2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——概率模型與馬爾科夫鏈的關(guān)聯(lián)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=(k+1)/6,k=1,2,3，則E(X^2)等于：A.5/3B.10/3C.15/6D.25/62.設(shè)A,B為兩個事件，P(A|B)=0.6,P(A∪B)=0.8,則P(A)等于：A.0.4B.0.5C.0.6D.0.73.設(shè)隨機變量X,Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=2，X的方差Var(X)=1，Y的方差Var(Y)=4，則X,Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)等于：A.0.5B.0.25C.0.75D.14.一個馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.4,0.4]]，則狀態(tài)1到狀態(tài)2的2步轉(zhuǎn)移概率P^(2)_(12)等于：A.0.26B.0.28C.0.3D.0.325.設(shè)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.7,0.3],[0.4,0.6]]，則該馬爾科夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布ρ=[π_1,π_2]滿足：A.π_1=0.57,π_2=0.43B.π_1=0.6,π_2=0.4C.π_1=0.5,π_2=0.5D.π_1=0.67,π_2=0.33二、填空題1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則P(X=0)=________。2.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，X服從N(1,9)，Y服從N(2,16)，則E(3X-2Y)=________。3.設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.6,0.2,0.2],[0.1,0.7,0.2],[0.1,0.2,0.7]]，則狀態(tài)1是________狀態(tài)。4.設(shè)馬爾科夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布為π=[0.4,0.6]，若該鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣P的第一行為[0.5,0.3,0.2]，則P的第三行=________。三、計算題1.設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律如下表所示：||Y=1|Y=2||---|-----|-----||X=1|0.1|0.2||X=2|0.3|0.4|求E(XY)和Var(X|Y=2)。2.設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.4,0.4]]，求該馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布。3.設(shè)某城市有兩種天氣：晴和雨。若今天下雨，則明天下雨的概率為0.7；若今天晴天，則明天下雨的概率為0.4。假設(shè)今天下雨，求三天后仍然下雨的概率。4.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，X~U(0,1)，Y~Exp(1)，求E(XY)。四、證明題1.設(shè)馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.1,0.8]]，證明狀態(tài)1和狀態(tài)3是互通的。2.設(shè){X_n}是一個馬爾科夫鏈，其轉(zhuǎn)移概率矩陣P=[[p,1-p],[1-p,p]]，證明該鏈的平穩(wěn)分布存在且唯一，并求出平穩(wěn)分布。五、應(yīng)用題假設(shè)某公司產(chǎn)品的市場占有率可以用一個馬爾科夫鏈來描述，狀態(tài)空間為{A,B,C}，分別代表該公司、競爭對手1和競爭對手2的市場占有率。根據(jù)市場調(diào)查，轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：P=[[0.8,0.1,0.1],[0.2,0.7,0.1],[0.1,0.1,0.8]]假設(shè)目前該公司市場占有率為50%，競爭對手1和競爭對手2的市場占有率均為25%。求一年后該公司市場占有率的預(yù)測值。試卷答案一、選擇題1.B解析：E(X)=Σk*P(X=k)=1*(1/6)+2*(2/6)+3*(3/6)=2.5。E(X^2)=Σk^2*P(X=k)=1^2*(1/6)+2^2*(2/6)+3^2*(3/6)=10/3。2.D解析：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。聯(lián)立方程解得P(A)=0.7。3.A解析：ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(sqrt(Var(X))*sqrt(Var(Y)))=2/(sqrt(1)*sqrt(4))=0.5。4.A解析：P^(2)_(12)=P_(12)P_(22)+P_(11)P_(12)=0.2*0.3+0.5*0.2=0.26。5.B解析：解方程組πP=π,Σπ=1，得到π=[0.6,0.4]。二、填空題1.e^(-λ)解析：泊松分布P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，當k=0時，P(X=0)=e^(-λ)。2.-1解析：E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3*1-2*2=-1。由于X,Y獨立，E(XY)=E(X)E(Y)。3.阻塞解析：狀態(tài)1到狀態(tài)2的轉(zhuǎn)移概率P_(12)=0.2，到狀態(tài)3的轉(zhuǎn)移概率P_(13)=0.2，均不為0，但狀態(tài)1到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移概率P_(11)=0.6，因此狀態(tài)1不是常返狀態(tài)。由于狀態(tài)1無法到達狀態(tài)2或狀態(tài)3，狀態(tài)1是阻塞狀態(tài)。4.[0.1,0.2,0.7]解析：πP=π，即[0.4,0.6]*[[0.5,0.2,0.2],[0.1,0.7,0.2],[0.1,0.2,0.7]]=[0.4,0.6]。解得P的第三行=[0.1,0.2,0.7]。三、計算題1.E(XY)=1.7,Var(X|Y=2)=0.5解析：E(X)=1*(0.3)+2*(0.7)=1.7。E(Y|X=1)=1*(0.1)+2*(0.2)=0.5。E(Y|X=2)=1*(0.3)+2*(0.4)=1.1。E(XY)=1*1*(0.1)+1*2*(0.2)+2*1*(0.3)+2*2*(0.4)=1.7。E(X|Y=2)=1*(0.2)+2*(0.4)=1.4。Var(X|Y=2)=E(X^2|Y=2)-(E(X|Y=2))^2=1^2*(0.2)+2^2*(0.4)-1.4^2=0.5。2.[0.3,0.4,0.3]解析：解方程組πP=π,Σπ=1，得到π=[0.3,0.4,0.3]。3.0.42解析：設(shè)A_n表示第n天下雨。P(A_3|A_1)=P(A_3|A_2,A_1)P(A_2|A_1)+P(A_3|A_2^c,A_1)P(A_2^c|A_1)=0.7*0.4+0.3*0.6=0.42。4.1/4解析：E(XY)=E(X)E(Y)=(1/2)*(1)=1/4。由于X,Y獨立，E(XY)=E(X)E(Y)。四、證明題1.證明：需要證明存在一條從狀態(tài)1到狀態(tài)3的路徑，且該路徑上的轉(zhuǎn)移概率之積不為0。路徑：1->2->3。轉(zhuǎn)移概率之積：P_(12)P_(23)=0.1*0.1=0.01≠0。因此狀態(tài)1和狀態(tài)3是互通的。2.證明：轉(zhuǎn)移概率矩陣P=[[p,1-p],[1-p,p]]是不可約的（狀態(tài)空間為1個互通類）且非周期的（所有狀態(tài)的周期為1）。根據(jù)馬爾科夫鏈的存在唯一平穩(wěn)分布定理，該鏈存在唯一平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為π=[π_1,π_2]。解方程組πP=π,π_1+π_2=1，得到π=[(1-p)/(2-2p),p/(2-2p)]。當p≠0.5時，該解為平穩(wěn)分布；當p=0.5時，任何分布都是平穩(wěn)分布。五、應(yīng)用題0.425解析：設(shè)X_n表示第