新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第講橢圓及其性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

A

rK-

圖形

4HlOW

22

標(biāo)準(zhǔn)方程〃+[=l(a>b>0)

統(tǒng)一方程"ix2+ny2=l(m>O.n>0,in工〃)

卜為參數(shù)（?！闧0,2m）r二：8sf,e為參數(shù)(?！闧0,24])

參數(shù)方程

y=bsinOy=bsin0

第一定義到兩定點(diǎn)可、鳥的距離之和等于常數(shù)2a,即+鳥1=2“

范圍-a<x<a-by<b一Z?<x<0且一a4yW〃

A"-a,0)、A,(?,0)A"。,-a)、A,(0,?)

頂點(diǎn)

B40,詢、B2(0,/>)B1(-〃,0)、B2(Z?,O)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=為，短軸長(zhǎng)=2〃長(zhǎng)軸長(zhǎng)=為，短軸長(zhǎng)=27;

對(duì)稱性關(guān)于x軸、），軸對(duì)?稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)耳（一40）、鳥（c,0）￡（o,-4、6（0,°）

焦距忻用=2c(c2=a2-b2)

離心率吒書Ty=3與（o<e<i）

準(zhǔn)線方程

c

>1外2J,1外

點(diǎn)卻橢圓

烏+今=1o點(diǎn)（?%，%）在橢圓，

=1o點(diǎn)(%,y0)在橢圓?上上

的關(guān)系GD

<1內(nèi)<1內(nèi)

「+老5",%）為切點(diǎn)）季+於―）為切點(diǎn)）

切線方程對(duì)于過橢圓上一點(diǎn)（七,％）的切線方程，只需將橢園方程中/換為/X，V換為

比y可得

切點(diǎn)弦所

在的直線?+浮=1（點(diǎn)心,%）在橢圓外）岑+答=1（點(diǎn)?,%）在橢圓外）

6rbQ-D

方程

@COS^=--l^nm=Zf；/?E）,（B為短軸的端點(diǎn)）

住

②乂竹鳥=gl4Sin夕=〃tang二?。1%1,焦點(diǎn)在x軸上（e=NFPi

。|小|,焦點(diǎn)在丁軸上（"'%）

C當(dāng)P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，（4^）min=b2y

焦點(diǎn)三角邑4（%，%

當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，（q/pniax-cr洛

形面積

在A：—/7.ir<r11.自兒HHmz；iiIVI辛云

W、二用“T丹又女小型亦Zt\「o羅

I|+1|=2a(2a>2c)

S/a=；IWIIP6|sin〃PK)

222

\F}F21=|PF,I+1PF,I-2|PFXII夕片IcosN耳尸口

上焦半徑：|A/￡|=a-ey

左焦半徑：|M￡|=a+ex°()

下焦半徑：\MFt\=a+ey0

焦半徑又焦半徑：|\=a-exu

焦半徑最大值a+c，最小值a-c

過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2%（最短的過焦點(diǎn)的弦）

通徑

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為4（X]，x）,B{x,,y,）,kAH=k,

則弦長(zhǎng)|A.=J1+&2-即=，1+公J（X]-/）?-4X/2

弦長(zhǎng)公式

=-4乂％=>+?舍

（其中a是消了后關(guān)于工的一元二次方程的x2的系數(shù)，A是判別式）

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1?。已知％尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，。是。上的一點(diǎn)，若PFJPF?,且|尸盟:|尸國=2:5,

則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比值為（）

D,也

L?------

729

【答案】D

【解析】由陷|+|明=2m結(jié)合題設(shè)有|叫=口，席|=%

flO

由入，則+一a=（2c『,

17

化簡(jiǎn)得29/=49c2，故C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比值為葛=/=d=嚕.

故選：D.

【典例1?2】已知點(diǎn)耳,鳥分別是橢圓C.的左、右焦點(diǎn)，P（4,3）是C.上一點(diǎn)，▲尸耳心的內(nèi)切圓的圓心

為/（〃?/），則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

B二

A.—+—=1-京+呆1D.y

24276412

【答案】B

2

=l(fl>/?>0),由尸(4,3)在C上，得二+9

【解析】依題意，設(shè)橢圓C的方程.為〉=1,

cr

顯然，夕耳人的內(nèi)切圓與直線”尸2相切，則該圓半徑為I,而5叼6=3（2〃+20）/=。+。

又SP"2=；.2U3=3C,于是。=2c，b2=a2-c2=\2,因此我+5=1,解得/=28,從=21,

2，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是工+匕=1.

2821

【方法技巧】

（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定片,〃的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：三+X=1.

43

故答案為：—+—=1.

43

題型二：橢圓方程的充要條件

【典例2-1】方程二L十二一=］表示橢圓的充要條件是（）

4+m2-m

A.-4<m<-\B.ni>-\

C.-4<in<2D.Yv,〃vT或-I<"?<2

【答案】D

4+，〃>0

【解析】若」一+工=1表示橢圓，則有，2-"I>0

4+/Z72-m

4+，〃w2—m

解得-4</〃<一1或一1v〃?<2.

故選：D.

【方法技巧】

—+—=1表示橢圓的充要條件為：m>O,n>Ojn^n；

mn

r22

2十v二=1表示雙曲線方程的充要條件為：/加<0；

mn

工+工=1表示圓方程的充要條件為：，〃=〃>（）.

mn

【變式2-1】對(duì)于方程f+y2sina=，aw一泉知表示的曲線。，下列說法正確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B.若。為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若a為正角，則曲線C為橢圓D.若C為橢圓，則其焦點(diǎn)在x軸上

【答案】B

【解析】對(duì)A,當(dāng)a=0,即sina=0時(shí)，曲線C的方程為戈2=1,工=±1,

此時(shí)曲線C為兩條平行的直線，故A錯(cuò)誤：

對(duì)'B,若a為負(fù)角，即一則sina<0,

此時(shí)曲線。為雙曲線，故B正確;

對(duì)C,若a為正角，即o＜aw],當(dāng)a=U時(shí)，sina=l,

則曲線。的方程為犬+產(chǎn)=1,是圓，故C錯(cuò)誤；

1r2.J'

對(duì)D,若C為橢圓，則又V+/ina=1可變形為*十一T

sina——

sina

則c為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故D錯(cuò)誤.

故選；B.

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

【典例3?1】已知雙曲線G：/一￡=]（。＞0）與橢圓a：5+丁=1（〃＞上）有公共的焦點(diǎn)耳,

且G與G在第一象限的交點(diǎn)為"，若△”片入的面積為1,則〃的值為

【答案】&

川+|M居|=2a,

【解析】設(shè)K，F(xiàn)?分別為左、右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得外“I今

所以|M制=4+1,|M閭=〃-1,

所以|“周|此|=〃2-1,

由余弦定理可得恒用2=（|M用+|M周）2一2|"用眼用一2|加￡四馬煙/用明=4（/一小

q2

所以cos3ME=*L,

'a~-\

故sin/￡M居=-8,

■a--\

48

因此的面積為用眼周sinZF'MF2=^（d2-l）^f~=g"因一8=1，

解得a=G.

故答案為：6

【典例3-2】（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，巳人為橢圓。三十上=1的兩個(gè)

96

3

焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，COSNRPFLM，則|OP|二（）

A.月B.叵C.巴D.叵

5252

【答案】B

【解析】方法一：設(shè)鳥=230＜。＜5,所以Sw“"an岑％=〃tan。,

乙乙

CZ)COS'-sin26^1-tan2^3臺(tái)〃汨

tHhcosZ/.Fr.?nP￡K?-cos20=——；-----；—=--------,4展得:tail^=—,

cos-6>+sin26>l+tan2<952

由橢圓方程可知，a2=9,b~=6,c2=a~-b1=3,

所以，忻周x|%|=；x2石乂同=6彳，解得：$=3,

即看=9%一胃g因此仍=值卷=6|=亭.

故選：B.

方法二：因?yàn)閨P制+|尸段=%=6①，|pd+|p6「—2|p@pK|N4"=怩6|2,

則尸用?+|P用2一亮尸用歸囚=12②，聯(lián)立①②,

解得：附||*=*附『+|叫:21,

而P0=3位冗+P居），所以|0P|=|PO|=+PF2\,

即|。。|=*￡+叫*+2PK.+卜可=*l+2x|x畀亨.

故選:B.

方法三：因?yàn)闅w用+歸用=%=6①，|可『+|「周2一2|尸百歸用8S4；分＞忻周2,

即四「+仍用2號(hào)叫因=]2②，聯(lián)立①②，解得：|叫川叫2=21,

由中線定理可知，（2|OP|f+歸段2=2（|PM+|P*）=42,易知周=26,解得：|。耳=回.

2

故選：B.

【典例3?3】已知橢圓。：]+產(chǎn)=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為丹心，點(diǎn)M為。上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),

/耳嶼的角平分線交線段耳鳥于點(diǎn)N,則需=（）

A.-B.—C.—D.41

552

【答案】D

【解析】因?yàn)?￡/8的角平分線交線段￡居于點(diǎn)N,

所以/￡MN=NNMK，

一.，MEF.NMF,F、N

所以由正弦定理得~~/A/A/F=~/j7A4AT，~~/KAKI17~~~TTTZJ，

sinZ.MNFysinZ.F}MNsinZ.MNF2sinZ.F2MN

乂因?yàn)閟in/MN^=sinZMNF2,sinN/^MN=sinN^MN,

MF.MF,MF.F.N

所以版=前，即成;前，不妨設(shè)版|"|例=〃如圖:

a(c+〃)

所以I"周一』_cJa

優(yōu)N|c+nc+nc4J一力2

b”所以需

由題意a=&，=友,

故選：D

【方法技巧】

焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常

用定義，即|P￡|+|PEI=2a.

【變式3-1】已知。工分別為橢圓《+f=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且戶用=2|P段，則

1810

"66的面積為.

【答案】2嫗

【解析】由橢圓匕+—=I可知a=3yf2,b=V10,c=J18-10=2^2,

1810

故|尸制+|P周=2。=66,結(jié)合|P周=2歸用,

可得歸用=4夜,歸周=2夜，而歸閭=2c、=4上，

故為等腰三角形，其面積為&xJ腰灰)2-(0)2=2后.

故答案為：2厲.

22

【變式3-2】該橢圓C：三+匯=1的左右焦點(diǎn)為A，K，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，滿足/士月鳥=90,則

369

.、￡P(guān)工的面積為.

【答案】9

【解析】解法一：由C:—+=1>得〃"=36,力"=9,則a=6,/?=3,c=Ja?—/=36，

369

設(shè)|P凰=〃?,|也|=〃，則由題意得

m+n=2a=\2

]〃2+〃2=4C、2=108'

由=12,得m2+n2+2mn=144.

所以108+2nui=144,得nui=18,

所以二￡2工的面積為：加〃=9

22

解法二：由C:上+上=1,得“2=3622=9,

369

因?yàn)?石2鳥=90

所以由焦點(diǎn)三角形的面積公式得l>tan—=9ian—=9.

22

=60。，若匕關(guān)于6平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓。上，則△耳夕入的面積為()

A.6x/3B.3GC.2GD.石

【答案】C

【解析】設(shè)橢圓卷+/=1(0<〃<3)的長(zhǎng)半軸為4,則〃=3

設(shè)入關(guān)于3PR平分線的對(duì)稱點(diǎn)為Q,

由橢圓對(duì)稱性及角平分線性質(zhì)可知P，工，Q三點(diǎn)共線且儼0=|尸用

又因?yàn)?片尸鳥=],所以△PQK是正三角形，

設(shè)|P用=|Q6|=|PQI=/n,

由橢圓定義可得|尸制十|尸周=9=6,|Q制+|QE|=6,

又1尸。1=忸4|+|?！陓,

所以歸。=12-儼用—|Q用=12-2〃?，

所以〃?=4,即|P用=4,|%|=2,

所以△氏尸鳥的面枳5=3尸修|尸入忖11N耳尸工=，x4x2x衛(wèi)二26.

222

故選：C.

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

【典例4-1】已知〃是橢圓:+),2=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)，則網(wǎng)的最大值為()

逑

A.2B.25/2~T

【答案】C

【解析】設(shè)例Gw。)，且苧+￥=1,

x22

所以|MB|二7(o-O)+(yo-l)==小-3舟()，。-1)2

=J_2￡_2%+4=1-2

又因?yàn)榫拧瓴?5，所以當(dāng).”=-］時(shí)取最大值,

所以也用=口=還,

IImax\199

故選：C.

【方法技巧】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式4?11點(diǎn)P在圓產(chǎn)+?！?)2=；上移動(dòng)，點(diǎn)。在橢圓Y+4),2=4上移動(dòng)，則線段|P@的最大

值為.

【答案】:十苧

【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)〃在圓C：f+(y—上，設(shè)Q(2cosa,sin。)而C(0,2),

，)(2Y2828

則|CQ「=4cos2a+(sina-2)-=-3sina+—1+—＜一,

i3/33

故吼=粵，此時(shí)sina=-|'C°Sa=±T'

又因?yàn)?PQKIPC|+1CQ|=g+1CQ|,

所以|PQ|的最大值是g+彳、份.

X故答案為：—+—V2T.

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

【典例川已知點(diǎn)M在橢圓%齊上，點(diǎn)的，用，旭。)，

則卻的最大值為

)

A.—B.4C.—D.5

44

【答案】C

【解析】

小

作橢圓的左焦點(diǎn)4(-1Q),則|惻+|幽=|叫+4TM耳山4+|明

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)例為線段的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得，由兩點(diǎn)間距離公式得|八可={4+2=；,

2］

故|M4|+|MB|=|MA|+4TMB|K4+|ABJ=W，C正確，

故選：C

【典例5-2】已知橢圓C:工+工=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)磯0,2),點(diǎn)p是c上的動(dòng)點(diǎn)，則仍「|十|阿|的

259

最小值為()

A.5B.10-2x/5C.10D.10+26

【答案】B

【解析】若尸'為橢圓左焦點(diǎn)且尸'(-4，。)，貝1」|''|+|尸用=勿=10,故|P用=10-|尸產(chǎn)|,

所以|PF|+|PE|=|PE|TP尸［+10,

而忸目-pF恫口［=26，所以_26?|尸耳一|尸尸'區(qū)2石，僅當(dāng)。,瓦尸共線時(shí)取等號(hào)，

綜上，|PF|十|P國的最小值為10-2石,取值條件為尸,￡尸'共線且E在P,F'之間.

故選：B

【方法技巧】

在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題的過程中，如

果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解.

【變式5?1】設(shè)橢圓C上+亡=1的右焦點(diǎn)為八動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)A是直線4x-5y-12=。上

43

的動(dòng)點(diǎn)，則|/科-|川1的最小值為()

A16丙16向「16X/4T)416向

A.----------B.-----R------------C.----------4DN.4----------

41414141

【答案】C

【解析】根據(jù)題意知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為9(1,0)，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(-1,0)，

根據(jù)橢圓的定義可知|「川+|尸尸|=4,所以歸戶|二4-歸川，

貝|J儼川尸F(xiàn)|=|網(wǎng)—（4一歸尸|）=|P/4|+|Pr|-4,

所以|%|+|P尸1最小時(shí),即E4|-|P尸|最小,

定點(diǎn)到直線最短距離是過定點(diǎn)直線的垂線段,

|4x(-l)-0x5-12|_I6V4T

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式“J得d

6+52二F

所以|PA|_|PF|=竺產(chǎn).4.

故選：C

【變式5-2】設(shè)/是橢圓三+f=1上一點(diǎn)，p,。分另IJ是兩圓"+3『+)，2=1和(x—3y+V=i上的

167

點(diǎn)，則|陰+|囤的最小值、最大值分別為()

A.8,IIB.8,12C.6,10D.6,11

【答案】C

【解析】(X+3)2+V=1的圓心為A(-3,0),(%-3『+y2=i的圓心為8(3,0),兩圓半徑均為廠=1,

由于/=16,從=7,=16—7=9,所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為人(-3,0)和8(3,0),

由橢圓定義可知：|M4|+|MB|=2?=8,

所以附片+|M?I的最大值為|M4|+|M@+2-=8+2=10,|西+四。|的最小值為|M4|+|幽-2-=8-2=6.

故選：C

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1:利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換

【典例6?1】已知尸是橢圓C:5+￡=l(a>b>())上一點(diǎn)，耳,8是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，防/8=0,點(diǎn)

。在的平分線上，。為原點(diǎn)，0Q//PF、,且|OQ|=3.則。的離心率為()

網(wǎng)D

Lr?-----I

A?粵Bl3

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)|p用=，〃，|p段=〃，延長(zhǎng)3交尸瑪于A,

由題意知OQ〃P￡,。為4K的中點(diǎn)，故A為尸層中點(diǎn)，

又P￡P(guān)6=0,即則N￡P(guān)6=NQ4P=5,

又點(diǎn)。在/耳尸鳥的平分線上，則NQA4=E，故-QA尸是等腰宜角三角形,

4

因此闕=解=；|叫=f,

則|=；|尸周=g機(jī)=|OQ|+14Q|=2)+g〃,

川得，〃?一〃=4/7,

又|「用+歸周=27,則"7+八=%,

m=a+2b

因此可得?

n=a-2b

又在R3P6與中，|尸國2+|產(chǎn)工『二忻用2,則用2+〃2=4C?,

將‘〃一〃2b,代入，/+//=4,得(a+2Z>y+(a—=4c?,

即/+4/r=2c：由Z/=a」一c?所以5/=6c"

所以e2=￡.=3,e=叵.

a266

故選：A.

【變式6?1】己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為橢圓C：5+，=](〃>/,>())的右焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P,

使得△”>?為等邊三角形，則橢圓。的離心率為

【答案】>73-1/-1+>/3

【解析】取橢圓。的左焦點(diǎn)耳，連結(jié)「6，

由△OFP為等邊三角形，財(cái)04=|。尸|=|。用,

可知△門勿?為直角三角形，

設(shè)印￡|=2c,則歸尸|=c,1周=辰,

可得〃=歸用+|尸曰=（百+卜，則:=2

21=-75-1,

V5+1

所以橢圓。的離心率是。=￡=G-i.

a

故答案為：x/3—1.

方向2：利用。與。建立一次二次方程不等式

【典例7?1】已知昂居是橢圓E:￡.+￡l（a>〃>0）的左、右焦點(diǎn),若E上存在不同的兩點(diǎn)48,

a2b-

使得不4=百片8,則上的離心率的取值范圍為（）

A.（0,72-1）B.（0,V2-l]C.（3-2及,1）D.[3-272,1）

【答案】C

【解析】如圖，延長(zhǎng)入耳交橢圓于4,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得68=AZ，6A=V$A￡，

IFAI

當(dāng)A，A分別位于E的左、右頂點(diǎn)時(shí)，上*有最大值，

IA用

又因?yàn)锳,4不重合，所以空工>四，即>￡>&,

a-c1-e

解得e>3-2Vi，

所以￡的離心率的取值范圍為（3-2&,1）.

故選：C.

【典例7?2】已知6，工分別是橢圓E:￡+g=l(a>〃>0)的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢

a"h

圓E上一點(diǎn)，尸耳與y軸交于點(diǎn)M.若|。4=。制，|M用=當(dāng)，則橢圓￡的離心率為()

0

A.'或'B,正或叵C.，或;D,且或1

98344422

【答案】B

【解析】由|。必=|。用，得|OP|=JAE|,則則△96S^OEM.

則忸局用二局局，即因。1=至留,解得|尸止12?

~5a~

6

WIICLIcc12d\0a2-12c2

則I尸6|=2a-|PE|=2a-=——--------,

因?yàn)镻±_L尸居，所以忙￡『+歸閭2=內(nèi)周2,

即(生]+'0"-121]=4?)整理得72/一85//+25/=(),

[5。"I5a)

則72^—85/+25=0,解得或/=|,

故選：B.

【變式7?1】已知直線/過橢圓C：5+/=l（a>〃>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與。交于M，N兩點(diǎn)，若當(dāng)/垂直于

x軸時(shí)|MN|成則C的離心率為（）

A.-B.C.BD.1

2222

【答案】C

【解析】

如圖，不妨設(shè)直線/經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)尸，因/垂直于“軸，由圖形對(duì)稱性知，橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（c《），

代入橢圓方程E+E=l可得，；+工=1,整理得，166*+〃4=16/月

a'b~a'16/?'

把從=/一/代入整理得，16c4-3%2c2+15/=0,

3s

兩邊同除以/,即得，16?-32/+15=0,解得/=了或/=：,

44

因0<e<1,故得，e=@~.

2

故選：C.

方向3：利用最大頂角9滿足sin?<e<l

4

【典例8?1】已知巴、乃是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足崢?加6=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心

率的取值范圍是（）

兒（閽B.jo，］C,（0,1）口.肉）

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為外仇?

；/咐1陷=0=用￡，用外，

點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)0為圓心，半焦距c為半徑的圓，

又用點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，

「?該圓內(nèi)含于橢圓，即c<〃，c2<b2=a2-c\2c2<a2,

【典例8.2】已知橢噂的左、右焦點(diǎn)分別為憶（若橢圓上存在一點(diǎn)/使得

2

公朋=三,則該橢圓離心率的取值范圍是

【答案】

【解析】由橢圓的定義可知：PFi+PF2=2a,

在中，由余弦定理得：

COS/FPF/產(chǎn)+—-6pp+^py-ZGPEP-4入2卡苞L1

122F\PF?P2F\P￡P(guān)2F\P￡P(guān)2

所以月產(chǎn)?人尸=44,

乂.PgPW（￡P(guān)；VPy=/,即4從4a2,當(dāng)且僅當(dāng)片P=死尸時(shí)等號(hào)成立，

故4a2-4c2<a2，

所以3/44°2,r>|,解得：eet^-A）.

故答案為：［*1）

【變式方1】設(shè)耳、乃是橢圓，+，=1（〃>>>。）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)P使得

則橢圓的離心率的取值范圍.

PFPF2=O,

【答案】（等」）

222

［解析】設(shè)點(diǎn)P（x，y）,易知6（-C,0）,瑪（c,0）,則PF1PF2=（-C--y）?（c-x,-y）=x+y-c=0,

故點(diǎn)P的軌跡為圓V+y2=c2,由題意可知，圓/+2=02與橢圓￡+1=］（〃>。>0）相交，

a-b~

故答案為：（4J）.

方向4：坐標(biāo)法

【典例9-1】已知橢圓c：5+4=1（穌〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，以居為圓心的圓交y軸正

a'b

半軸于點(diǎn)。，交x軸于0N兩點(diǎn)，線段?！昱cC交于點(diǎn)例.若△EMN的面積為6/（。為橢圓的半焦距）,

則C的離心率為（）

A.5/2—IB.2—5/2C.>/3-1D.2—>/3

【答案】C

【解析】如圖所示，￡（—。,0）,瑪（c,0）,所以圓外的方程為。c）2Iy2=4c2,

令x=0,則1y=±J5c,由圖可知。（0,6c）,

令y=（）,則1=Y或x=3c,所以N（3c,0）.

設(shè)點(diǎn)Ma。,/）,因?yàn)椤鳌闙N的面積為&2,

所以S=：X4C、X），O=GC2,解得比=3°,

22

YV

乂因?yàn)橹本€”。的方程為：；+唬=1，因?yàn)辄c(diǎn)M在直線匕。I'.,

所以令為=今5得%=一；~所以等，，

（1丫也丫

因?yàn)辄c(diǎn)例在橢圓C上，所以［TCj,即限2+3片°2=4。&，

a~b~

222422

所以（a-c）c+3a2c2=4/（片,化簡(jiǎn)得c-3ac+4/=0，

所以e,-8e2+4=0,所以?2=4±2石，因?yàn)镺vecl,所以?2=4-26,

所以e=7J_i.

+方=1(。＞方＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為6(—0),鳥(C,0),點(diǎn)、M,N在

。上，且滿足EM//N且qM=26N,若耳MMN+?=|耳Fj,則。的離心率為

【答案】史匚石

33

【解析】如圖所示,設(shè)M&,y),N(孫一)，且Fi(fO),4(c,0),

由耳〃//尸3，F(xiàn)1M=2F?N得,F、M=2F?N,

*+c=2（x「c）,即N=2招-3c廣、

所以'①,

"=2y2[y=20%

又耳N.MN+q"=|6K-，可化為(.+祖與-%)+%(必-)1)+3=公2

2

將①式代入得,（X2+C）（3C-X2）-J2+^-=4C,

即(再+c)(%2-3c)+y；+4c?=2,配方整理得，(W-。丫+丁；=今，

所以依(吟，即后N|g則忻必=與，

又由苗N|+怩N|=2a,因W|十優(yōu)M|=2a,得恒N|吟，優(yōu)閭等，

因?yàn)镕、M1/F2N,所以NA#；6+NN5￡=%

所以cos/M￡E+cos/N鳥￡=。，根據(jù)余弦定理，

42（，16

-a"+4c---a3ca-/

99

2

—ax2c

3

1o/，250

W閭，館外「-|N川2q-+4u-go-6d_4/

cos/NFFi=

|N周M周〃2c-訛

3

所以X+U=°,解得9jR所以，,二4

【變式9-1】設(shè)M,N,尸是橢圓提+￡=1（。＞力＞0）上的三個(gè)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形。MNP

為正方形，則橢圓的離心率為一；

【答案】近/《娓

33

因?yàn)樗倪呅蜲MNP為正方形，結(jié)合圖形可知ZA/OV=45。，可設(shè)M（x,x）,

則=十￡=1,貝■2=?r,N的坐標(biāo)為（&0）=（2x,0）,

所以/=4/=與；，所以/=3從，

a-+b'

所以橢圓的離心率e=￡=也亙=、|工=、「?=逅.

aaYdV33

故答案為：

3

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

【典例10?1】已知斗鳥是橢圓+/=的左、右焦點(diǎn)，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，過K作直線

與C交于A，B兩點(diǎn)，若M馬=|力例，且.OAF?的面積為正孔則橢圓C的離心率為（）

6

A.且B.3C.在D.正

12632

【答案】C

【解析】

n

我們首先來證明一個(gè)引理：若/耳4鳥=a（0＜。＜兀），則S曲a=b2tan（

證明如下：設(shè)|4用=〃?,|4囚=2〃-〃?，則由余弦定理有

4c2=nr+(為一〃[J_2m(2a-rn)cos0,即4c2=["?+(2〃一/〃)1-2m(2a-m)(\-\-cos,

2

LL,、I/-?\4i7"-4c"2b

Hi以ml2a-m)——；------r—-------,

2(1+cos01+cos0

,如2sin—cos—0

所以S,"出=-/?（2?-/n）sin0=--。sin。=從----22=h2tan-,從而引理得證；

2cos"一

2

22

根據(jù)題意可得，54FF=/?tan-=25mf=2xJ=%,解得tan&=旦,

AF'Fi2Q66323

因?yàn)樗?=白解得夕=三，

22263

由|4周二M卻，NBAF2g可得三角形48工為等邊三先形，

所以4a=|跖|+|伍|+|禺=3|但|,所以|A周哼,所卜20_群與,

所以阿二刀-手=手=|明，所以耳是48的中點(diǎn),

所以ABJ.Eg所以償J=（2c『+停j,即/=3C2,

所以e=￡=蟲.

a3

故選：C.

【典例10-2】己知橢圓。的焦點(diǎn)為工，羯,過甚的直線與C交