2/24專題全等三角形共66題題型1圖形的全等題型11尺規(guī)作圖（重點）題型2全等三角形的概念題型12角平分線的性質(zhì)定理（易錯點）題型3全等三角形的性質(zhì)（?？键c）題型13角平分線的判定定理（易錯點）題型4全等的性質(zhì)和SSS綜合（重點）題型14角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用題型5全等的性質(zhì)和SAS綜合（重點）題型十五一線三等角模型（難點）題型6全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（重點）題型十六手拉手模型（難點）題型7全等的性質(zhì)和HL綜合（重點）題型十七角含半角模型（難點）題型8添加條件使三角形全等（?？键c）題型十八利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形（難點）題型9靈活選用判定方法證全等（常考點）題型十九利用角平分線構(gòu)造全等三角形（難點）題型10全等三角形綜合問題（難點）題型二十利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形（難點）2/24題型一圖形的全等（共3小題）1．（24-25八年級上·貴州貴陽·期中）下列各組圖形中，屬于全等形的是（

）A． B．C． D．2．（22-23八年級上·河南許昌·期中）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中，，則（

）A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.83．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖1，正方形被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，⑤為正方形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形．若在正方形中，恰有，則．題型二全等三角形的概念（共4小題）4．（24-25八年級上·重慶巴南·期中）下列說法正確的是（

）A．周長相等的三角形是全等三角形B．形狀相同大小相等的三角形是全等三角形C．面積相等的三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形5．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，，則的對應(yīng)角是（

）A． B． C． D．6．（24-25八年級上·全國·期中）全等三角形的對應(yīng)關(guān)系：兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫，重合的邊叫，重合的角叫．7．（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖①，點為的平分線上一點，且不與點重合，在角的兩邊分別截取，連接、；如圖②，在圖①的射線上取異于點、的點，連接、；如圖③，在圖②的射線上取異于點、、的點，連接、；，在每個圖形中，在同側(cè)的三角形彼此不全等，且每相鄰兩個圖中的射線上相差1個點，依此規(guī)律，第11個圖形中全等三角形共有對．題型三全等三角形的性質(zhì)（共6小題）8．（23-24八年級上·河南安陽·期中）如圖，，，在同一直線上，且，，與，與是對應(yīng)點，，則（

）A．9 B．7 C．5 D．39．（24-25八年級上·寧夏固原·期中）如圖，，，，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．（22-23八年級上·全國·期中）給出下列說法：①全等三角形的形狀相同，大小相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④全等三角形的周長、面積分別相等．其中正確的說法有．11．（23-24八年級上·廣東江門·期中）如圖，，，，，則的長為．12．（24-25八年級上·河北滄州·期中）如圖，，，，點B，C，D在同一直線上，點E在上，延長交于點F．(1)求的長；(2)求的度數(shù)．13．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，已知于點，點在上，交于點F，．(1)若，，求的長．(2)試判斷和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．題型四全等的性質(zhì)和SSS綜合（共3小題）14．（24-25八年級上·河南南陽·期中）三月西湖，許仙與白娘子篷船借傘，還傘定情，《白蛇傳》的故事千古流傳，我國紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖，，支撐桿，等長，當傘圈D沿著傘柄滑動時，紙傘隨之打開或收攏，而無論紙傘打開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．這里推斷的理由是（

）A．由，，，得B．由，，，得C．由，，，得D．由，，，得15．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，在中，，分別以為一邊，向外作和，若,，則的度數(shù)為．

16．（24-25八年級上·福建莆田·期中）已知：如圖，、、、在同一直線上，，，，求證：．題型五全等的性質(zhì)和SAS綜合（共9小題）17．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，已知四邊形中，，，，，點是線段的三等分點（靠近處）．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．若要使得與全等，則點的運動速度為（

）．A． B．或 C． D．或18．（24-25八年級上·云南大理·期中）如圖，在的方格中，每個小方格的邊長均為1，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．19．（23-24八年級上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③20．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，在中，平分，，則．21．（24-25八年級上·江西新余·期中）在中，邊，中線，則邊的取值范圍是．22．（24-25八年級上·北京·期中）補全證明過程：如圖，已知B，E，F(xiàn)，C四個點在同一條直線上，，，，求證：．證明：∵，∴____________，即____________在和中，∴（______）．23．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖，公園有一條形道路．其中，在處各有一個石凳，且為的中點，連接．

(1)石凳到石凳的距離是否相等？請說明理由；(2)三點是否共線？請說明理由．24．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，．(1)在下列條件①；②；③中，只添加一個條件就可以證得，則所有可以添加的條件的序號是________．(2)根據(jù)已知及(1)中添加的一個條件，證明．25．（24-25八年級·湖南岳陽·期中）如圖所示，于點，于點，是上一點，，．求證：．題型六全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（共4小題）26．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，，則．27．（22-23八年級上·全國·期中）如圖，，，，于D，，，則．28．（24-25八年級上·河北秦皇島·期中）已知如圖，在和中，，交于點M．求證：；29．（23-24八年級上·四川巴中·期末）如圖，于點D，于點E，，與交于點O．(1)求證：；(2)若，求的長．題型七全等的性質(zhì)和HL綜合（共8小題）30．（24-25八年級上·河北唐山·期中）使兩個直角三角形全等的條件是（

）A．一個銳角分別相等 B．斜邊和一條直角邊分別相等C．一條直角邊分別相等 D．兩銳角分別相等31．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，，可以判定的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．32．（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖，，垂足為，是上一點，且，連接、，．若，，則的長為（

）A．5.5 B．2.5 C．3 D．233．（22-23八年級上·全國·期中）如圖，，，，線段，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，問P點運動到位置時，才能使與全等．34．（24-25八年級上·湖北黃岡·期中）如圖，D是內(nèi)部一點，于E，于F，且，點B是射線上一點，，，在射線上取一點C，使得，則的長為．35．（24-25八年級·福建漳州·期中）如圖，已知，于點，于點，．求證：．36．（24-25八年級上·山西長治·期中）如圖，點是線段的中點，在線段的同側(cè)作，，過點作于點，過點作于點，已知．(1)求證：；(2)求證：．37．（24-25八年級·陜西咸陽·期中）將和按如圖①方式擺放，已知，，點在線段上，延長交線段于點．(1)線段與之間的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)若將圖①中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且，其余條件不變，如圖②，求證：；(3)若將圖①中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且的延長線交線段于點，其余條件不變，如圖③，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型八添加條件使三角形全等（共3小題）38．（24-25八年級上·河南周口·期中）如圖，已知，則添加下列一個條件不一定能使的是（

）A． B． C． D．39．（24-25八年級上·天津紅橋·期中）如圖，已知，，要使，還需添加一個條件，這個條件可以是．40．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，，．能否由上面的已知條件得出？如果能，請說明理由；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使成立，并說明理由．供選擇的三個條件：①；②；③．題型九靈活選用判定方法證全等（共2小題）41．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）的個元素，如圖所示，下面甲、乙、丙三個三角形中和全等的是（

）A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙42．（24-25八年級·江西萍鄉(xiāng)·期中）下列條件，能判定兩個直角三角形全等的有（

）①兩個銳角對應(yīng)相等

②兩條直角邊對應(yīng)相等

③斜邊和一直角邊對應(yīng)相等④一銳角和斜邊對應(yīng)相等

⑤一銳角和一直角邊對應(yīng)相等A．5 B．4 C．3 D．2題型十全等三角形綜合問題（共3小題）43．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）在和中，，，點，分別在邊和邊上，，下列判斷正確的是（

）①若，則和一定全等；②若，則和一定全等．A．①對②錯 B．①錯②對 C．①②都對 D．①②都錯44．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖，在四邊形中，與相交于點，則圖中的全等三角形一共有對．45．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）問題背景：如圖1，四邊形，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交于．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小白同學探究此問題的方法是：延長到，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交于，上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要求說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分交于．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；實際應(yīng)用：如圖4，在中俄聯(lián)合軍演中，遼寧艦在指揮中心（處）北偏西的A處．瓦良格號艦在指揮中心南偏東的處，并且兩艦到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，遼寧艦向正東方向以海里/小時的速度前進，同時瓦良格號沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到遼，瓦兩艦分別到達處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為．試求此時兩艦艇之間的距離．題型十一尺規(guī)作圖（共6小題）46．（24-25八年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，甲、乙兩位同學都以點B，C為圓心畫出了兩段弧，作出的角平分線，那么下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲、乙都對 B．甲對、乙錯C．甲錯、乙對 D．甲、乙都錯47．（24-25八年級上·廣東江門·期中）在中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，小于長為半徑畫弧，分別交，于點、；②分別以點、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線，交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．48．（24-25八年級上·全國·期中）尺規(guī)作圖中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想方法．如圖，為了得到，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到的依據(jù)是．49．（24-25八年級上·廣東江門·期中）尺規(guī)作圖：(不寫作法，保留作圖痕跡)作的角平分線．50．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，(1)尺規(guī)作圖：作出，使得，其中點在線段上，點在點上方；(2)判斷線段與的關(guān)系，并說明理由．51．（24-25八年級上·北京·期中）作圖題．(1)如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，，的面積是________；已知與關(guān)于軸對稱，請在坐標系中畫出(2)已知：求作：的角平分線（要求：用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）題型十二角平分線的性質(zhì)定理（共5小題）52．（23-24八年級·重慶南岸·期中）如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為48和26，則的面積為（

）A．11 B．22 C．26 D．3753．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，的三邊，，的長分別為，，，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于(

)A． B． C． D．54．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，射線是的角平分線，點為射線上一點，于點，，若點是射線上一點，，則的面積為．55．（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，平分交于點為的中點，已知，則．56．（24-25八年級上·天津·期中）如圖，在中，平分，點是的中點，于點，于點．求證：．題型十三角平分線的判定定理（共4小題）57．（24-25八年級上·山東菏澤·期中）如圖，點是內(nèi)一點，于點，于點，于點，，則（）A．點在的平分線上 B．點在的平分線上C．點在的平分線上 D．點是，，平分線的交點58．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，D到和距離相等，，，則度數(shù)為．

59．（24-25八年級上·福建福州·期中）如圖，中，點在邊上，，的平分線交于點，過點作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分；(2)若，，，且，求的面積．60．（24-25八年級上·湖北孝感·期中）如圖，在中，，點D，E分別在，上，且滿足，，連接，求證：是的平分線．題型十四角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用（共4小題）61．（24-25八年級上·重慶大足·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．以上都不對62．（23-24八年級上·北京·期中）為進一步美化校園，我校計劃在校園綠化區(qū)增設(shè)3條綠化帶，如圖所示，綠化帶，綠化帶交綠化帶于，交綠化帶于．若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等，則可供選擇的噴灌處修建點有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處63．（24-25八年級·遼寧沈陽·期中）如圖，直線，，表示三條公路．現(xiàn)要建造一個中轉(zhuǎn)站P，使P到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站P可選擇的點有個．64．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，要在區(qū)建一個電子商品批發(fā)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處，這個電子商品批發(fā)市場應(yīng)建于何處（請在圖上標出它的位置，保留作圖痕跡，比例尺為）．題型十五一線三等角模型（共3小題）65.（24-25八年級上·山西陽泉·期中）閱讀與思考請仔細閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖1，是直角三角形，，是過直角頂點的一條直線，直線，垂足為，直線，垂足為．試說明．

解：直線，垂足為，．．（依據(jù)：______）點，，在同一條直線上，．，______．在這道題中，因為，所以這種模型也叫做“一線三等角”模型．任務(wù)：(1)將上述解答過程中的空白部分補充完整．(2)在圖1中，除了上面兩個角相等、直角相等外，請你再寫出一組相等的角．(3)如圖2，是等邊三角形，，直角三角形的頂點在邊上，，，與交于點，與交于點，請寫出圖中所有除角及對頂角以外相等的角，并選擇一組說明理由．66.（24-25八年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）綜合與實踐在學習三角形全等的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗．請運用已有經(jīng)驗，對“一線三等角模型”進行研究．直接猜想（1）如圖1，在中，，，點在直線上，分別過點作直線的垂線，垂足分別為．直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系：______．深入探究（2）如圖2，在中，，，，三點都在直線上，且有（為任意銳角或鈍角），此時（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．問題解決（3）如圖3，，，，連接，且于點，與直線交于點，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．67.（22-23八年級上·全國·期中）如圖1，在中，，，分別過兩點作過點A的直線l的垂線，垂足為；(1)如圖1，當兩點在直線的同側(cè)時，猜想，三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，三點都在直線m上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖3，，，．點P從B點出發(fā)沿路徑向終點C運動；點Q從C點出發(fā)沿路徑向終點B運動．點P和Q分別以每秒2和3個單位的速度同時開始運動，各自到達終點時停止運動；在運動過程中，分別過P和Q作于F，于G．問：點P運動多少秒時，與全等？（直接寫出答案）題型十六手拉手模型（共3小題）68.（24-25八年級上·貴州銅仁·期中）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形，底角頂點連起來，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．【材料理解】（1）如圖1，與都是等腰三角形，，且，則有_________；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是_________．【深入研究】（2）如圖2，與都是等腰三角形，，且，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；【深化模型】（3）如圖3，，求的長．69.【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．(1)【初步把握】如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是；(2)【深入研究】如圖2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，直線，垂足為點O，上有一點M在點O右側(cè)且，點N是上一個動點，連接，在下方作等腰直角三角形，，，連接．請直接寫出線段的最小值及此時的長度．70.（24-25八年級上·福建南平·期中）【綜合與實踐】星光中學八年級數(shù)學興趣小組的同學發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂角頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個等腰三角形頂角的變化過程中，始終存在一對全等三角形．數(shù)學興趣小組同學稱此模型為“手拉手模型”．請你和數(shù)學興趣小組的同學一起研究下面的問題．

(1)如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則°；(2)如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示），并說明理由；(3)如圖3，在和中，，，，連接，交于點，連接，連接并延長交于點，直接寫出的度數(shù)．題型十七角含半角模型（共2小題）71.（22-23八年級上·江西宜春·期中）問題背景：“半角模型”問題．如圖1，在四邊形中，，，，點E，F(xiàn)分別是上的點，且，連接，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是延長到點G．使．連結(jié)，先證明，再證明，從而得出結(jié)論：_____________；(2)拓展延伸：如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊上的點，且，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．(3)嘗試應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，E、F分別是邊延長線上的點，且，請?zhí)骄烤€段具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．72.（24-25八年級上·全國·期中）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形（四邊相等，四個內(nèi)角均為）中，、分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．大致思路：巧妙地通過輔助線在邊向外構(gòu)造，使得，進而證出度數(shù)，最后證明，即可得出結(jié)論．請補充輔助線的作法，并寫出完整證明過程．（1）延長到點G，使，連接．（2）求證：．【問題應(yīng)用】如圖2，在四邊形中，，以A為頂點的分別交于E、F，且，求五邊形的周長題型十八利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形（共3小題）73.（24-25八年級上·河北保定·期中）在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．(1)如圖（1），是的中線．且．延長至點．使．連接．求證：．(2)如圖（2），是的中線，點在的延長線上，，，求證：．74.（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）【方法呈現(xiàn)】如圖：在中，若，，點D為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E使，再連接，可證，從而把、，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍為_________________，這種方法我們稱為倍長中線法；【問題背景】在中，，垂足為M，，點D是線段上一動點．（1）如圖1，點C是延長線上一點，，連接，若，求的長；【構(gòu)建聯(lián)系】（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是外一點，，連接并延長交于點F，且點F是線段的中點，求證：．75.（24-25八年級上·山西大同·期中）閱讀理解中線是三角形中的重要線段之一．在利用中線解決幾何問題時，當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做輔助線，即把中線延長一倍，通過構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個三角形中，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題，這種作輔助線的方法稱為“倍長中線法”(1)如圖1，在中，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點E，使，連接．可以判定，從而得到．這樣就能把線段集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系，即可求出中線的取值范圍是__________（請直接寫出答案）(2)為了測量學校旗桿和教學樓頂端之間的距離，學習小組設(shè)計了如圖2所示的測量方案，他們首先取地面的中點D，用測角儀測得此時，測得旗桿高度，教學樓高度，求的長．(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，連接，點F是的中點，連接并延長，與相交于點G．試探究并直接寫出：和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．題型十九利用角平分線構(gòu)造全等三角形（共3小題）76.（24-25八年級上·河北保定·期中）【問題情境】（1）利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法．如圖1，平分，A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可直接根據(jù)_____（填字母依據(jù)）證明；【類比解答】（2）如圖2，在中，，平分，于點E，延長交于點F，求的度數(shù)；【實際應(yīng)用】（3）圖3是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的平分線；②過點A作于點D．已知，，的面積為30，請直接寫出的面積；【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，，平分，，交的延長線上于點E，試探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．77.（24-25八年級上·重慶·期中）（1）【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為，延長交于點，求證：；（2）【問題探究】如圖2，中，，，平分，，垂足在的延長線上，求證：；（3）【拓展延伸】如圖3，中，，，點在線段上，且，于，交于，請直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系為．78.（23-24八年級上·云南昆明·期中）數(shù)學活動：探究利用角的對稱性構(gòu)造全等三角形解決問題．利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半功倍．（1）尺規(guī)作圖：如圖，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則說明的依據(jù)是三角形全等的判定_________．VSDX

【模型構(gòu)造】（2）方法一：巧翻折，造全等如圖①，在中，，是的角平分線，則________．（填“、“或“）

VSDX

在上截取，連接，則．方法二：構(gòu)距離，造全等如圖②，在四邊形中，，和的平分線，交于點．若，則點到的距離是_________．過點作，垂足為點．則．【模型應(yīng)用】（3）如圖③，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

題型二十利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形（共2小題）79.（23-24八年級上·河南信陽·期中）閱讀材料：截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，解答下列問題：如圖1，在中，交于點D，平分，且．(1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個問題，請按照小亮的思路寫證明過程；(2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長．80.（24-25八年級上·山東聊城·期中）【閱讀材料】“截長補短法”是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．當題目中有等腰三角形、角平分線等條件，可用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形來進行解題．【問題解決】（1）如圖①，在中，，，為的角平分線，在上截取，連接．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖②，在中，，，為的角平分線．請判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）如圖③，在中，，當為的補角的角平分線時，（2）中，，之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出線段，，之間的新數(shù)量關(guān)系，不必說明理由.專題02全等三角形題型1圖形的全等題型11尺規(guī)作圖（重點）題型2全等三角形的概念題型12角平分線的性質(zhì)定理（易錯點）題型3全等三角形的性質(zhì)（?？键c）題型13角平分線的判定定理（易錯點）題型4全等的性質(zhì)和SSS綜合（重點）題型14角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用題型5全等的性質(zhì)和SAS綜合（重點）題型十五一線三等角模型（難點）題型6全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（重點）題型十六手拉手模型（難點）題型7全等的性質(zhì)和HL綜合（重點）題型十七角含半角模型（難點）題型8添加條件使三角形全等（?？键c）題型十八利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形（難點）題型9靈活選用判定方法證全等（常考點）題型十九利用角平分線構(gòu)造全等三角形（難點）題型10全等三角形綜合問題（難點）題型二十利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形（難點）題型一圖形的全等（共3小題）1．（24-25八年級上·貴州貴陽·期中）下列各組圖形中，屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】圖形的全等【分析】本題考查的是全等圖形，根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形對各選項分析即可得解．【詳解】解：A、由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故A選項不符合題意；B、由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故B選項不符合題意；C、由圖可知兩個圖形可以完全重合，所以是全等圖形，故C選項符合題意；D、由圖可知兩個圖形不可能完全重合，所以不是全等形，故D選項不符合題意．故選：C．2．（22-23八年級上·河南許昌·期中）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中，，則（

）A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8【答案】B【知識點】圖形的全等【分析】由圖形知，所示的圖案是由梯形和七個與它全等的梯形拼接而成，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)有．【詳解】解：由題可知，圖中有8個全等的梯形，所以，故選：B．【點睛】本題考查了全等圖形的性質(zhì)，本題利用了全等形圖形一定重合的性質(zhì)求解，做題的關(guān)鍵是找清相互重合的對應(yīng)邊．3．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖1，正方形被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，⑤為正方形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形．若在正方形中，恰有，則．【答案】/【知識點】圖形的全等【分析】本題主要考查了全等圖形的性質(zhì)、正方形面積公式等知識，理解全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)，則，易得，故有，結(jié)合全等圖形的性質(zhì)可得，易得，然后可求得，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，∵，可設(shè)，，∴，∴，由全等三角形的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴．故答案為：．題型二全等三角形的概念（共4小題）4．（24-25八年級上·重慶巴南·期中）下列說法正確的是（

）A．周長相等的三角形是全等三角形B．形狀相同大小相等的三角形是全等三角形C．面積相等的三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】B【知識點】全等三角形的概念【分析】本題考查了全等三角形的概念，牢記概念，要從形狀和大小兩個方面來考慮兩個三角形是否完全重合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的定義“能夠完全重合的兩個三角形”對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A.周長相等的三角形，形狀不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原說法錯誤，故選項不符合題意；B.形狀相同大小相等的三角形能夠完全重合，是全等三角形，原說法正確，故選項符合題意；C.面積相等的三角形，形狀不一定相同，所以不一定完全重合，原說法錯誤，故選項不符合題意；D.所有的等邊三角形形狀相同，但是大小和邊長有關(guān)，邊長不相等，則不能夠重合，原說法錯誤，故選項不符合題意；故選：．5．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，，則的對應(yīng)角是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】全等三角形的概念【分析】本題主要考查全等三角形的概念，根據(jù)已知條件，和，和是對應(yīng)邊，點與點對應(yīng)點，點與點是對應(yīng)點，由此即可得到的對應(yīng)角，理解其概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴的對應(yīng)角是，故選：B．6．（24-25八年級上·全國·期中）全等三角形的對應(yīng)關(guān)系：兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫，重合的邊叫，重合的角叫．【答案】對應(yīng)點對應(yīng)邊對應(yīng)角【知識點】全等三角形的概念【分析】本題主要考查兩個全等三角形對應(yīng)邊角的概念，掌握概念是解題的關(guān)鍵，直接根據(jù)全等三角形的對應(yīng)關(guān)系的概念填空即可．【詳解】全等三角形的對應(yīng)關(guān)系：兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應(yīng)點，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角．故答案為：對應(yīng)點；對應(yīng)邊；對應(yīng)角．7．（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖①，點為的平分線上一點，且不與點重合，在角的兩邊分別截取，連接、；如圖②，在圖①的射線上取異于點、的點，連接、；如圖③，在圖②的射線上取異于點、、的點，連接、；，在每個圖形中，在同側(cè)的三角形彼此不全等，且每相鄰兩個圖中的射線上相差1個點，依此規(guī)律，第11個圖形中全等三角形共有對．【答案】66【知識點】圖形類規(guī)律探索、全等三角形的概念【分析】本題考查全等三角形的判定，規(guī)律型：圖形的變化類．由特殊情況，總結(jié)出一般規(guī)律，即可得到答案．【詳解】解：第1個圖形中上有2個點，全等三角形有（對；第2個圖形中上有3個點，全等三角形有（對；第3個圖形中上有4個點，全等三角形有（對，∴第n個圖形中上有個點，全等三角形有（對，∴第11個圖形中上有12個點，全等三角形有（對．故答案為：66．題型三全等三角形的性質(zhì)（共6小題）8．（23-24八年級上·河南安陽·期中）如圖，，，在同一直線上，且，，與，與是對應(yīng)點，，則（

）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】此題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形全等得到，，由此求出即可．【詳解】解：∵∴，，∴，∴，故選：B．9．（24-25八年級上·寧夏固原·期中）如圖，，，，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由全等三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：C．10．（22-23八年級上·全國·期中）給出下列說法：①全等三角形的形狀相同，大小相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④全等三角形的周長、面積分別相等．其中正確的說法有．【答案】①②③④【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：全等三角形的形狀相同，大小相等；故①正確；全等三角形的對應(yīng)邊相等；故②正確；全等三角形的對應(yīng)角相等；故③正確；全等三角形的周長、面積分別相等；故④正確；故答案為：①②③④11．（23-24八年級上·廣東江門·期中）如圖，，，，，則的長為．【答案】【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴故答案為：．12．（24-25八年級上·河北滄州·期中）如圖，，，，點B，C，D在同一直線上，點E在上，延長交于點F．(1)求的長；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)1(2)【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．（1）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）證明即可．【詳解】（1）∵，，；（2）∵，，∵B，C，D共線，，，，．13．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，已知于點，點在上，交于點F，．(1)若，，求的長．(2)試判斷和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，，理由見解析【知識點】線段的和與差、對頂角相等、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，，進而可得，然后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，由此即可求出的長；（2）由可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，，由對頂角相等可得，進而可得，由三角形的內(nèi)角和定理可得，因而可得，于是結(jié)論得證．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，且，理由如下：，，，，，，，又，，，，且．題型四全等的性質(zhì)和SSS綜合（共3小題）14．（24-25八年級上·河南南陽·期中）三月西湖，許仙與白娘子篷船借傘，還傘定情，《白蛇傳》的故事千古流傳，我國紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖，，支撐桿，等長，當傘圈D沿著傘柄滑動時，紙傘隨之打開或收攏，而無論紙傘打開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．這里推斷的理由是（

）A．由，，，得B．由，，，得C．由，，，得D．由，，，得【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由題意可得，再利用即可證明，即可得解．【詳解】解：由題意可得：，在和中，，∴，∴，故選：B．15．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，在中，，分別以為一邊，向外作和，若,，則的度數(shù)為．

【答案】/115度【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進行求解．【詳解】解：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為．16．（24-25八年級上·福建莆田·期中）已知：如圖，、、、在同一直線上，，，，求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“”證明三角形全等，進而得到結(jié)論．【詳解】證明：在和中，，∴≌，∴．題型五全等的性質(zhì)和SAS綜合（共9小題）17．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，已知四邊形中，，，，，點是線段的三等分點（靠近處）．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．若要使得與全等，則點的運動速度為（

）．A． B．或 C． D．或【答案】B【知識點】列代數(shù)式、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、線段n等分點的有關(guān)計算、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】設(shè)運動時間為秒，點的運動速度為，則，，，根據(jù)三等分點求出，根據(jù)全等三角形的判定得出：當，時；當，時；能夠使得與全等，分別列方程求解，即可求出點的運動速度．【詳解】解：設(shè)運動時間為秒，點的運動速度為，則，，，點是線段的三等分點（靠近處），，，要使與全等，則必須滿足，或，，分兩種情況：當，時，，，解得：，，即點的運動速度為；當，時，，，解得：，，即點的運動速度為；綜上所述，當點的運動速度為或時，能夠使得與全等，故選：．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，線段等分點的有關(guān)計算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知識點，熟練掌握全等三角形的判定方法并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．18．（24-25八年級上·云南大理·期中）如圖，在的方格中，每個小方格的邊長均為1，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】用SAS間接證明三角形全等（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵∴，故選：B．19．（23-24八年級上·浙江湖州·期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．由E、F分別是、上的任意點，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯誤，②錯誤；延長到點G，使，連接，先證明，得，，，由，，可以推導(dǎo)出，則，即可證明，得，因為，所以，可判斷③正確，因為，所以，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯誤．【詳解】解：∵E、F分別是、上的任意點，∴與不一定相等，故①錯誤；∵于點B，于點D，∴，∵，∴的另一個條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯誤；延長到點G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，，∴，，∴平分，故③⑤正確；當平分時，，而，∴，即只有當時，平分，但是動點，角度不固定，故④錯誤；故選：C．20．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）如圖，在中，平分，，則．【答案】/105度【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明得到即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．21．（24-25八年級上·江西新余·期中）在中，邊，中線，則邊的取值范圍是．【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系．倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長至，使，連接．利用全等三角形的性質(zhì)把要求的線段和已知的線段構(gòu)造到了一個三角形中，從而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行求解．【詳解】解：延長到，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得：，，，故答案為：．22．（24-25八年級上·北京·期中）補全證明過程：如圖，已知B，E，F(xiàn)，C四個點在同一條直線上，，，，求證：．證明：∵，∴____________，即____________在和中，∴（______）．【答案】；；；；；【知識點】用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理結(jié)合證明過程中前后步驟的邏輯關(guān)系填空即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∴，故答案為：；；；；；．23．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖，公園有一條形道路．其中，在處各有一個石凳，且為的中點，連接．

(1)石凳到石凳的距離是否相等？請說明理由；(2)三點是否共線？請說明理由．【答案】(1)石凳到石凳的距離相等，見解析．(2)三點共線，見解析．【知識點】全等三角形的性質(zhì)、用SAS證明三角形全等（SAS）【分析】（1）由得到，由點M為的中點得到，從而證明，得到；（2）由得到，又，得到，因此三點共線．【詳解】（1）石凳到石凳的距離相等．理由如下：∵，∴．∵點M為的中點，∴．在和中，．，即石凳到石凳的距離，相等．（2）三點共線．理由如下：，．，．三點共線．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，．(1)在下列條件①；②；③中，只添加一個條件就可以證得，則所有可以添加的條件的序號是________．(2)根據(jù)已知及(1)中添加的一個條件，證明．【答案】(1)②③(2)見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、用SAS間接證明三角形全等（SAS）、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可；（2）證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，又，添加①無法證得；添加②根據(jù)可證得；添加③根據(jù)可證得；所有可以添加的條件的序號是②③，故答案為：②③；（2）添加②，在與中，)，；添加③，在與中，)，．25．（24-25八年級·湖南岳陽·期中）如圖所示，于點，于點，是上一點，，．求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意判定，可得，進而求解；【詳解】證明：于點，于點，，在和中，，，，，，，．題型六全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（共4小題）26．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，，則．【答案】6【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，先根據(jù)“角角邊”證明，可得，再根據(jù)得出答案.【詳解】解：∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴.故答案為：6.27．（22-23八年級上·全國·期中）如圖，，，，于D，，，則．【答案】【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)證明，可得，再結(jié)合得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∴．故答案為：．28．（24-25八年級上·河北秦皇島·期中）已知如圖，在和中，，交于點M．求證：；【答案】見解析【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）【分析】此題考查了全等三角形的判定．證明，，再由已知即可證明．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，又∵∴29．（23-24八年級上·四川巴中·期末）如圖，于點D，于點E，，與交于點O．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）利用角角邊可證明；（2）根據(jù)，可得，，從而得到，再證明，可得，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∵，，，∴；（2）解：∵，∴，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，∵，∴．題型七全等的性質(zhì)和HL綜合（共8小題）30．（24-25八年級上·河北唐山·期中）使兩個直角三角形全等的條件是（

）A．一個銳角分別相等 B．斜邊和一條直角邊分別相等C．一條直角邊分別相等 D．兩銳角分別相等【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查全等三角形的判定，掌握兩個直角三角形全等的判定方法“”，即可解題．【詳解】解：使兩個直角三角形全等的條件是斜邊和一條直角邊分別相等，故選：B．31．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，，可以判定的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【知識點】用HL證全等（HL）【分析】此題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟悉直角三角形全等證明方法．根據(jù)直角三角形全等的判定定理求解即可．．【詳解】解：在和中，故選：D．32．（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖，，垂足為，是上一點，且，連接、，．若，，則的長為（

）A．5.5 B．2.5 C．3 D．2【答案】A【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．證明，得到，，即可求解．【詳解】解：，，在和中，，，，，，，，故選：A．33．（22-23八年級上·全國·期中）如圖，，，，線段，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，問P點運動到位置時，才能使與全等．【答案】中點或點C【知識點】用HL證全等（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由題意可得，再分兩種情況：當時，當時，分別利用全等三角形的判定定理證明即可得解，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，當時，在和中，，∴，當時，在和中，，∴，綜上所述，P點運動到中點或點C位置時，才能使與全等，故答案為：中點或點C．34．（24-25八年級上·湖北黃岡·期中）如圖，D是內(nèi)部一點，于E，于F，且，點B是射線上一點，，，在射線上取一點C，使得，則的長為．【答案】6或10/10或6【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握證明全等三角形是關(guān)鍵，分類討論是解答的關(guān)鍵．分兩種情況：①當點C在線段上，證明，可得，證明，可得，則，②當點C在線段的延長線上時，同理可得．【詳解】解：①如圖1，當點C在線段上時，連接，∵于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，又∵在和中，，∴，∴，∴；②如圖2，當點C在線段的延長線上時，同理可得，，∴．故答案為：6或10．35．（24-25八年級·福建漳州·期中）如圖，已知，于點，于點，．求證：．【答案】見解析【知識點】用HL證全等（HL）【分析】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵根據(jù)題意得出，再由直角三角形全等的判定方法證明即可．【詳解】證明：∵

∴

∴∵

∴與是直角三角形∵在與中，，∴36．（24-25八年級上·山西長治·期中）如圖，點是線段的中點，在線段的同側(cè)作，，過點作于點，過點作于點，已知．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】用HL證全等（HL）、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題考查全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，進行解答，即可．（1）根據(jù)題意，則，等量代換得，根據(jù)，，則，根據(jù)，則，即可；（2）由（1）可得，，則，根據(jù)，即可．【詳解】（1）解：證明如下：∵點是線段的中點，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．（2）解：證明如下：∵，∴，∵，∴，∴．37．（24-25八年級·陜西咸陽·期中）將和按如圖①方式擺放，已知，，點在線段上，延長交線段于點．(1)線段與之間的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)若將圖①中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且，其余條件不變，如圖②，求證：；(3)若將圖①中的繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，且的延長線交線段于點，其余條件不變，如圖③，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)（2）中的結(jié)論不成立，，理由見解析【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，可證明，即可解答；（2）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，可證明，可得，即可求證；（3）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，可證明，可得，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：（2）證明：如圖，連接，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：（2）中的結(jié)論不成立，，理由如下：如圖，連接，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．題型八添加條件使三角形全等（共3小題）38．（24-25八年級上·河南周口·期中）如圖，已知，則添加下列一個條件不一定能使的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查全等三角形的判定，已知，，滿足一邊一角相等，根據(jù)全等三角形判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：和中，，，A．添加，依據(jù)不能判定，符合題意；B．添加，依據(jù)能判定，不合題意；C．添加，依據(jù)能判定，不合題意；D．添加，依據(jù)能判定，不合題意；故選A．39．（24-25八年級上·天津紅橋·期中）如圖，已知，，要使，還需添加一個條件，這個條件可以是．【答案】，，（其中一個即可）．【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴添加，或其中一個，即可推出，故答案為：，，（其中一個即可）．40．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，已知：點B、F、C、E在一條直線上，，．能否由上面的已知條件得出？如果能，請說明理由；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使成立，并說明理由．供選擇的三個條件：①；②；③．【答案】不能；選擇條件①(還可選擇條件②，但不能選擇條件③)，理由見解析【知識點】同位角相等兩直線平行、添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定．選擇①，證明得到，即可推出；選擇②，證明得到，即可推出．【詳解】解：不能．選擇①，，，，在和中，，，，；選擇②，，，，在和中，，，．題型九靈活選用判定方法證全等（共2小題）41．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）的個元素，如圖所示，下面甲、乙、丙三個三角形中和全等的是（

）A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙【答案】D【知識點】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．由全等三角形的判定可求解．【詳解】解：由“”可證圖乙和全等，由“”可證圖丙和全等．故選：D．42．（24-25八年級·江西萍鄉(xiāng)·期中）下列條件，能判定兩個直角三角形全等的有（

）①兩個銳角對應(yīng)相等

②兩條直角邊對應(yīng)相等

③斜邊和一直角邊對應(yīng)相等④一銳角和斜邊對應(yīng)相等

⑤一銳角和一直角邊對應(yīng)相等A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知識點】用HL證全等（HL）、靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題主要考查了全等直角三角形的判定，根據(jù)直角三角形全等的判定定理逐個解答即可．【詳解】解：因為兩個銳角對應(yīng)相等，沒有邊的參與，這兩個三角形不全等，所以①不符合題意；因為兩條直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“邊角邊”可知這兩個直角三角形全等，所以②符合題意；因為斜邊和一直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“斜邊直角邊”可知這兩個直角三角形全等，所以③符合題意；因為一銳角和斜邊對應(yīng)相等，根據(jù)“角角邊”可知這兩個直角三角形全等，所以④符合題意；因為一銳角和一直角邊對應(yīng)相等，根據(jù)“角角邊或角邊角”可知這兩個直角三角形全等，所以⑤符合題意．所以符合題意的有4個．故選：B．題型十全等三角形綜合問題（共3小題）43．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）在和中，，，點，分別在邊和邊上，，下列判斷正確的是（

）①若，則和一定全等；②若，則和一定全等．A．①對②錯 B．①錯②對 C．①②都對 D．①②都錯【答案】B【知識點】全等三角形綜合問題、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、用HL證全等（HL）【分析】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的條件是解題的關(guān)鍵．依據(jù)全等的判定方法判定即可．【詳解】解：①若，因為，但沒有提及或，所以無法確定和一定全等，如圖，故選:D．②若，，，，②成立．如圖，故選：．44．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖，在四邊形中，與相交于點，則圖中的全等三角形一共有對．【答案】3/三【知識點】全等三角形綜合問題、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL證全等（HL）【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵，∴在和中，，∴；在和中，，∴，∴在和中，，∴，故圖中的全等三角形一共有3對，故答案為：3．45．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）問題背景：如圖1，四邊形，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交于．探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小白同學探究此問題的方法是：延長到，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交于，上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要求說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分交于．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；實際應(yīng)用：如圖4，在中俄聯(lián)合軍演中，遼寧艦在指揮中心（處）北偏西的A處．瓦良格號艦在指揮中心南偏東的處，并且兩艦到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，遼寧艦向正東方向以海里/小時的速度前進，同時瓦良格號沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到遼，瓦兩艦分別到達處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為．試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】探究延伸1：上述結(jié)論仍然成立，理由見詳解探究延伸2：上述結(jié)論仍然成立，理由見詳解實際應(yīng)用：兩艦艇之間的距離為海里【知識點】與方向角有關(guān)的計算題、全等三角形綜合問題【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，方位角的計算，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．探究延伸1：延長到，使，連接，證明，可得，，再證，得到，由，即可求解；探究延伸2：方法同上，延長到，使，連接，先證明，再證，即可求解；實際應(yīng)用：方法同上，如圖所示，連接，延長到點，使得，連接，設(shè)與軸交于點，過點作軸于點，先證，再證，得到，由行程問題可得海里，海里，由此即可求解．【詳解】解：探究延伸1：上述結(jié)論仍然成立，理由如下，如圖所示，延長到，使，連接，∵，延長到，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴；探究延伸2：上述結(jié)論仍然成立，理由如下，如圖所示，延長到，使，連接，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴；實際應(yīng)用：如圖所示，連接，延長到點，使得，連接，設(shè)與軸交于點，過點作軸于點，根據(jù)題意可得，，，，，，，∴，∴，∵，，∴，∵軸，∴，∴，∴，且，∴，∴，，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∵遼寧艦向正東方向以海里/小時的速度前進，瓦良格號以海里/小時的速度前進，行駛時間為小時，∴（海里），（海里），∴（海里），∴兩艦艇之間的距離為海里．題型十一尺規(guī)作圖（共6小題）46．（24-25八年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，甲、乙兩位同學都以點B，C為圓心畫出了兩段弧，作出的角平分線，那么下列結(jié)論正確的是（

）

A．甲、乙都對 B．甲對、乙錯C．甲錯、乙對 D．甲、乙都錯【答案】A【知識點】作線段(尺規(guī)作圖)、用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明即可求解．【詳解】解：如圖，連接

甲：由作圖可知，，∵，∴，∴，∴是平分線，故甲的作法正確；乙：由作圖可知，，∵，∴，∴，∴是平分線，故乙的作法正確．故選A．47．（24-25八年級上·廣東江門·期中）在中，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，小于長為半徑畫弧，分別交，于點、；②分別以點、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線，交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】此題考查基本作圖“平分已知角”．解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的作法，同時熟記角平分線分角為大小相等的兩個角．由題意知，平分，可得的度數(shù)，再由，可得的度數(shù)．【詳解】解：由作圖步驟作圖如下：則平分，又，∴又，∴．故選：C．48．（24-25八年級上·全國·期中）尺規(guī)作圖中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想方法．如圖，為了得到，在用直尺和圓規(guī)作圖的過程中，得到的依據(jù)是．【答案】【知識點】用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定等知識點，明確尺規(guī)作圖所隱含的條件成為解題的關(guān)鍵．由尺規(guī)作圖可知：，然后根據(jù)全等三角形的判定定理即可解答．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，，，故答案為：．49．（24-25八年級上·廣東江門·期中）尺規(guī)作圖：(不寫作法，保留作圖痕跡)作的角平分線．【答案】圖形見解析【知識點】作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線的作圖步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的作圖步驟畫圖即可．【詳解】解：以點為圓心任意半徑畫弧，交兩點，以兩點分別為圓心，大于兩點的距離畫弧交于一點，連接A點和此點的射線交邊于D點，連接即可；50．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，(1)尺規(guī)作圖：作出，使得，其中點在線段上，點在點上方；(2)判斷線段與的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)圖見解析(2)，，理由見解析【知識點】作線段(尺規(guī)作圖)、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵：（1）以為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，分別以為圓心，和的長為半徑畫弧，兩弧的交點即為點；（2）設(shè)交于點，作圖可知，全等三角形的性質(zhì)得到，，，進而求出，得到即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；由作圖可知：，∴；（2），，理由如下：設(shè)交于點，由（1）知：，，∴，，∴，∴，∴；綜上：，．51．（24-25八年級上·北京·期中）作圖題．(1)如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，，的面積是________；已知與關(guān)于軸對稱，請在坐標系中畫出(2)已知：求作：的角平分線（要求：用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）【答案】(1)；(2)【知識點】作角平分線(尺規(guī)作圖)、坐標與圖形變化——軸對稱、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】本題主要考查了利用割補法求一個圖形的面積、作一個圖形關(guān)于軸對稱的圖形、尺規(guī)作圖．過三角形的三個頂點、、構(gòu)造正方形，利用正方形解決三角形的面積問題；分別作點、、關(guān)于軸的對稱點、、，連接點、、得到，則與關(guān)于軸對稱；利用尺規(guī)作圖做一個角的平分線作圖即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點、、構(gòu)造正方形，正方形的邊長為，，故答案為；如下圖所示，分別作點、、關(guān)于軸的對稱點、、，連接點、、得到，則與關(guān)于軸對稱；（2）解：如下圖所示，題型十二角平分線的性質(zhì)定理（共5小題）52．（23-24八年級·重慶南岸·期中）如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為48和26，則的面積為（

）A．11 B．22 C．26 D．37【答案】A【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得，再證明，，進得出方程，求出解即可．【詳解】解：過點D作，于點H，∵是的角平分線，，∴．在和中，，∴，同理．設(shè)的面積是x，則的面積是x，根據(jù)題意，得，解得，所以的面積是11．故選：A．53．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，的三邊，，的長分別為，，，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【知識點】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意可得到的三邊，，的距離相等，則三個三角形的面積比等于，即可求解．【詳解】解：∵三條角平分線將分為三個三角形，∴到的三邊，，的距離相等，設(shè)為，又的三邊，，的長分別為，，，∴故選：C．54．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，射線是的角平分線，點為射線上一點，于點，，若點是射線上一點，，則的面積為．【答案】【知識點】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，過點作于，∵射線是的角平分線，，，，故答案為：．55．（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，平分交于點為的中點，已知，則．【答案】7【知識點】根據(jù)三角形中線求面積、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形中線的定義，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過點D作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的中線及三角形面積公式計算即可．【詳解】解：過點D作于，于，平分，為的中點，，，，，，，，故答案為：756．（24-25八年級上·天津·期中）如圖，在中，平分，點是的中點，于點，于點．求證：．【答案】見解析【知識點】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再證明，即可得證結(jié)論．【詳解】證明：平分，，，，，是的中點，在和中，，∴，．題型十三角平分線的判定定理（共4小題）57．（24-25八年級上·山東菏澤·期中）如圖，點是內(nèi)一點，于點，于點，于點，，則（）A．點在的平分線上 B．點在的平分線上C．點在的平分線上 D．點是，，平分線的交點【答案】B【知識點】角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線判定，能熟記角平分線判定的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．根據(jù)角平分線判定推出即可．【詳解】解：，于點，于點，點在的平分線上，但從現(xiàn)有條件無法推導(dǎo)出點在的平分線上，點在的平分線上，故選：B．58．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，D到和距離相等，，，則度數(shù)為．

【答案】/40度【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線的判定與三角形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是根據(jù)D到和距離相等，得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵在中，D到和距離相等，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．59．（24-25八年級上·福建福州·期中）如圖，中，點在邊上，，的平分線交于點，過點作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分；(2)若，，，且，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識點】角平分線的性質(zhì)定理、角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、角平分線的判定定理、三角形面積公式，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）過點作于，于，由題意可得平分，由角平分線的性質(zhì)定理可得，即可得證；（2）設(shè)，由（1）得：，再由三角形面積公式計算即可得解．【詳解】（1）證明：過點作于，于，如圖：，平分，又，，，平分的平分線，，，，，點在的平分線上，平分；（2）解：設(shè)，由（1）得：，，，，，即：，解得：，，．60．（24-25八年級上·湖北孝感·期中）如圖，在中，，點D，E分別在，上，且滿足，，連接，求證：是的平分線．【答案】見解析【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的判定等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；先過點D作，然后證明，得到，然后即可求解；【詳解】證明：過點D作，垂足為F，如圖：，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴是的平分線；題型十四角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用（共4小題）61．（24-25八年級上·重慶大足·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．以上都不對【答案】A【知識點】角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應(yīng)為三角形的三條角平分線的交點．故選：A．62．（23-24八年級上·北京·期中）為進一步美化校園，我校計劃在校園綠化區(qū)增設(shè)3條綠化帶，如圖所示，綠化帶，綠化帶交綠化帶于，交綠化帶于．若要建一噴灌處到三條綠化帶的距離相等，則可供選擇的噴灌處修建點有（

）A．4處 B．3處 C．2處 D．1處【答案】C【知識點】角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用【分析】由角平分線的交點到角邊的距離相等，兩同旁內(nèi)角平分線的交點滿足條件；這樣的點有2個，可得可供選擇的地址有2個．【詳解】解：∵和的平分線的交點到、、距離相等，∴這兩個角的平分線的交點滿足條件；∵和的平分線的交點到、、距離相等，∴這兩個角的平分線的交點滿足條件；∴滿足這條件的點