頁第19講直角三角形【3大考點14大題型】考點一考點一直角三角形的性質(zhì)與判定【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【詳解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°?40°=50°．故選：D．2．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，點E是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點A作AF⊥DE于點F．設(shè)DE=x，AF=y，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（

）A．y=9x B．y=12x C．【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過D作DH⊥BC，交BC延長線于H，則∠DHE=90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=AD=AB=6，∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，進而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)DH=12CD=3，證明△AFD∽△DHE【詳解】解：如圖，過D作DH⊥BC，交BC延長線于H，則∠DHE=90°，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，∴AB∥CD，AD∥∴∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，在Rt△CDH中，DH=∵AF⊥DE，∴∠AFD=∠DHE=90°，又∠ADF=∠DEH，∴△AFD∽△DHE，∴AFDH∵DE=x，AF=y，∴y3∴y=18故選：C．（法二：同理，DH=3，BC=6，∵AD∥∴S△AED∴12∵DE=x，AF=y，∴xy=6×3=18，∴y=18故選：C．3．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．作CF⊥AE于點F，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可．【詳解】解：作CF⊥AE于點F，∵∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∵BC=2，∴BF=12BC=1∴AF=AB+BF=3，∴AE=AC=A∵點E表示的數(shù)是3，∴點A表示的數(shù)是3?23故選：D．4．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD°．【答案】65【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACD=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠D=∠B=25°，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接CD，∵△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，∴∠ACD=90°，∵AC=AC,∴∠D=∠B=25°∴∠CAD=90°?25°=65°，故答案為：65．5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP=3，連接CP，則PC+PE的值為【答案】13或109【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理．當(dāng)CE>BE時，利用三角形中位線定理求得CE=12，再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得DE的長，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當(dāng)CE<BE時，同理求解即可．【詳解】解：當(dāng)CE>BE時，如圖，∵矩形ABCD，∴點O是BD的中點，∵點P是DE的中點，∴BE=2OP=6，CP=PE=PD，∵點E是BC邊的三等分點，∴CE=2BE=12，BC=3BE=18，∵矩形ABCD的面積是90，∴BC×CD=90，∴CD=5，∴DE=5∴PC+PE=DE=13；當(dāng)CE<BE時，如圖，∵矩形ABCD，∴點O是BD的中點，∵點P是DE的中點，∴BE=2OP=6，CP=PE=PD，∵點E是BC邊的三等分點，∴CE=12BE=3∵矩形ABCD的面積是90，∴BC×CD=90，∴CD=10，∴DE=3∴PC+PE=DE=109故答案為：13或109．【題型2判斷直角三角形】1．（2024·山東臨沂·中考真題）如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AB的延長線于點E，下列結(jié)論①OB=12CE；②△ACE

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)及垂線的性質(zhì)可得∠AOB=90°，AOAC=12，由平行線的性質(zhì)可證得△AOB∽△ACE，于是可得OB=12CE，點B為AE【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO=12AC∴∠AOB=90°，AOAC∵CE∥∴∠ACE=∠AOB=90°，∠AEC=∠ABO，∴△AOB∽∴AB∴OB=12CE∴點B為AE中點，∵∠ACE=90°，∴△ACE是直角三角形，又∵點B是AE中點，即BC為斜邊AE上的中線，∴BC=1∵由題意無法得出BE=CE，∴結(jié)論①②③正確，結(jié)論④不一定正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當(dāng)AB=7時，△ABC【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．【詳解】解：∵BC=3,AC=4，∴4?3<AB<4+3即1<AB<7，故A說法正確；當(dāng)BC⊥AC時，S△ABC若以BC為底，高≤AC=4，∴S△ABC設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則12∵S△ABC∴r2AB+BC+AC≤6∵1<AB<7，BC=3,AC=4∴8<AB+BC+AC<14，∴r<12當(dāng)AB=7時，B∴△ABC是直角三角形，故D說法正確；故選：C．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系r=2S3．（2024·山東·中考真題）△ABC的三邊長a，b，c滿足(a?b)2+2a?b?3+|c?32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由a2+b【詳解】解∵(a?b)又∵a?b2∴a?b2∴a?b=0解得a=3b=3∴a2+b∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．4．（2024·湖南益陽·中考真題）已知M、N是線段AB上的兩點，AM＝MN＝2，NB＝1，以點A為圓心，AN長為半徑畫弧；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．考點二考點二勾股定理【題型3由勾股定理求線段長度】1．（2024·浙江紹興·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．點P是BC邊上一動點，點M為線段AP上一動點．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（

A．2 B．810521 C．2.4 【答案】A【分析】設(shè)AD的中點為O，連接OB,OM，證明∠AMD=90°，得出OM=12AD=4，點M在O【詳解】解：設(shè)AD的中點為O，連接OB,OM，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=90°,AD=BC=8，∴∠BAP+∠MAD=90°，∵∠ADM=∠BAP，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，∵AO=OD=4，∴OM=1∴點M在O點為圓心，4為半徑的圓O上．∵OB=A∴BM≥OB?OM=2，∵BM的最小值為2．故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解決問題．2．（2024·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，已知點A3,0，B0,4，點C在x軸負半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點C的坐標(biāo)為；點D

【答案】?2,0?1?23,2+【分析】過點C作CE⊥AB于點E，根據(jù)tan∠ABC=2，設(shè)BE=x,CE=2x，則BC=5x，根據(jù)勾股定理可得求出AB=OA2+OB2=5，用等面積法推出OC=52x?3，最后在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC2+O【詳解】解：過點C作CE⊥AB于點E，∵tan∠ABC=2∴CEBE設(shè)BE=x,CE=2x，根據(jù)勾股定理可得：BC=B∵A3,0，B∴OA=3,OB=4，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可得：AB=∵S△ABC∴12×5×2x=1在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：O∴52解得：x1∴OC=5∴C

∵B0,4，C∴OB=4,OC=2，∴BC設(shè)Dm,n則BD2=∵△BCD為等邊三角形，∴BC即m2整理得m2②?①得：4m+8n=12，則將m=3?2n代入①得：3?2n2解得：n1=2+3當(dāng)n=2+3時，m=3?2n=?1?23，即當(dāng)n=2?3時，m=3?2n=23?1故答案為：?2,0；?1?23,2+3【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握等邊三角形三邊相等，以及勾股定理．3．（2024·四川綿陽·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點B作BE⊥A1【答案】4【分析】設(shè)A1C交AB于D,由A1B1∥AC,由旋轉(zhuǎn)可得CD=AD,而∠ACB=90°,即可得BD=CD=AD,故S△BDE=S△ADE=12S△ABE,因【詳解】解：設(shè)A1C交AB于∵A1∴∠∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A∴∠∴∠∴CD=AD,∵∠∴∠∴∠∴BD=CD,∴BD=CD=AD,∴S∵S∴S∴S∴CE設(shè)CE=2x,則DE=3x,CD=5x=BD=AD,∴BE=B∴BC=B∵∠BCE=∠∴△BCE∽∴BE∵AC=8,∴4x∴AB=4故答案為：45【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)及應(yīng)用，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定定理.4．（2024·山東青島·中考真題）如圖，菱形ABCD中，BC=10，面積為60，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BC，交邊BC于點E，連接EO，則EO=．【答案】10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)求出AC、BD的長度．根據(jù)菱形的面積公式結(jié)合BC的長度即可得出BD、AC的長度，在Rt△BOC中利用勾股定理即可求出CO【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA=OC,∵S菱形∴AC?BD=120，∴BO?OC＝∵BO∴BO+OC2∴BO+CO=410∴BO=410∴BO∴410∴CO=10，CO＝310∵AE⊥BC，AO=CO，∴EO=CO=10故答案為：10．5．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為【答案】3【分析】過點G作GH⊥AC，易得△AHG為等腰直角三角形，設(shè)AH=HG=x，得到CH=AC?AH=5?x，證明△GHD≌△DCE，得到CD=GH，進而得到CD=x，DH=5?2x，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出BG【詳解】解：過點G作GH⊥AC，則：∠AHG=∠GHD=90°，∴∠DGH+∠HDG=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=5，∴AB=52∴∠AGH=45°=∠A，∴AH=HG，設(shè)AH=HG=x，則：CH=AC?AH=5?x，∵正方形DEFG，∴DG=DE,∠GDE=90°，∴∠HDG+∠CDE=90°，∴∠HGD=∠CDE，∵∠C=∠GHD=90°，∴△GHD≌△DCE，∴CD=GH=x，∴DH=CH?CD=5?2x，在Rt△GHD中，由勾股定理，得：G∴52=5?2x∴AH=2,CH=3，∵∠C=∠AHD=90°，∴HG∥BC，∴AGBG∴BG=3故答案為：32【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形．【題型4由勾股定理求面積】1．（2024·浙江溫州·中考真題）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）A．20 B．24 C．994 D．【答案】B【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)矩形的面積的即等于兩個三角形的面積之和，也等于長乘以寬，列出方程，化簡再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根據(jù)矩形的面積公式，整體代入即可.【詳解】設(shè)小正方形的邊長為x，則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x）,根據(jù)題意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化簡得：ax+x2+bx-ab=0，又∵a=3，b=4，∴x2＋7x=12;∴該矩形的面積為=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案為B.【點睛】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵.2.（2024·西藏·中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

）

A．92 B．33 C．93【答案】D【分析】首先過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB=BC的長，判定四邊形ABCD是菱形，則可求得答案．【詳解】過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，

根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC=∠ADC=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AB=2AE，BC=2CF，∵AB2=A∴AB=23同理：BC=23∴AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AD=23∴S菱形故選：D．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．3．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC，BD相交與點O，點E在BC延長線上，OE與CD相交與點F．若∠ACD=2∠OEC，OFFE=56，則菱形【答案】96【分析】此題重點考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識．作OH∥BC交CD于點H，則△DOH∽△DBC，求得OH=12BC=5，再證明△OFH∽△EFC，求得EC=6，再證明∠OEC=∠COE【詳解】解：作OH∥BC交CD于點H，則∵四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對角線AC，BD相交于點∴BC=10，OD=OB=12BD，OA=OC∴OHBC=OD∴OH=1∵OH∥BC，∴△OFH∽△EFC，∴OHEC∴EC=6∵四邊形ABCD是菱形，且∠ACD=2∠OEC，∴∠ACB=∠ACD=2∠OEC=∠COE+∠OEC，∴∠OEC=∠COE，∴OC=EC=6，∴OB=B∴BD=2OB=16，AC=2OC=12，∴S菱形故答案為：96．4．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，點M是邊AC上一動點，點D，E分別是AB，MB的中點，當(dāng)AM=2.4時，DE的長是．若點N在邊BC上，且CN=AM，點F，G分別是MN，AN的中點，當(dāng)AM>2.4時，四邊形DEFG面積S的取值范圍是

【答案】1.23≤S≤4【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得DE=12AM=1.2，設(shè)AM=x，從而DE=12AM=1【詳解】解：∵點D，E分別是AB，MB的中點，∴DE是△ABM的中位線，∴DE=1如圖，設(shè)AM=x，

由題意得，DE∥AM，且∴DE=1又F、G分別是MN、AN的中點，∴FG∥AM，∴DE∥FG，∴四邊形DEFG是平行四邊形，由題意得，GF與AC的距離是12∴BC=A∴DE邊上的高為4?1∴四邊形DEFG面積S=12x?∵2.4<x≤6，∴3≤S≤4，故答案為：1.2，3≤S≤4．【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)解析式，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．5．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在△ABC中(AB<BC)，過點C作CD∥AB，在CD上截取CD=CB，CB上截取CE=AB，連接DE、DB．(1)求證：△ABC≌△ECD；(2)若∠A=90°,AB=3,BD=25，求△BCD【答案】(1)證明見解析(2)S【分析】（1）根據(jù)AB∥CD，可以得到（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以得到∠CED=∠A=90°，設(shè)BE=x，則CD=BC=3+x，因為在Rt△BED中，DE2=BD【詳解】（1）證明：∵AB∴∠ABC=∠ECD又∵AB=CE,BC=CD∴△ABC≌△ECD(SAS（2）由（1）△ABC≌△ECD，∴∠CED=∠A=90°，設(shè)BE=x，∵AB=CE=3，則CD=BC=3+x，在Rt△BED中，D在Rt△CED中，D∴BD即(25)2解得：x1∴BE=2，∴DE=(25)∴S△ACD【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解一元二次方程，用方程思想解決幾何問題是本題的關(guān)鍵．【題型5勾股數(shù)、勾股樹】1．（2024·四川瀘州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a=12m2?n2，b=mn，c=12A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先證明出a2+b2=c2，得到a，b【詳解】∵a=1∴a2∵c2∴a2∴a，b是直角三角形的直角邊，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴A．3=1×3，∴當(dāng)m=3，n=1時，a=12m2?∴3，4，5能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；B．5=1×5，∴當(dāng)m=5，n=1時，a=12m2?∴5，12，13能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；C．6=2×3，8=2×4，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴6，8，10不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；D．7=1×7，∴當(dāng)m=7，n=1時，a=12m2?∴7，24，25能由該勾股數(shù)計算公式直接得出．故選：C．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024·湖北黃岡·中考真題）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．【答案】m2+1【分析】2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】∵2m為偶數(shù)，∴設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦長為m2+1，故答案為：m2+1．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河北·中考真題）已知：整式A＝n2?1嘗試:化簡整式A．發(fā)現(xiàn):A=B2，求整式聯(lián)想:由上可知，B2＝（n2﹣1）2直角三角形三邊n2nB勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ35/【答案】嘗試：A=（n2+1【分析】先根據(jù)完全平方公式和整式的混合運算法則求出A，進而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，當(dāng)2n=8時，n=4，∴n2+1=42+1=17；當(dāng)n2﹣1=35時，n2+1=37．故答案為17；37．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的定義．掌握勾股數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．（2024·福建莆田·中考真題）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是．【答案】10【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，∵正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2，∵最大的正方形E的面積S3=S1+S2=2+5+1+2=10．故答案為：10．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵熟練運用勾股定理的發(fā)現(xiàn)的來源．【題型6由勾股定理求兩線段的平方和（差）】1．（2024·江蘇鹽城·中考真題）Rt△ABC中，斜邊AB=1，則AB2【答案】2【分析】先畫圖，再利用勾股定理可求BC2+A【詳解】解：如圖所示，在Rt△ABC中，A又∵AB=1，∴BC∴B2故答案是∶2．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2024·貴州貴陽·中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．(1)若AO=2，BO=3，CO=4，DO=5，請求出AB2，BC2，(2)若AB=6，CD=10，求BC(3)請根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論．【答案】(1)AB2=13，BC(2)136(3)“垂美”四邊形對邊的平方和相等【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“垂美”四邊形的定義可得AC⊥BD，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)“垂美”四邊形的定義可得AC⊥BD，進而得到AO2+BO2（3）由（1）（2）得到AB【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是“垂美”四邊形，對角線AC，BD交于點O，∴AC⊥BD，∵AO=2，BO=3，CO=4，DO=5，∴AB2=AO2+BO∴AB2=13，BC2（2）∵四邊形ABCD是“垂美”四邊形，對角線AC，BD交于點O，∴AC⊥BD，∵AB=6，CD=10，∴AO2+B∴BC（3）由（1）（2）可得：AB3．（2024·河北邢臺·中考真題）四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為對角線AC上一點，連接DE．過點E作EF⊥DE，交BC于點F．

(1)求證：DE=EF．(2)如圖2，以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①若CF=12，求②探究CE+CGA【答案】(1)見解析(2)①AE2+C【分析】（1）過E作EM⊥BC于點M，過E作EN⊥CD于點N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）①利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解；②由“垂線段最短”即可求解【詳解】（1）解：證明：如圖，過E作EM⊥BC于點M，過E作EN⊥CD于點N．在正方形ABCD中，∠BCD=90

∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且∴四邊形EMCN為正方形，∴EM=EN,∠MEN=90又∵EF⊥DE，∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∴∠DEN=∠MEF．又∵∠DNE=∠FME=90∴△DEN≌△FEMASA∴ED=EF．（2）解：①如圖，連接DF,EG．

由（1）可知DE=EF，又∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形，∴AD=DC,∠ADC=∠EDG=90∴∠ADE=∠CDG，∴△AED≌△CGDSAS∴∠DAE=∠DCG,AE=CG．∵∠DAC=∠DCA=45∴∠ECG=90∴AE在Rt△DCF中，D∴AE②CE+CGA由①可知CG∴CE+CG求CE+CGAE2+CE∵四邊形DEFG是正方形，∴EG=2∴當(dāng)DE的值最小時，EG的值最?。鶕?jù)垂線段最短可知，當(dāng)DE⊥AC,DE=1AE∴CE+CG【點睛】本題以正方形為幾何背景，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、利用勾股定理證明平方關(guān)系、“垂線段最短”等相關(guān)知識點．掌握各部分知識點并加以應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【題型7由勾股定理證明線段間的平方關(guān)系】1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c2【答案】A【詳解】設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關(guān)系．【解答】解：設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴點F為△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．【點評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．2．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點(不與A、B重合)，對角線AC、BD相交于點O,過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F,交AD、BC于點M、N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】①根據(jù)題意及正方形的性質(zhì)，即可判斷△APE≌△AME；②根據(jù)△APE≌△AME及正方形的性質(zhì)，得ME=EP=AE＝12MP，同理可證PF=NF=12NP，根據(jù)題意可證四邊形OEPF為矩形，則OE=PF，則OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO=12③根據(jù)四邊形PEOF為矩形的性質(zhì)，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判斷；④△BNF是等腰直角三角形，而P點是動點，無法保證△POF是等腰直角三角形，故④可判斷；⑤連接MO、NO，證明OP=OM=ON，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可證明．【詳解】∵四邊形ABCD正方形，AC、BD為對角線，∴∠MAE=∠EAP=45°，根據(jù)題意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°，∴∠AME=∠APE=45°，在三角形△APE與△AME中，∠AEP=∠AEM∴△APE≌△AMEASA，故①正確；∴AE=ME=EP=12同理，可證△PBF≌△NBF，PF=FN=12∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PM⊥AC，PN⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，∴四邊形PEOF為矩形，∴PF=OE，∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，又∵ME=PE=12FP=FN=12NP，OA=1∴PM+PN=AC，故②正確；∵四邊形PEOF為矩形，∴PE=OF，在直角三角形OPF中，OF∴PE故③正確；∵△BNF是等腰直角三角形，而P點是動點，無法保證△POF是等腰直角三角形，故④錯誤；連接MO、NO，在△OEM和△OEP中，OE=OE∴△OEM≌△OEP，OM=OP，同理可證△OFP≌△OFN，OP=ON，又∵∠MPN=90°，OM=OP=ON，∴M,N,P在以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓上，又∵∠MPN=90°，∴MN是圓O的直徑，∴點O在M、N兩點的連線上．故⑤正確．故選擇B．【點睛】本題主要考查幾何綜合問題，掌握正方形、矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江臺州·中考真題）如圖，已知等腰直角三角形ABC，點P是斜邊BC上一點（不與B，C重合），PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑．（1）求證：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直徑為2，求PC2+PB2的值．【答案】（1）證明見解析；（2）4.【分析】（1）只要證明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAE=90°即可解決問題；（2）證明△CAP≌△BAE，推出∠PBE=∠ABC+∠ABE=90°，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠AEP=∠ABP=45°，∵PE是直徑，∴∠PAE=90°，∴∠APE=∠AEP=45°，∴AP=AE，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）∵AC=AB．AP=AE，∠CAB=∠PAE=90°，∴∠CAP=∠BAE，∴ΔCAP?ΔBAE，∴∠ACP=∠ABE=45°，PC=EB，∴∠PBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴PB【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．4．（2024·江蘇常州·中考真題）已知：如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）由題意知DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，∠ACD是公共角，可知∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS得出△ACE≌△BCD．（2）由（1）的論證結(jié)果得出∠DAE=90°，從而求出AD2+AE2=DE2．【詳解】（1）證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=CB，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△BCD中AC=BC∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【題型8勾股定理的證明方法】1．（2024·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點L，連接LC并延長交DE于點J，交AB于點K，延長DA交IL于點M．(1)證明：AD=LC；(2)證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；(3)請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)存在，見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△ACB≌△HCG，可得結(jié)論；（2）證明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得結(jié)論；（3）證明正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積＝?ADJK的面積+?KJEB的面積＝正方形ADEB，可得結(jié)論；（4）如圖2，延長IH和FG交于點L，連接LC，以A為圓心CL為半徑畫弧交IH于一點，過這一點和A作直線，以A為圓心，AI為半徑作弧交這直線于D，分別以A，B為圓心，以AB，AI為半徑畫弧交于E，連接AD，DE，BE，則四邊形ADEB即為所求．【詳解】（1）證明：如圖1，連接HG，∵四邊形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四邊形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；（2）證明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC≌△AMI（ASA），由（1）知：△ACB≌△HCG，∴△AMI≌△HGC，∵四邊形CGLH是矩形，∴S△CHG＝S△CHL，∴S△AMI＝S△CHL，∴正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；（3）證明：由正方形ADEB可得AB∥DE，又AD∥LC，所以四邊形ADJK是平行四邊形，由（2）知，四邊形ACLM是平行四邊形，由（1）知，AD=LC，所以S平行四邊形延長EB交LG于Q，同理有S平行四邊形所以S正方形所以AC（4）解：如圖為所求作的平行四邊形ADEB．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理的證明等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)圖形面積的關(guān)系證出勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．2．（2024·四川攀枝花·中考真題）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．【答案】見解析【分析】根據(jù)大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積證明即可【詳解】解：由題意得大正方形面積=c2，小正方形面積4個小直角三角形的面積=4×1∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積，∴c2【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意知曉大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積．3．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的．（1）請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角是度；（2）以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出△A1AC1順時針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形；（3）設(shè)Rt△ABC兩直角邊BC＝a、AC＝b、斜邊AB＝c，利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理．【答案】（1）O(0，0)；90度（2）見解析（3）見解析【詳解】解：(1)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)是O(0，0)，旋轉(zhuǎn)角是90度；(2)畫出的圖形如圖所示；(3)有旋轉(zhuǎn)的過程可知，四邊形CC1C2C3和四邊形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，∴(a＋b)2＝c2＋4×12即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2．【題型9勾股定理的應(yīng)用】1．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A

【答案】10【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對稱點B′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作B關(guān)于EF的對稱點B′，作B′D⊥AE，交AE延長線于點D

由題意得：DE=1∴AD=AE+DE=6cm∵底面周長為16cm∴B∴AB由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB故答案為：10．【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．2．（2024·山東東營·中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．【答案】50【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)題意，得AN∥BM，∠NAB=60°，∠MBC=30°，AB=30

∵AN∴∠MBA=180°?∠NAB=180°?60°=120°∴∠ABC=∠ABM?∠MBC=120°?30°=90°∴在Rt△ABC中，即A，C兩港之間的距離為50km．故答案為：50【點睛】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，證明△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖南湘潭·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作之一，其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖△ABC中，∠ACB=90°，AC與AB的和為10尺，BC為3尺，求AC的長，AC=尺．【答案】91【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，設(shè)AC=x尺，則AB=10?x尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得【詳解】解：設(shè)AC=x尺，則AB=10?x在Rt△ABC中，由勾股定理得A∴10?x2解得x=91∴AC=91故答案為：91204．（2024·貴州六盤水·中考真題）如圖，小麗想知道自家門前小河的寬度，于是她按以下辦法測出了如下數(shù)據(jù)：小麗在河岸邊選取點A，在點A的對岸選取一個參照點C，測得∠CAD=30°；小麗沿岸向前走30m選取點B，并測得∠CBD=60°．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，幫小麗計算小河的寬度．【答案】153m【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，過點C作CE⊥AD于點E，設(shè)BE=x，則在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出BC，繼而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的長度．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AD于點E，由題意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=∠CAB=30°．∴AB=BC=30m．設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，可得CE=3x，又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，解得：x=15．∴CE=153m．答：小麗自家門前的小河的寬度為153m．考點三考點三勾股定理的逆定理【題型10由勾股定理的逆定理求值】1．（2024·江蘇南京·中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，AC=3，BC=4，AB=5，四邊形AMNB是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點C距離最大的是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小即可．【詳解】∵AC=3，BC=4，AB=5，∴32∴△ABC是直角三角形，∵四邊形AMNB是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高AM=AB=5，∴CM=AC2+AM2=∵41>∴選B．【點睛】本題考查了幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題的關(guān)鍵．2．（2024·湖南·中考真題）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，OA=2，OB=1，OC=3，則ΔAOB與ΔBOCA．34 B．32 C．33【答案】C【分析】將ΔAOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得ΔBCD，連接OD，得到△BOD是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得【詳解】解：將ΔAOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得ΔBCD，連接∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，∴Δ∴OD=OB=1，∵OD2+O∴OD∴∠DOC=90°，∴ΔAOB與S△BOC故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用旋轉(zhuǎn)將ΔAOB與ΔBOC的面積之和轉(zhuǎn)化為3．（2024·湖南岳陽·中考真題）在△ABC中BC=2，AB=23，AC=b，且關(guān)于x的方程x2【答案】2.【分析】先根據(jù)有兩個相等的實數(shù)根求出b，再根據(jù)三邊長得出三角形是以AC為斜邊的直角三角形即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2-4x+b=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=16-4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=23，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜邊，∴AC邊上的中線長=12AC【點睛】考點：根的判別式；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理．4．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+|c?10|+b?8=12a?36，則【答案】45/【分析】由a2+|c?10|+b?8=12a?36，可得a?62【詳解】解：∵a2∴a2∴a?62∴a?6=0，c?10=0，b?8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案為：45【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，銳角的正弦的含義，證明∠C=90°是解本題的關(guān)鍵．【題型11由勾股定理的逆定理證明直角三角形】1．（2024·湖南永州·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對角線相交于點O，OA=3,BD=8,AB=5．

(1)△AOB是直角三角形嗎？請說明理由；(2)求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)△AOB是直角三角形，理由見解析．(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得BO=1（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證．【詳解】（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=1∵OA∴△AOB是直角三角形．（2）證明：由（1）可得：△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．

（1）若a＝6,b＝8,c＝12，請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系；（2）求證：△ABC的內(nèi)角和等于180°；（3）若aa?b+c=1【答案】（1）∠A+∠B＜∠C；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中大角對大邊，即可得到結(jié)論；（2）畫出圖形，寫出已知，求證；過點A作直線MN∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；（3）化簡等式即可得到a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論【詳解】（1）∵在△ABC中，a∴∠∴∠A（2）如圖，過點A作MN//

∵MN//∴∠MAB∵∠MAB∴∠B即：三角形三個內(nèi)角的和等于180°；（3）∵a∴ac∴2ac∴a∴△ABC【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)證明過程運用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D，

（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）證明見解析；（3）點P坐標(biāo)為（3+52，【詳解】試題分析：（1）將A（﹣1，0）、C（0，3），代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a，求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），∴將A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得{a?b?3a=0?3a=3，解得∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標(biāo)為（1，4），∴CD=(1?0)2+(4?3)2=2，BC=32+32=32，BD=(3?1)2+(4?0)2=25，∵CD2+BC2=（2）∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．假設(shè)存在這樣的點P,①以CD為底邊，則P1D=P1C，設(shè)P1點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=3+52，x2=3?52＜1，(不滿足在對稱軸右側(cè)應(yīng)舍去），∴x=3+52，∴y=4﹣x=5?52，即點P1坐標(biāo)為（3+52，5?5

4．（2024·四川綿陽·中考真題）王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔．已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米．（1）請用a表示第三條邊長；（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出a的取值范圍；（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，說明理由．【答案】（1）28－3a．（2）第一條邊長不能為7米．a(chǎn)的取值范圍是133【分析】（1）第二條邊長為2a+2;第三條邊長為30－a－（2a+2）;（2）當(dāng)a=7時，三邊長分別為7，16，7．由于7+7＜16，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7米．由(2a+2)+a>28?3a(2a+2)?a<28?3a（3）根據(jù)勾股定理逆定理可得.【詳解】（1）∵第二條邊長為2a+2，∴第三條邊長為30－a－（2a+2）=28－3a．（2）當(dāng)a=7時，三邊長分別為7，16，7．由于7+7＜16，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7米．由(2a+2)+a>28?3a(2a+2)?a<28?3a可解得13即a的取值范圍是133（3）在（2）的條件下，注意到a為整數(shù)，所以a只能取5或6．當(dāng)a=5時，三角形的三邊長分別為5，12，13．由52+122=132知，恰好能構(gòu)成直角三角形．當(dāng)a=6時，三角形的三邊長分別為6，14，10．由62+102≠142知，此時不能構(gòu)成直角三角形．綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長分別為5米，12米，13米．【題型12網(wǎng)格中判定直角三角形】1．（2024·廣西貴港·中考真題）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【分析】過點C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC=5設(shè)AD=x，則BD=5?x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10?(5?x)解得x=2，∴cos∠BAC=故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．2．（2024·吉林·中考真題）圖①，圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．在圖①中已畫出線段AB，在圖②中已畫出線段CD，其中A、B、C、D均為格點，按下列要求畫圖：⑴在圖①中，以AB為對角線畫一個菱形AEBF，且E,F為格點；⑵在圖②中，以CD為對角線畫一個對邊不相等的四邊形CGDH，且G,H為格點，∠CGD=∠CHD=90

【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)菱形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）．（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【詳解】解：（1）如圖，菱形AEBF即為所求．（2）如圖，四邊形CGDH即為所求．

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2024·江西新余·中考真題）如圖，這是5×5的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點為格點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中作格點C，連接AC，使∠BAC=45°；(2)在圖2中作四邊形ABDE，使點D、E在格點上，且四邊形ABDE既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，充分利用網(wǎng)格的特點是解題的關(guān)鍵．（1）取格點C，根據(jù)網(wǎng)格特點，使得△ABC是以AB為底的等腰直角三角形即可；（2）取格點D、E，由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，BD=AE，DE=AB，∠BAE=90°，則四邊形ABDE是矩形，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【詳解】（1）如圖所示，格點C即為所求，∵AC=BC=12∴A∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°（2）解：如圖，四邊形ABDE即為所求做；連接BE，∵AE=BD=12+∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵BE∴A∴△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，∴四邊形ABDE是矩形，則四邊形ABDE既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【題型13確定構(gòu)成直角三角形的點的個數(shù)】1．（2024江蘇揚州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=?54x+74與x軸交于點C(1)點C的坐標(biāo)為(2)求原點O到直線AB的距離；(3)在x軸上是否存在一點P，使得△ACP是直角三角