模型9：幾何轉(zhuǎn)化法求最值模型模型解讀雖然我們前面講的幾何最值模型涵蓋了大部分的最值問題，但也有部分幾何最值無法很好的解決。鑒于此我們補(bǔ)充幾類幾何轉(zhuǎn)化法（主要利用全等、相似、或其他的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化（如：中位線、對(duì)角線、特殊的邊角關(guān)系等）），雖然這些方法沒有花里胡哨的名稱，他們最是樸實(shí)無華，沒有任何名頭，也沒有固定套路，就兩個(gè)字：轉(zhuǎn)化。例1.（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，在中，，，P是的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，連接，以為腰，向的右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為．變式1．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，則對(duì)角線的最小值為．變式2．（2024·山東德州·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)M、N分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B、C重合），點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．變式3．（23-24九年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，P是的斜邊（不與點(diǎn)A、C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，O是的中點(diǎn)，若，，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是．變式4．（23-24九年級(jí)上·廣西柳州·期末）如圖，正方形，邊長，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，三角板兩邊足夠長，與、交于、兩點(diǎn)，當(dāng)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段的最小值為（）A．1 B．2 C． D．變式5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E、F分別是、邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，若平分，則的最大值為（結(jié)果保留根號(hào)）易錯(cuò)模型10：代數(shù)法求幾何最值模型模型解讀代數(shù)法求幾何最值是對(duì)前面幾何法求最值模型的一個(gè)補(bǔ)充，那首先我們弄明白什么是幾何法？什么是代數(shù)法？若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法。若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)某種函數(shù)或代數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)或方程，再求函數(shù)或代數(shù)式的最值，這就是代數(shù)法。代數(shù)法常見的三類方法：函數(shù)法（二次函數(shù)或一次函數(shù)）、判別式法或基本不等式法。易錯(cuò)提醒：未將關(guān)鍵幾何條件（如垂直、相切、共線）完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束，導(dǎo)致模型失真?；忽略幾何約束（如動(dòng)點(diǎn)在線段或圓弧上運(yùn)動(dòng)），導(dǎo)致代數(shù)模型中變量定義域錯(cuò)誤?。例1．（2024·陜西西安·校考一模）如圖，在四邊形中，，，，，則的最小值是．

變式1．（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝2，長度為1的線段PQ在邊AC上運(yùn)動(dòng)，則線段DP的最小值為，四邊形DPQB面積的最大值為．變式2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，且，則面積的最大值是，周長的最大值是．變式3．（2024·四川成都·二模）如圖，在正方形，點(diǎn)，在射線上，，則最大值是．1-1．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對(duì)角線，，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．1-2．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．1-3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．1-4．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

2-1．（2023·安徽合肥·?？既＃┰谶呴L為2的正方形中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，連接、，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．2-2．（2024·河北邯鄲·三模）如圖，在邊長為1的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為（）A．1 B． C． D．22-3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為____．

2-4．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為________．

3-1．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．3-2．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E，P分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，記，若，則的最小值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．3-3．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)交的延長線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是弦上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，，則的最小值為（）

A． B． C． D．3-4．（2024·山東濟(jì)南·一模）實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點(diǎn)，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，，，，，為中點(diǎn)，連接，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．4-1.（2024·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．4-2.（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為．例9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．

5-1．（23-24九年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）【問題背景】在已知所在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。ㄈ鐖D1）．這個(gè)問題是有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師費(fèi)馬在1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．解決方法如下：如圖2，把繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)P，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，），連接，則，．∵_(dá)_____，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)B，P，，四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最小，即點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是______；（2）當(dāng)點(diǎn)P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”時(shí)，______；（3）如圖3，△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且，判斷之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【實(shí)際應(yīng)用】圖4所示是一個(gè)三角形公園，其中頂點(diǎn)A，B，C為公園的出入口，，，AC＝4km，工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P，使該涼亭到三個(gè)出入口的距離最小，則的最小值是______．5-2．（2024·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．5-3．（23-24九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）在等邊中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則，，連接交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，且，求的面積；(2)如圖2，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，在內(nèi)部有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接、、，直接寫出的最小值．6-1．（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．6-2．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，且，若當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的長度是．6-3．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接和，若，，，則的最小值是．

6-4．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的例2．動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．6-5．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為；7-1．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接，則，連接，則周長的最小值是．7-2．（2024·安徽·合肥三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．7-3．（2024·重慶模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則最小值為______．7-4．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，B為上一點(diǎn)，于A，四邊形為正方形，P為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．

8-1.（2024·河南南陽·三模）如圖，點(diǎn)，半徑為2，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．38-2．（23-24九年級(jí)上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B是上一點(diǎn)，的半徑為2，將繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，則線段的最小值為（

）

A． B． C．5 D．68-3．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．9-1．（23-24八年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接，則線段的最小值為．9-2．（23-24八年級(jí)下·云南曲靖·期中）如圖，在矩形中，，，與交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作，的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．9-