2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的凸分析方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列集合中，不是凸集的是：(A)平面上的單位圓內(nèi)部(B)平面上的所有三角形(C)平面上的拋物線(D)平面上的所有凸多邊形2.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的次梯度集合是：(A)$\{2\}$(B)$\{1,2\}$(C)$[1,2]$(D)$[1,+\infty)$3.下列函數(shù)中，不是凸函數(shù)的是：(A)$f(x)=e^x$(B)$f(x)=x^3$(C)$f(x)=\ln(x+1)$(D)$f(x)=x^2+2x+1$4.優(yōu)化問題$\min_{x\in\mathbb{R}}f(x)$，其中$f(x)$是嚴(yán)格凸函數(shù)，則其最優(yōu)解：(A)可能不存在(B)可能不唯一(C)必然唯一(D)可能是局部最優(yōu)解，但不一定是全局最優(yōu)解5.函數(shù)$f(x)=x^4$是：(A)凸函數(shù)(B)凹函數(shù)(C)凸函數(shù)也是凹函數(shù)(D)既不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)二、填空題（每題4分，共20分）1.設(shè)$C$是凸集，$x,y\inC$，$\lambda\in[0,1]$，則$\lambdax+(1-\lambda)y$也在$C$中，這體現(xiàn)了凸集的_______性質(zhì)。2.函數(shù)$f(x)=x^2+4x+5$的一個次梯度是_______。3.若函數(shù)$f(x)$在$x_0$處的次梯度存在，則$f(x_0)$是$f(x)$在$x_0$處的_______。4.凸優(yōu)化問題的解是指滿足約束條件的_______。5.KKT條件是凸優(yōu)化問題的一階必要條件，它包含了_______條件、_______條件和_______條件。三、計算題（每題8分，共32分）1.判斷函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在整個實數(shù)域上的凸性。2.求函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處的次梯度。3.求解以下凸優(yōu)化問題：$\min_{x\in\mathbb{R}}x^2+4x$約束條件：無4.設(shè)$f(x)=x^2$，$g(x)=e^x$，求$h(x)=f(x)+g(x)$的凸性。四、證明題（每題12分，共24分）1.證明：若$f(x)$和$g(x)$都是凸函數(shù)，則$h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$也是凸函數(shù)。2.證明：若$f(x)$是定義在區(qū)間$I$上的凸函數(shù)，且$a\inI$，$b\inI$，$\lambda\in[0,1]$，則$f(\lambdaa+(1-\lambda)b)\leq\lambdaf(a)+(1-\lambda)f(b)$。試卷答案一、選擇題1.(C)2.(D)3.(B)4.(C)5.(A)二、填空題1.運算2.$4$或$2+\sqrt{5}$或$2-\sqrt{5}$3.局部最優(yōu)值4.最優(yōu)解5.一階必要條件、二階條件、約束條件三、計算題1.解析：判斷函數(shù)的凸性，可以使用一階條件或二階條件。函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，得到$x=\pm1$。函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為$f''(x)=6x$。當(dāng)$x>0$時，$f''(x)>0$，函數(shù)在$(1,+\infty)$上是凸的。當(dāng)$x<0$時，$f''(x)<0$，函數(shù)在$(-\infty,-1)$上是凹的。當(dāng)$x=0$時，$f''(x)=0$，無法用二階條件判斷。因此，函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$不是整個實數(shù)域上的凸函數(shù)。答案：該函數(shù)不是整個實數(shù)域上的凸函數(shù)。2.解析：根據(jù)次梯度的定義，需要找到所有滿足$f(x_0)\leqf(x_0)+\langleg(x_0),x-x_0\rangle$的向量$g(x_0)$。對于$f(x)=\frac{1}{x}$，有$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。在$x=1$處，$f'(1)=-1$。次梯度集合為$\{g(x_0)\midg(1)\leq-1\}$。答案：次梯度集合為$\{g(1)\midg(1)\leq-1\}$。3.解析：這是一個無約束的二次函數(shù)優(yōu)化問題，可以使用求導(dǎo)的方法求解。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2x+4$。令$f'(x)=0$，得到$x=-2$。函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為$f''(x)=2$，大于0，說明$x=-2$是全局最小值點。最優(yōu)解為$x=-2$，最優(yōu)值為$f(-2)=4$。答案：最優(yōu)解為$x=-2$，最優(yōu)值為$f(-2)=4$。4.解析：判斷復(fù)合函數(shù)的凸性，可以使用Jensen不等式。對于$f(x)=x^2$，它是凸函數(shù)。對于$g(x)=e^x$，它也是凸函數(shù)。根據(jù)Jensen不等式，$h(x)=f(g(x))=g(x)^2=(e^x)^2=e^{2x}$也是凸函數(shù)。答案：$h(x)=e^{2x}$是凸函數(shù)。四、證明題1.證明：設(shè)$x_1,x_2\in\mathbb{R}$，$\lambda\in[0,1]$。根據(jù)凸函數(shù)的定義，有$f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$。同理，有$g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$。因此，$h(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=\max\{f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2),g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\}$$\leq\max\{\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2),\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\}$$\leq\lambda\max\{f(x_1),g(x_1)\}+(1-\lambda)\max\{f(x_2),g(x_2)\}=\lambdah(x_1)+(1-\lambda)h(x_2)$。所以，$h(x)$是凸函數(shù)。答案：證明完畢。2.證明：設(shè)$x_1,x_2\inI$，$\lambda\in[0,1]$。根據(jù)凸函數(shù)的定義，有$f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$。同理，對于$g(x)$，有$g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$。因此，$\max\{f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2),g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\}\leq\max\{\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2),\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\}$$\leq\lambda\max\{f(x_1),g(x_1)\}+(1-\lambda)\max\{f(x_2),g(x_2)\}=\lambda