2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——概率論證明方法的實踐應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)$A,B$為兩個隨機(jī)事件，證明：若$P(A|B)=P(A|\bar{B})$，則事件$A$與$B$獨立。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$，證明$X$的期望$E(X)$存在，并求$E(X)$。二、1.利用全概率公式證明：若事件$A_1,A_2,\dots,A_n$兩兩互斥，且$P(A_i)>0$$(i=1,2,\dots,n)$，$B$為任意事件，則$P(B)=\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，證明$E(X^n)=\lambda^n\sum_{k=0}^nS(n,k)k^k$，其中$S(n,k)$為第$n$個Bell數(shù)。三、1.設(shè)$(X_n)_{n=1}^\infty$是一個隨機(jī)變量序列，證明若$X_n\xrightarrow{P}X$，則對任意$\epsilon>0$，有$P(|X_n-X|\geq\epsilon)\to0$。2.設(shè)隨機(jī)變量序列$(X_n)_{n=1}^\infty$服從同一分布，且$E(X_1)=\mu$，$E(X_1^2)=\sigma^2<\infty$，證明：若$\sum_{n=1}^\infty\frac{Cov(X_n,X_{n+1})}{\sigma^2}$收斂，則$(X_n-\mu)_{n=1}^\infty$服從大數(shù)定律。四、1.設(shè)隨機(jī)變量$(X,Y)$服從二維正態(tài)分布，證明：若$X$與$Y$獨立，則$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以分解為$X$和$Y$的邊緣概率密度函數(shù)的乘積。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$獨立同分布，且$E(X)=E(Y)=0$，$E(X^2)=E(Y^2)=1$，定義$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$，證明：$E(Z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$。試卷答案一、1.證明：$P(A|B)=\frac{P(A\capB)}{P(B)}$，$P(A|\bar{B})=\frac{P(A\cap\bar{B})}{P(\bar{B})}$因為$P(A|B)=P(A|\bar{B})$，所以$\frac{P(A\capB)}{P(B)}=\frac{P(A\cap\bar{B})}{P(\bar{B})}$即$P(A\capB)P(\bar{B})=P(A\cap\bar{B})P(B)$因為$P(B)+P(\bar{B})=1$，所以$P(A\capB)(1-P(B))=P(A\cap\bar{B})P(B)$整理得$P(A\capB)=P(A)P(B)$，故$A$與$B$獨立。2.證明：$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_0^1x\cdot2xdx=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}x^3\bigg|_0^1=\frac{2}{3}$因為積分收斂，所以$E(X)$存在，且$E(X)=\frac{2}{3}$。二、1.證明：根據(jù)全概率公式，$P(B)=\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$其中，$A_1,A_2,\dots,A_n$為樣本空間的一個劃分，即$A_i\capA_j=\emptyset$$(i\neqj)$，且$\bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega$。對于任意事件$B$，有$B=B\cap\Omega=B\cap\bigcup_{i=1}^nA_i=\bigcup_{i=1}^n(B\capA_i)$由于$A_i$兩兩互斥，所以$B\capA_i$也兩兩互斥。因此，$P(B)=P\left(\bigcup_{i=1}^n(B\capA_i)\right)=\sum_{i=1}^nP(B\capA_i)$又因為$P(B\capA_i)=P(B|A_i)P(A_i)$，所以$P(B)=\sum_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$。2.證明：利用泊松分布的性質(zhì)，$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\dots$$E(X^n)=\sum_{k=0}^\inftyk^n\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$利用Stirling公式近似$k!\approx\sqrt{2\pik}\left(\frac{k}{e}\right)^k$，以及$\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda$通過換元和求導(dǎo)，可以得到$E(X^n)=\lambda^n\sum_{k=0}^nS(n,k)k^k$，其中$S(n,k)$為第$n$個Bell數(shù)。三、1.證明：因為$X_n\xrightarrow{P}X$，所以對任意$\epsilon>0$，有$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geq\epsilon)=0$。根據(jù)概率的次可數(shù)性，可以將事件$|X_n-X|\geq\epsilon$分解為可數(shù)個互斥事件$A_{n,k}=\{|X_n-X|\geqk\epsilon\}$，$k=1,2,3,\dots$的并集。即$|X_n-X|\geq\epsilon=\bigcup_{k=1}^\inftyA_{n,k}$因此，$P(|X_n-X|\geq\epsilon)=P\left(\bigcup_{k=1}^\inftyA_{n,k}\right)\leq\sum_{k=1}^\inftyP(A_{n,k})=\sum_{k=1}^\inftyP(|X_n-X|\geqk\epsilon)$由于$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geqk\epsilon)=0$對每個固定的$k$都成立，所以$\sum_{k=1}^\inftyP(|X_n-X|\geqk\epsilon)\to0$。因此，$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geq\epsilon)=0$。2.證明：根據(jù)柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律，若隨機(jī)變量序列$(X_n)_{n=1}^\infty$服從同一分布，且$E(X_1)=\mu$，$E(X_1^2)=\sigma^2<\infty$，則$(X_n-\mu)_{n=1}^\infty$服從大數(shù)定律的充要條件是：$\sum_{n=1}^\infty\frac{Cov(X_n,X_{n+1})}{\sigma^2}$收斂。本題中，已知$(X_n)_{n=1}^\infty$服從同一分布，且$E(X_1)=\mu$，$E(X_1^2)=\sigma^2<\infty$，且$\sum_{n=1}^\infty\frac{Cov(X_n,X_{n+1})}{\sigma^2}$收斂。因此，根據(jù)柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律，$(X_n-\mu)_{n=1}^\infty$服從大數(shù)定律。四、1.證明：因為$(X,Y)$服從二維正態(tài)分布，所以其聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2\rho\frac{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)}$其中，$\mu_x,\mu_y$分別為$X$和$Y$的期望，$\sigma_x,\sigma_y$分別為$X$和$Y$的標(biāo)準(zhǔn)差，$\rho$為$X$和$Y$的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)$X$與$Y$獨立時，$\rho=0$，此時聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}+\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)}$可以分解為$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}e^{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}$和$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_y^2}}e^{-\frac{(y-\mu_y)^2}{2\sigma_y^2}}$的乘積。即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。2.證明：因為$X$和$Y$獨立同分布，且$E(X)=E(Y)=0$，$E(X^2)=E(Y^2)=1$，所以$X^2$和$Y^2$也獨立同分布，且$E(X^2)=E(Y^2)=1$。設(shè)$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$，則$E(Z)=E(\sqrt{X^2+Y^2})$。由于$X^2+Y^2$服從自由度為2的$\chi^2$分布，所以$X^2+Y^2$的期望為2，即$E(X^2+Y^2)=2$。又因為$X^2+Y^2$的方差為2，即$Var(X^2+Y^2)=2$。因此，$X^2+Y^2$的概率密度函數(shù)為$f_{X^2+Y^2}(t)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}},&t\geq0\\0,&t<0\end{cases}$。利用極坐標(biāo)變換，可以得到$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$的概率密度函數(shù)為$f_Z(z)=\begin{cases}ze^{-\frac{z^2}{2}},&z\geq0\\0,&z<0\end{cases}$。因此，$E(Z)=\int_0^\inftyz^2e^{-\frac{z^2}{2}