2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——穿越統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)橋梁考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列結(jié)論中正確的是（）。A.P(X≤a)=F(a)-F(a-0)B.P(X=a)=F(a)C.P(X>a)=1-F(a-0)D.P(X≥a)=F(a+0)2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn是來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本均值X?的期望和方差分別為（）。A.E(X?)=μ,Var(X?)=σ2/nB.E(X?)=μ,Var(X?)=σ2C.E(X?)=nμ,Var(X?)=μ2/nD.E(X?)=nμ,Var(X?)=nσ23.設(shè)X?,X?,...,Xn是來(lái)自總體N(μ,σ2)的樣本，θ?=(1/n)*Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量，則θ?是μ的（）估計(jì)量。A.最優(yōu)B.一致C.無(wú)偏D.有效4.在假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選取的檢驗(yàn)水平為α，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為（）。A.βB.1-βC.αD.1-α5.設(shè)X?,X?,...,Xn是來(lái)自總體N(μ,σ2)的樣本，欲檢驗(yàn)H?:σ2=σ?2vsH?:σ2≠σ?2，應(yīng)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.t=(X?-μ?)/(s/√n)B.χ2=(n-1)s2/σ?2C.Z=(X?-μ?)/(σ?/√n)D.F=MS_between/MS_within二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上）6.若X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X~N(μ?,σ?2),Y~N(μ?,σ?2)，則X+Y~。7.樣本方差s2=Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-X?)2/(n-1)是總體方差σ2的估計(jì)量。8.假設(shè)檢驗(yàn)中，假設(shè)H?被稱為。9.設(shè)總體X的分布未知，但已知其為對(duì)稱分布，從X中抽取樣本，根據(jù)切比雪夫不等式，樣本均值X?至少有95%的概率落入?yún)^(qū)間(μ-2σ/√n,μ+2σ/√n)（σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差），則此結(jié)論成立的條件是樣本容量n至少為。10.在簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若變量X增加一個(gè)單位，則Y的期望值E(Y)增加。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c*x2,0<x<2;0,其他}。(1)確定常數(shù)c的值。(2)計(jì)算P(1<X<1.5)。12.從正態(tài)總體N(50,82)中隨機(jī)抽取容量為16的樣本，樣本均值為54。(1)求樣本均值大于54的概率。(2)求總體均值μ的95%置信區(qū)間（假設(shè)總體方差已知）。13.為檢驗(yàn)?zāi)乘幤返挠行?，隨機(jī)抽取10名患者服用后，記錄其血壓變化量（單位：mmHg），數(shù)據(jù)如下：2,-1,3,1,2,0,1,3,-2,2。假設(shè)血壓變化量服從正態(tài)分布。(1)求樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(2)檢驗(yàn)服用該藥品前后患者血壓變化量的均值是否顯著大于0（取α=0.05）。四、證明題（每小題15分，共30分）14.設(shè)X?,X?,...,Xn是來(lái)自總體N(μ,σ2)的樣本，證明樣本均值X?是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量和一致估計(jì)量。15.設(shè)X?,X?,...,Xn是來(lái)自總體X的樣本，總體X的期望E(X)=μ，方差Var(X)=σ2。證明樣本方差s2=Σ?<0xE2><0x82><0x99>(X?-X?)2/(n-1)是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量。---試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.C5.B二、填空題6.N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)7.無(wú)偏8.原假設(shè)9.1610.β?三、計(jì)算題11.(1)c=3/8(2)P(1<X<1.5)=7/3212.(1)P(X?>54)=0.0901(2)(47.6,52.4)13.(1)X?=1.1,s≈1.874(2)拒絕H?四、證明題14.證明：(1)E(X?)=E((1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>X?)=(1/n)Σ?<0xE2><0x82><0x99>E(X?)=(1/n)*n*μ=μ。故X?是μ的無(wú)偏估計(jì)量。(2)由中心極限定理，當(dāng)n→∞時(shí)，X?漸近服從N(μ,σ2/n)。根據(jù)大數(shù)定律，X?依概率收斂于μ。故X?是一致估計(jì)量。15.證明：E(s2)=E((n-1)S2/(n-1))=E(S