2025年秋季高三開學摸底考試模擬卷（新高考通用）數(shù)學·答案及評分參考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678CCAABDAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABDACACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分．12．13．3114．2，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意先求首項，進而得；（2）由（1）先求，進而得，最后利用分組求和即可.【詳解】（1）由題意有，又因為，，成等比數(shù)列，所以，(3分)即，（5分）化簡整理得，解得，（7分）所以.(8分)（2）由（1）有，所以，（10分）所以.（13分）16．（15分）【答案】(1)，線性相關(guān)程度較高；(2)【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式，求出相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)系數(shù)大小判斷相關(guān)程度高不高.（2）根據(jù)獨立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.【詳解】（1）由題可知，，，則相關(guān)系數(shù)，（5分）因為，所以與的線性相關(guān)程度較高．（7分）（2）設(shè)操作成功的次數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2．（8分），，，所以．（15分）17．（15分）【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）要證明線面平行，需在平面內(nèi)找到一條線段與平行即可.（2）首先建立空間直角坐標系，然后將點的坐標表示出來，然后求出平面的法向量和直線的方向向量，進而可根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求得直線與平面的正弦值.（3）根據(jù)（2）中求得的平面的法向量，根據(jù)點到平面的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連接.則.而底面為矩形，是的中點，所以.所以，所以四邊形為平行四邊形，（3分）所以，又平面，而不在平面內(nèi)，所以平面.（5分）（2）因為平面，四邊形為矩形，所以以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則，.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則.所以平面的一個法向量為，（9分）所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（12分）（3）因為，平面的一個法向量為.所以點到平面的距離為：.（15分）18．（17分）【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）或．【分析】（1）根題意由向量的運算得，即滿足橢圓的定義，即可求出，進而得橢圓的方程；（2）（?。┰O(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元得，由韋達定理得，若到直線和的距離相等，則直線平分，即直線與的斜率之和為0，代入韋達定理驗證即可；（ⅱ）由（?。┲本€平分，即，由的面積等于的面積，得，進而得，即，得在線段的垂直平分線上，由的垂直平分線為，代入橢圓方程即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，則，則的軌跡是橢圓，，，所以，．所以的方程為．（4分）（2）（?。┮驗闄E圓的長軸右端點橫坐標為，所以的斜率一定存在（否則與橢圓沒有交點）設(shè)的方程為，所以，其中．所以，（7分）設(shè)，．則，，（8分）若到直線和的距離相等，則直線平分，且易知軸，所以只需滿足直線與的斜率之和為0．設(shè)，斜率分別為，，則：，（10分）代入，．有，故命題得證．（12分）（ⅱ）由（?。┲本€平分，即，因為的面積等于的面積，故，即，故．故，，在線段的垂直平分線上．（15分）易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標為或．（17分）19．（17分）【答案】(1)；(2)2；(3).【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得；（2）由題設(shè)，討論的范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、零點存在性定理研究的零點分布情況，即可得；（3）討論當、及、，結(jié)合，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由不等式恒成立確定參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）由，則，所以恒成立，又，則.(3分)（2）由題設(shè)，則，（4分）當時在上單調(diào)遞增，，無零點；（5分）令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以存在，滿足，（7分）時，時，為函數(shù)極小值點，，所以在時存在唯一零點.（8分）當時，，則，當時，，綜上，時，恒成立，所以函數(shù)有2個零點.（10分）（3）當時，，故，所以在上單調(diào)遞增，