概率統(tǒng)計(jì)考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)互斥事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(P(AB)=P(A)P(B)\)B.\(P(A\cupB)=1\)C.\(P(AB)=0\)D.\(P(A-B)=P(A)-P(B)\)2.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(E(X)\)=（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(1/\lambda\)D.\(1/\lambda^2\)3.已知隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)=（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\simN(1,4)\)，\(Y\simN(0,1)\)，則\(Z=X-2Y\)服從的分布是（）A.\(N(1,8)\)B.\(N(1,6)\)C.\(N(1,2)\)D.\(N(1,4)\)5.樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)來(lái)自總體\(X\)，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的期望\(E(\overline{X})\)=（）A.\(n\mu\)B.\(\mu\)C.\(\mu/n\)D.\(n\sigma^2\)6.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)滿(mǎn)足（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(-\infty)=1\)C.\(F(+\infty)=0\)D.\(F(x)\)為單調(diào)遞減函數(shù)8.已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(AB)=0.3\)，則\(P(A|B)\)=（）A.0.3B.0.6C.0.5D.19.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則\(D(X)\)=（）A.\(\frac{(b-a)^2}{12}\)B.\(\frac{(b-a)^2}{6}\)C.\(\frac{(b+a)^2}{12}\)D.\(\frac{(b+a)^2}{6}\)10.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)，備擇假設(shè)\(H_1\)，則稱(chēng)為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的是（）A.\(H_0\)為真，接受\(H_1\)B.\(H_0\)為真，拒絕\(H_1\)C.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒絕\(H_0\)答案：1.C2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.B9.A10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是概率的基本性質(zhì)（）A.非負(fù)性\(P(A)\geq0\)B.規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)C.可列可加性D.\(P(A-B)=P(A)-P(B)\)（當(dāng)\(B\subseteqA\)時(shí)）2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=C\frac{\lambda^k}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)，則（）A.\(C=e^{-\lambda}\)B.\(X\)服從泊松分布C.\(E(X)=\lambda\)D.\(D(X)=\lambda\)3.對(duì)于二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（\(f\)為聯(lián)合概率密度，\(f_X,f_Y\)為邊緣概率密度）B.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)4.設(shè)總體\(X\)的均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)都存在，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則（）A.樣本均值\(\overline{X}\)是\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)量B.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)量C.樣本二階中心矩\(B_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)量D.樣本均值\(\overline{X}\)的方差\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)5.以下哪些是離散型隨機(jī)變量的分布（）A.二項(xiàng)分布B.均勻分布C.泊松分布D.正態(tài)分布6.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)事件，則（）A.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)\)B.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)（當(dāng)\(P(A)>0\)時(shí)）C.\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)（當(dāng)\(P(B)>0\)時(shí)）D.若\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(AB)=0\)7.若隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)B.其圖像關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱(chēng)C.\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826\)D.\(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.9974\)8.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)D.\(\overline{X}\)與\(S^2\)相互獨(dú)立9.對(duì)于隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)，相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)滿(mǎn)足（）A.\(|\rho_{XY}|\leq1\)B.若\(\rho_{XY}=1\)，則\(Y=aX+b\)（\(a>0\)）C.若\(\rho_{XY}=-1\)，則\(Y=aX+b\)（\(a<0\)）D.\(\rho_{XY}=0\)時(shí)，\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立10.以下關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的說(shuō)法正確的是（）A.顯著性水平\(\alpha\)是犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率B.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量C.拒絕域是使得原假設(shè)\(H_0\)被拒絕的樣本值的集合D.雙邊檢驗(yàn)的拒絕域在數(shù)軸的兩側(cè)答案：1.ABCD2.ABCD3.ABD4.ABD5.AC6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABC10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.概率為0的事件一定是不可能事件。（）2.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。（）3.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的一致估計(jì)量。（）4.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)事件，若\(P(A)+P(B)>1\)，則\(A\)與\(B\)一定不是互斥事件。（）5.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)\)的圖像是關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱(chēng)的。（）6.對(duì)于離散型隨機(jī)變量\(X\)，其分布律\(P(X=x_k)\)滿(mǎn)足\(\sum_{k}P(X=x_k)=1\)。（）7.若總體\(X\)的方差\(\sigma^2\)未知，在對(duì)總體均值\(\mu\)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，使用的是\(t\)分布。（）8.隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)一定存在。（）9.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則樣本方差\(S^2\)與樣本均值\(\overline{X}\)相互獨(dú)立。（）10.在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)樣本容量\(n\)固定時(shí)，減少犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率，必然會(huì)增加犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是樣本空間，對(duì)于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿(mǎn)足：非負(fù)性\(P(A)\geq0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，則稱(chēng)\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)期望和方差的含義。答案：數(shù)學(xué)期望\(E(X)\)反映隨機(jī)變量\(X\)取值的平均水平。方差\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)，衡量隨機(jī)變量\(X\)取值相對(duì)于均值的離散程度，方差越大，取值越分散。3.簡(jiǎn)述中心極限定理的意義。答案：中心極限定理表明，在一定條件下，大量相互獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。這使得在處理復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，可利用正態(tài)分布進(jìn)行分析和近似計(jì)算，簡(jiǎn)化問(wèn)題求解。4.簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)的兩種方法。答案：點(diǎn)估計(jì)，用樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)的值，如用樣本均值估計(jì)總體均值。區(qū)間估計(jì)，給出包含總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間及該區(qū)間包含參數(shù)的概率，如求總體均值的置信區(qū)間。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在實(shí)際生活中，概率統(tǒng)計(jì)有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？答案：在保險(xiǎn)行業(yè)用于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與保費(fèi)定價(jià)；在質(zhì)量控制中監(jiān)測(cè)產(chǎn)品合格率；在投資領(lǐng)域分析風(fēng)險(xiǎn)與收益；在市場(chǎng)調(diào)研里預(yù)估產(chǎn)品需求等。通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)可輔助決策、降低不確定性。2.討論為什么樣本方差的分母是\(n-1\)而不是\(n\)？答案：用\(n-1\)作分母，樣本方差\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無(wú)偏估計(jì)量。若用\(n\)作