新高考數(shù)學一輪復習

專題突破錐曲線離心率

題型一：建立關(guān)于〃和C的一次或二次方程與不等式

【典例1?1】設(shè)。鳥分別為雙曲線C:=Ka>0力>0）的左右焦點，過點F2的直線交雙曲線右支于

點、M,交V軸于點N,且工為線段MN的中點，并滿足印W_LP；N,則雙曲線C的離心率為（）

A.B.V3+1C.2D.>/5+1

2

【答案】A

【解析】由題意,4（-c,0）,瑪（c,0）,設(shè)M（x,y）,則N（O,-y）,

因為尸2為線段MN的中點，所以x=2c,即”（2c,y）,則6M二（女,），）,用7=仁—），），

因為丹必_L^M,所以6M?￡N=3?-y2=（）,即）,2=302,

2252

乂明在€*:]-}=1（。>02>0）雙曲線上，所以*一今=匕

結(jié)合//一/整理得4?-8c2/+d=0，所以4/-8r+l=0?

解得/=1+且或/=]—直（舍去），由e〉],解得—史上1.

222

故選：A

【變式1?1】已知橢圓C:￡+￡=l（a>b>O）的左、右焦點分別為"，尸2，以巴為圓心的圓交軸正半軸于

（Tb~

點、D,交x軸于"，N兩點，線段。耳與C交于點M.若△￡MN的面積為（，為橢圓的半焦距），則。

的離心率為（）

A.V2-1B.2->/2C.V3-1D.2-73

【答案】C

【解析】如圖所示，4（-0）,鳥匕0）,所以圓心的方程為Q-c）2+）2=4仁2,

令工=0,則y=±J5c,由圖可知。（0,、/5c）,

令？=0,則x=-c或1=3c,所以N（3c,O）.

設(shè)點”（七,為），因為的面積為有c2

所以S=；X4CX），O=GC2,解得為=冬,

xV

又因為直線6。的方程為一+方=1,因為點M在直線6Q上,

-cyj3c

所以令為=&得％=j，所以M［十亭［

2~IJ/

因為點M在橢圓C上，所以1;c）

即///+3a2c2=4a2/?2?

所以一c?)c?+3az*=4/(?2-c2),化簡得/一842c2+4/=0,

所以e，8e2+4=0,所以合=4±2石，因為O〈e<l,所以?2=4-2后,

所以e=G—1.

題型二：圓錐曲線第一定義

【典例21】P是橢圓ci（Q6>0）上一點，匕、尸2是。的兩個焦點，P%PF2=。,點0

在/耳2鳥的平分線上，。為原點，OQ//PF,,且|。9=沙.則c的離心率為（）

A.-B.3C.巫D.近

2332

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)|尸周=凡|尸耳卜明延長Q2交尸瑪于A,

由題意如。?！?O為耳用的中點，故A為尸鳥中點，

又PF\PF?=G,即尸貝！NQAP=］,

m+n=2a

m-n=2b

故有4c2,化簡得

ni+n=2a

"〃工

22

代入〃，+n2=4c2得(a+b)2+(a-h)~=4c2,

即后+/=2c2，由從=即-c2所以2a2=3c",

所以Y，一冬

故選：c.

【變式2-1]已知雙曲線。:二一5=1（。〉0力＞0）的左焦點為產(chǎn),過坐標原點0的直線與雙曲線C交于

a~b~

M,N兩點,且點M在第一象限，滿足。M=。凡若點。在雙曲線C上，且NP=4NF，則雙曲線C的離心

C.2夜D.75

設(shè)雙曲線右焦點為八,連接MF,MF?,NFL

由題意可知M,N關(guān)于原點對稱，所以0M=ON=OF=OF2,

所以NFNK是直角，由NP=4NF，可設(shè)|NQ=〃L貝"N"=4M,即|研=3加

由雙曲線的定義可知：|即|-|PF|=2,|A閭一|必=2%

則|%|=2〃+3〃7,加段=24+〃7,

由/EV尸2是直角得：|尸聞2=|PN『+|N段2,

則（2。+3/〃）-=16/?r+（2〃+〃?）2,解得：m=at

又由NFN入是直角得：忻圖2=|FN『+|”『，

則怛段2=/+9/=10/=4—解得：?=1=半，所以離心率6=當

故選：B.

題型三：圓錐曲線第二定義

【典例3?1】古希臘數(shù)學家歐兒里得在《兒何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一

定義，他指出，平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)，的點的軌跡叫做圓錐曲線：當0<e<l

時，軌跡為橢圓；當e=l時，軌跡為拋物線：當e>l時，軌跡為雙曲線.則方程"二4）：+）：=!表示的圓

|25-4x|5

錐曲線的離心率e等于（）

1c4_5、「

A.-B.—C.—D.5

554

【答案】B

Jdf+）,2（i）2+）,2_]

【解析】因為一|25-4.r|-4r_25一—3，

7（x-4）2+y2_4254

所以25—=3,表示點（x，N）到定點（4,0）的距離與到定直線x=3的距離比為三

X-----45

4

4

所以e=（.

故選：B

【變式3?1】已知雙曲線C:1（〃〉0力>0）的右焦點為產(chǎn)過尸且斜率為6的直線交C于A、B

兩點，若人尸=4￡8，則。的離心率為（）

B.°9

A.9D.

855

【答案】B

，2

【解析】設(shè)雙曲線C:二-與=1的右準線為/,

a'b-

過A、6分別作AMJJ于M,BNAJ于N,3D_L/VW于。,

如圖所示：

因為直線八3的斜率為

所以直線A8的傾斜角為60。,

,NfiAD=6O°,|叫=；|相|,

由雙曲線的第二定義得：|人用卜1於|=|明」（卜尸卜網(wǎng)）=JM=；（|AF|+網(wǎng)）,

e1，

乂'：AF=4FB，

w網(wǎng)=1叫

5

故選：B

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）

【典例4?1】已知過坐標原點。且異于坐標軸的直線交橢圓￡:二+二=1（。＞力＞0）于P,A兩點，過OP的

a'b~

中點。作x軸的垂線，垂足為C,直線AC交橢圓于另一點8,直線PAPRAB的斜率分別為勺則

21

/=____;若k/=r則E的離心率為_____.

“32

【答案】|手

【解析】設(shè)尸(%o，yo),則QJ。y,O^,A(-vo,-yo),

2,

29+%-n

aFb2

設(shè)則,22

今X

+F-n%—內(nèi)玉+內(nèi)

故幽=-與，結(jié)合柩=彳，.茄可得：他=—4，<:￡],6=當

a233aa3a33

故答案為：I，巫

23

22

【變式4?1】如圖，A,8分別是橢圓。:=+4=1（。>/>>0）的左、右頂點，點〃在以A8為直徑的圓。上

a~b~

（點尸異于A，。兩點），線段Q與橢圓C交于另一點Q，若直線8P的斜率是直線8。的斜率的4倍，則

橢圓C的離心率為（）

r&D

2-i

【答案】C

【解析】設(shè)尸（N，X）、。（"力），易知A（-0）、8（砌,

b-

則￡+g=ln為=/八中,做。*即必_0>2~0_%-不一2,

2

a~b~'a~x^+aX,-。^2-a

占+a%―a

%Q=4=k”=紅」

x2-ax}-a

所以砥尸?L=4kAp,%=4(笳T=-1ne=等

故選：c

題型五：利用正弦定理

【典例5?1】已知雙曲線C:0-￡=乂?！?力〉0）的左焦點為F,過點尸且斜率為白的直線與C的兩條

漸近線分別交于點M,N,且M,N分別位于第二、三象限，若照=:，則C的離心率為（）

M2

A.旦R.氈C.巫D.75

233

【答案】B

\MF\1SMU1\MO\1

【解析】設(shè)。為坐標t原點，由扁=5,得或=5,乂兩漸近線關(guān)于X釉對稱，所以周二3

直線MN斜率為G，則乙“0=%

令乙MOF=0,則

IM

△AOV中，由正弦審理得叫.（…n）

解得tanOuY^,故2=

FMA)*os6+%J2

3a3

所以C的離心率e==空.

3

故選:B

【變式5-1】已知橢圓,+京-Ma>。/>0）的左、右焦點分別為大（Y，0）,6（。，0），若橢圓上存在點尸

（異于長軸的端點），使得csinNPKE=asin/P64,則該橢圓離心率e的取值范圍是.

【答案】（夜-1，1）

csinZ.PF^F.|P/\|sinZ-PF^F.

【解析】由已知，得住:二=、/P./，由正弦定理，得￡4=?“JJ

asinZP/^E,\PF2\sinNPF】F?

歸周I啕阿.

由橢圓的幾何性質(zhì)，知。一c<IP閭<〃+c,

2aa-claa+c

所L*11r-f1>----Id：-----1t<----

"以|P用a+c"|P/s|G-C'

所以e>---且ev----,

1+e1-e

即/+20—1>0且/+l>0，

結(jié)合0<e<l,可解得ew（夜-1,1）.

故答案為：

題型六：利用余弦定理

【典例6-1］已知雙曲線叱。力>。）的右焦點為尸，過點尸作直線,與漸近線小吁°垂直,

垂足為點P,延長尸產(chǎn)交E于點。.若尸。=3P”，則E的離心率為（）

A9D.7?

?5

【答案】B

【解析】設(shè)廠（c,0）。為坐標原點，則|尸尸|=—=b,從而cos/OFP=2.

\la2+b2cc

設(shè)E的左焦點為廠',|8|=/,連接。尸，山雙曲線的定義，得|?！?/十2/

在。戶中，由余弦定理，得“+2,小人出2—十"解得吃

—?//b3

由網(wǎng)2=3P/，得」一=35,解得一二：,

a-ba4

所以e=上

故選：B.

【變式3已知雙曲線C言』=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為片,工，雙曲線的右支上有一點

A,A匕與雙曲線的左支交于點“，線段AF?的中點為M,且滿足BM_LAE，若/加4鳥=^，則雙曲線C

的離心率為（）

A.2B.x/6C.V7D.V13

【答案】C

【解析】

因為M是線段AF?的中點，且BM1AE，所以|相|=忸圖,

乂N&45=1,所以△AB鳥是等邊三角形，

設(shè)△四鳥的邊長為〃?，由雙曲線的定義知，\AF]-\AF2\=2a,BF2\-\BF,\=2a,

所以|4月=in+2a,IBFX|=m-2a,

又懷周一忸"|=|明=凡所以〃?-2。一（〃7-2。）=m，即m=4a,

所以|g|=6a,|伍|=4a,

在中，由余弦定理知，忻用2=|4"「+|A周2_21MMFjco（，

所以（2c）'=36a2+16a2-2x6。x4"x—=2&J

2

即c=V7a,所以離心率e=￡=近.

a

故選：c

題型七：內(nèi)切圓問題

【典例7?1】設(shè)片，乃是雙曲線C:￡-￡=l（a〉O力〉0）的左、右焦點，點A是雙曲線C右支上一點，若

UUUllliuuumi

的內(nèi)切圓"的半徑為〃（M為圓心），且使得AM+30M=/l￡K,則雙曲線。的離心率

為一

【答案】也

【解析】設(shè)M（.3,），M）,A（5，M）,由對稱性不妨設(shè)點A在第一象限，此時點M也在第一象限，

ULUILUMHULU

因為AA/+30M="；鳥,所以％-以+3%=0,力=4%=而,

所以山"2=：2?4〃=；借用+|A用+2c)-a,又|4用一|A用=2〃，

解得：［4用=3c+a,|4周=3c-a,F^-c,0)

所以IM=J(4+c『+)匕=,+】=Je*+2sA+/=J(%+a)2=%+a，

所以|A用=a+%.解得：=3a,所以A(3a,4a),

代入雙曲線方程得已—"=1，解得：b=Ea，°=曲"=百〃，

/?1/

所以離心率e=￡=V5.

a

故答案為：有

【變式7?1】設(shè)K，工是雙曲線C：=1（。＞0力＞0）的左、右焦點，以「6為直徑的圓與雙曲線在

a1h-

第一象限交于點人且|戶用=3|尸周，則雙曲線C的離心率為.

若，PR6內(nèi)切圓圓心/的橫坐標為2,則上。耳人的面積為,

【答案】萼6

【脩析】設(shè)以六鳥為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點設(shè)為P,

則尸瑪=90。,由雙曲線的定義可得|尸制-|P閭=同=2|P閭,

所以歸q=3-歸身=〃，由勾股定理得|P4f+|p周2=怩用2,

即有9a'+a2=4c2?**?e=.

2

設(shè)，PE6內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點橫坐標為/，

則儼用一|尸眉=眼用—阿瑪，則%一a=7+c-(cT)=2r,

解之得r=〃

又由，戶耳尸?內(nèi)切圓圓心I的橫坐標為2,得〃=2,

故「1可卜-圖=Jx6x2=6.

4乙

題型A：橢圓與雙曲線共焦點

)是橢圓：與=與雙曲線

【典例8?1】(多選題)已知F2(c,o(c>0)GW+l(q>4>0)

4t

G普言=3＞。也＞。)共同的焦點小々分別是G，g的離心率，點M是它們的一人交點，則以

卜.判斷正確的有()

A.△片加工面積為方伍

0

B.若N"MK=0,則5w(sin3,1)

乙

C.若/幣必鳥=1，則e2的取值范圍為最+8)

D.若/大/鳥=年，則就+目的取值范圍為(2,+00)

【答案】ABD

【解析】設(shè)|崢|=〃2，|詼|=〃，NK"6=e，I”可二2c,不妨設(shè)M在第一象限.

2

.?.〃?+〃-2.,m-n—2a2,/.m-a{A-a2,fi—ai—a2,c=a；-b；=a：+b：.

nm=af-a；=b「+b；.

對于A'在△耳明中,由余弦定理可得c。蟲嗎稅件=*1=怠

升一局2:2/柩

sinO=-cos20=1-(

b；+b；b；+b；'

5=g|MR||M周sine=；xS：+&)x需廣他，A正確.

對于B,在△耳M用中，由余弦定理可得怩圖2TM制2十.周2一2附片四國cosg,

即4c*=in2+n2-2mncos0=(m+?)2-2mn-hnncosO=4"；一InwcosO,

2a：-2c22/r"+小

:，nvt=-!---------=------!—<(--------y=a：.

l+cos。1+cos。2

二駕=2("；辿=2-2e?<l+cos<9=2cos2-

a；<2

.-.e;>1-cos2—=sin2—,e.e(sin—J).B正確；

222

222

對于C,當夕=T時，4c*=nr+n-2/w/cos-^=(a1+a2)+(q-a2)+(q+a2)(q-a2)

,,,31、?“3,

即2a；+%=4c2,所以=+7=4,所以丁=4-丁.?.?e；e(l,+8),

Cie,gCi

季畤.設(shè)‘力,W=p4城7產(chǎn)+4-3”|)2+扣°’1).

所以e.€（l,+8）.C錯誤;

對干D,e；+e：=；(e：+e；>(W+±)=1+：(鳥,記〃=鳥>1,

4e；34c~c~e；

e,+e?=1+-(-+3w)>1+-(1+3)=2,即e：+e；e(2,+co).D正確：

4u4

故選:ABD.

2222

【變式8?1】（多選題）如圖，P是橢圓G：「+與=1（〃>〃>0）與雙曲線。,：之一與=1（陽>0.〃>0）在第

a'b~~nrn~

一象限的交點，尸2=火且G，G共焦點的離心率分別為4，《2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.\PFi\=a+nt\PF2\=a-m

B.若e=60，則4+-V=4

q%

C.若。=90，則e；+e；的最小值為2

_0n

D.tan-=-

2b

【答案】AD

【解析】A.由題意可知，I0用+歸周=2%|P用-|P周二2"

得|P周=4+〃7,歸6|=4-〃7,故A正確;

B.鳥中，若。=60，設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c,

根據(jù)余弦定理，4。2=（a+〃?y+（“-/〃y-（〃+〃?）（a-m）,

整理為4c2=a2+3m2,

h11a2nr4c2-2nr.2m2...一“口

而r+r=r+-r=i=4丁<4,故B錯誤;

<壇廠廠廠廠

C.若。=90，則4c2=(a+m)~+(a-m)2,則a2+nr=2c

則*嗅2,

CC~

當”二加時，等號成立，這與加矛盾，所以e：+e；>2,故C錯誤；

D.在橢圓中，21P用歸用cos8=|可『+歸用2―忻用『=（歸用+歸周『一2仍用歸入卜比周2,

=42-4。2-2|尸司|尸閭,

2b2

整理為歸/歸國二

1+cos。

在雙曲線中，2仍用歸用cose=|PG『+歸用2_恒眉2=4〃?2_4。2+2盧凰歸周,

2/

整理為|尸胃歸國=

l-cos?

0

2n2-

2/r_2b~卬〃°二|一cos、sci22。

02-

1-cos。-1+cos。b2l+cos。22-

OS2

而。<滴，則嗎啜故D正確.

故造：AD

題型九：基本不等式

【典例9-1】設(shè)橢圓C：1+與=1（。>。>0）的右焦點為尸，橢圓C上的兩點A,6關(guān)于原點對你，且滿足

a~b~

M.ra=0，\FB\<\FA\<j3\FB\t則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A」《，1C.rV5-l,l）D」與W

2J[_2JL7|_22

【答案】B

【解析】如圖所示：

設(shè)橢圓的左焦點R',由橢圓的對稱性可知，四邊形4所尸為平行四邊形，

又E4/8=0，即月4_1_人8,所以四邊形為矩形，.,.|人?=|"1=2°,

設(shè)|4尸[=〃，|AF|=〃Z,在直角..Mf'中，"?+/2=2a,>+〃2=4（?2,

ZHi1匚「卜1〃？112c2〃2.12c2

得〃"?=2〃~,所以—I—=——>3——t?得/+-=->

nmbnib

又附百網(wǎng),得'=/e1l,行I，所以"=?c2，￥

nL」[3

所以77GLf?即26-3,g,所以二wt,4-25/5

b~3a~2a~2

所以橢圓C的離心率的取值范圍為e=

故選：B

【變式9-1】已知點A為橢圓三+，=1(。＞人＞0)的左頂點，。為坐標原點，過橢圓的右焦點尸作垂直于

.丫軸的直線/,若直線/上存在點P滿足NAPO=30。，則橢圓離心率的最大值.

【答案】g

【解析】由對稱性不妨設(shè)。在x軸上方，設(shè)4POF=a,4PAF=0

inin

:.tanZAPO=tan(a—力)=―

'7,min

1+-------

ca+c

aa

am_<

c(a+c)+m2c(a+c)+-24c(a+c)當且僅當加=Jc(a+c)取等號,

ni

???直線l上存在點尸滿足NAPO=30。

，(tan/A尸O)>2

\/max3

HP—i----->2-,

2y]c(a+c)3

A4e2+4e-3<0,即(2e-l)(2e+3)WO,

所以U<e弓，

故橢圓離心率的最大值為g.

故答案為：

題型十：中點弦問題

【典例10?1】已知橢圓C：*+"=1(〃>〃>0)的焦距為2c,左焦點為F,直線/與C相交于A,B兩點,

I3

點P是線段48的中點，P的橫坐標為:c.若宜線/與直線戶小的斜率之積等于-2，則C的離心率為一.

316

【答案】y/0.5

【解析】F(-cO),

設(shè)人(內(nèi),凹)，鞏大，x)，

因為點P是線段A3的中點，P的橫坐標為§c,

所以“馬=手2c喈,理

3

則二于二

"”"8c

23

由直線/與C相交于4,B兩點,

得%￡=序+5"

兩式相減得*/「平=0,

即（%72）（1+電）+（）。2）（凹+必）=0

a2b-

所以器需著T

,2

=_4,2

即始—%1+x2_b2c

所以&/=--2

/3（y+%）'

&+x2a'

b22c3（y+必）_b?_3

則為?%.

/3()，產(chǎn)%)8c4a216'

所以￡■=?,

a24

所以離心率e=2]_

a2

故答案為:~.

【變式10.1）已知橢圓八叱…）的右焦點為八過F且斜率為1的直線/與丁交于A8兩點,

若線段A8的中點M在直線工+2），=0上，則7的離心率為（）

A.立B.更

V—?----D.與

4352

【答案】D

設(shè)A（x，x）,8（W，M），由題意可知直線AB的方程為尸x—J

線段AB的中點M是直線/與直線工+2），=。的交點,

2

x=-c

聯(lián)立「二八，解得1，所以M

x+2y=01

,y=—c

r3

x-21-1

另一方面，聯(lián)立{/+爐=,^{a2+b2）x2-2a2ex+a2c2-a2b2=0.

y=x-c

易知△＞（）,由韋達定理得％+W=2￡=&。，解得片=2從，

a~+3

所以/=2卜/一/）,故離心率《=￡=也，故D正確.

、'a2

故選：D.

題型十一：已知焦點三角形兩底角

【典例n?D（多選題）已知雙曲線。：5-￡=1優(yōu)>。>0）的左、右焦點分別為",K，雙曲線上存在點

P（點尸不與左、右頂點重合），使得“P入片=3/PR用，則雙曲線C的離心率的可能取值為（）

A.&B.73C.—D.2

22

【答案】BC

【解析】?：b>a>0,則離心率6=，片>&，則排除A：

記N//死=a（0°vav45。），歸周=〃2,盧瑪|=〃,

則Z.PF2F}=3ajn-n=2a,

〃？_n_2c_m-n_2a

由正弦定理結(jié)合分比定理可知:

sin3asinasin4asin3a-sinasin3a-sina

sin4a2sin2(7cosla

則0=-----------------=---------------:-------------------=2cosae

sin3a-sinasin(2a+a)-sin(2a-a)

所以B,C是正確的，D不正確.

故選：BC.

【變式11-1】已知雙曲線捻-，=1（4>0,〃>0）的左、右焦點分別為。K，例為雙曲線右支上的一點，若

M在以出局為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取倩范圍為（）

。1Lt

A.（l,x/2]B.[x/2,+oo）C.0,75+1）D.[夜,6+l]

【答案】D

【解析】在以花國為直徑的圓上，.?.M￡_LMF2,

愣,cos"需,

：.\MF\=2csinNMF述,\MF2\=2CCOSAMF2F{,

由雙曲線定義知：|"用一眼周二2a,即2c、sin/M/^-2ccos/M/^=2a,

.?a-sin/M^-cos/MKR"-；)；

.「乃5乃]...?乃「乃；r[.(...?"[4^-41\

//知Kr鳥r耳"？之＞..."鳥r耳一片后小，,sM/Mr6-4-'2

則72sin(ZMF26-訃[，圉，.?爭[△石+1],

即雙曲線離心率的取值范圍為[a,6+1].

故選:D.

題型十二：利用漸近線

【典例12?1】過雙曲線C:*■-￡=1（。>0,〃>0）的右焦點廠向雙曲線C的一條漸近線作垂線，垂足為。,

線段尸。與雙曲線C交于點E,過點E向另一條漸近線作垂線，垂足為G,若喀票W，則雙曲線C

的離心率為（）

A./B.V20?苧D.乎

【答案】A

【解析】由題意，知雙曲線C的漸近線方程為法±什=。.

設(shè)雙曲線C的半焦距為c,則右焦點Re,0）到漸近線的距離I。臼=~^==b

設(shè)點抬，為），則今一*1，即力飛一冷：=/力2.

乂園.二堂*.空駕;警，

\Jb~+a-\Jb~+a-c

\DE\\EG\_a2_1_1

所以

|DF|2c：3

解價e=>/3.

故選：A.

【變式12-1】己知居分別是雙曲線C:5-0=1（4>0⑦>0）的上、下焦點，過點F,且與y軸垂直的

ah~

直線與C的一條漸近線相交于點P,目.尸在第四象限，四邊形尸￡。々為平行四邊形.若直線QK的傾斜角

■■

，則。的離心率的取值范圍是

??

【答案】

如圖所示，由雙曲線的對稱性可知。也在雙線的漸近線上，且0在第二象限,

由P6_Ly軸可知QK_L），軸，設(shè)。（.%,。）.

又0在漸近線〉=-/工I-.,

b

所以貝hana=&QF、=一本,

V?/b

題型十三：利用焦半徑的取值范圍

22

【典例13-1］已知雙曲線M:*?-"=1（。＞。/＞。）的左、右焦點分別為￡，6，山周二2c.若雙曲線M的右

支上存在點P,使?晨心=.;…，則雙曲線M的離心率的取值范圍為___________.

sinZPAjA,sinN也片

【答案】（1,竺巨）

3

【解析】依題意，點?在雙曲線的右支，?不與雙曲線頂點重合，

在△尸耳吊中，由正弦定理得：

?桃?=孫?I，.-—=3c于是每

11

sinZPF^sinNP6耳'sinZPF}F2sin/P^￡'a~3cf

而點P在雙曲線M的右支上，即|。用-|/有|=2%從而有|尸人|=鄉(xiāng)二，

“3c-a

點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有|P5I＞CT7,

因此2"＞c-4,而c＞4＞0,整理得3c2-4?！阋弧?＜（）,即3『-4e-l＜（），

3c-a

解得三巨＜。＜＞史，乂e＞],故有i＜e＜2I,

333

所以雙曲線M的離心率的取值范圍為（1,止巨）.

3

故答案為：（1,三紅）

題型十四：四心問題

【典例】4?。斜率為I的直線與雙曲線￡￡一三=1（。＞。,"＞。）交于兩點48'點。是￡上的一點‘滿足

AC±BCDOACAOBC的重心分別為PQAABC的外心為R.記直線OP.OQ,OR的斜率為.若

k.k2k.=-27,則雙曲線E的離心率為—.

【答案】2

【脩析】不妨取AC,8。的中點M,N.

因為,OAC的重心為P,且P在中線0M上,

所以用=k0p=J，—%=kON

由中點弦結(jié)論知，kOMkAC=kONkRC=（

,?畢CA=k2kBe——2

力2

尤k八次2kBe=（~~）?

a

因為ACJ.3C,

所以^AC，kpc=7，

￡

a'

又由ACJ.8C,可得V48C的外心R為A8的中點,

于是由中點弦結(jié)論知公屋心8=＜，乂L=L

a'

人2h2

所以&OK=夕，即&=*.

3

一3I

由《&&=一27得,=-27,

"7

解得鳥=3,

題型十五：平面截圓錐（丹林球）問題

【典例15?1】“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不

同的械口曲線“，利用這個原理，小強在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢

圓（圖I）,光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐P。的軸截面”8是等

邊三角形，橢圓。1所在平面為a,P8J_a,則橢圓01的離心率