2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——計(jì)算統(tǒng)計(jì)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)建模考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，并說(shuō)明兩者之間的聯(lián)系。二、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。從總體中抽取容量為n的樣本，樣本均值為x??，F(xiàn)要檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?。寫(xiě)出此假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域，并說(shuō)明其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。三、解釋什么是蒙特卡洛模擬，并簡(jiǎn)述其在統(tǒng)計(jì)推斷中至少兩種不同的應(yīng)用場(chǎng)景。四、已知一組樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?),(x?,y?),...,(x?,y?)。簡(jiǎn)述如何使用最小二乘法估計(jì)簡(jiǎn)單線性回歸模型y=β?+β?x+ε的參數(shù)β?和β?。五、什么是Bootstrap方法？請(qǐng)描述其基本原理，并說(shuō)明如何利用Bootstrap方法來(lái)估計(jì)某個(gè)統(tǒng)計(jì)量（例如樣本均值或中位數(shù)）的置信區(qū)間。六、考慮一個(gè)包含節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的簡(jiǎn)單無(wú)向圖，邊集E={AB,AC,BD,CD}。計(jì)算節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的度數(shù)。根據(jù)度分布，該網(wǎng)絡(luò)更傾向于哪種簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)模型（隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)）？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。七、什么是時(shí)間序列的平穩(wěn)性？請(qǐng)給出一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的例子，并簡(jiǎn)述如何通過(guò)差分的方法將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。八、設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)=2x,0<x<1。請(qǐng)計(jì)算X的期望E(X)和方差Var(X)。九、描述一下貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷與經(jīng)典（頻率）統(tǒng)計(jì)推斷在處理參數(shù)不確定性方面的主要區(qū)別。十、假設(shè)你正在研究一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的捕食-被捕食關(guān)系。你收集了某種獵物的種群數(shù)量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)表現(xiàn)出明顯的周期性波動(dòng)。請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰煞N可能的統(tǒng)計(jì)模型或方法來(lái)描述這種周期性行為，并簡(jiǎn)要說(shuō)明選擇這些模型或方法的理由。試卷答案一、參數(shù)估計(jì)是指利用樣本信息推斷總體參數(shù)的值，常用方法有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值）來(lái)估計(jì)總體參數(shù)（如總體均值）。區(qū)間估計(jì)是給出一個(gè)區(qū)間，使得該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率達(dá)到一定水平（置信水平）。假設(shè)檢驗(yàn)是利用樣本信息判斷關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)推斷方法。其基本思想是小概率反證法，即假設(shè)一個(gè)原假設(shè)為真，然后看由此產(chǎn)生的結(jié)果是否是小概率事件，如果是，則傾向于拒絕原假設(shè)。兩者聯(lián)系在于：假設(shè)檢驗(yàn)中常常涉及對(duì)參數(shù)值進(jìn)行判斷，而參數(shù)估計(jì)可以為假設(shè)檢驗(yàn)提供原假設(shè)的基準(zhǔn)值或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造基礎(chǔ)；反之，假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果也可以反過(guò)來(lái)幫助我們理解參數(shù)估計(jì)的區(qū)間包含真值的可能性。二、拒絕域取決于所使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和顯著性水平α。對(duì)于顯著性水平為α的雙尾檢驗(yàn)，拒絕域通常為：{|Z|≥z_α/2}，其中Z是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的計(jì)算公式為：Z=(x?-μ?)/(σ/√n)。因此，拒絕域可以寫(xiě)為：{|(x?-μ?)/(σ/√n)|≥z_α/2}。由于σ已知，此檢驗(yàn)使用Z統(tǒng)計(jì)量，其分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。三、蒙特卡洛模擬是一種基于隨機(jī)抽樣的計(jì)算方法，通過(guò)模擬隨機(jī)過(guò)程的多次試驗(yàn)來(lái)估計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)的不確定性或進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。其基本原理是利用隨機(jī)數(shù)生成器模擬輸入變量的概率分布，通過(guò)運(yùn)行模擬模型多次，收集輸出結(jié)果，并基于輸出結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而得到近似的結(jié)果或分布。蒙特卡洛模擬在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用包括：1.估計(jì)復(fù)雜分布的統(tǒng)計(jì)量（如分位數(shù)）或概率，當(dāng)解析方法不可行時(shí)；2.模擬檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，用于構(gòu)建精確的置信區(qū)間或進(jìn)行蒙特卡洛檢驗(yàn)，尤其適用于小樣本或非參數(shù)情況。四、最小二乘法通過(guò)最小化觀測(cè)值y?與其對(duì)應(yīng)的擬合值??之間差的平方和Σ(y?-??)2來(lái)估計(jì)回歸參數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單線性回歸模型y=β?+β?x+ε，擬合值??=β?+β?x?。最小二乘法得到的目標(biāo)函數(shù)（誤差平方和S???）為：S???=Σ(y?-(β?+β?x?))2。通過(guò)求該函數(shù)關(guān)于β?和β?的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可以得到參數(shù)β?和β?的估計(jì)值β??和β??的計(jì)算公式：β??=[nΣ(x?x?)-Σx?Σx?]/[nΣ(x?x?)-(Σx?)2]β??=x?-β??x?其中x?=Σx?/n，?=Σy?/n。五、Bootstrap方法是一種重抽樣技術(shù)，其基本原理是假設(shè)我們擁有無(wú)限多個(gè)與原始樣本同分布的樣本（自助樣本），然后通過(guò)有放回地從原始樣本中抽取大量自助樣本（通常B次），并對(duì)每個(gè)自助樣本計(jì)算目標(biāo)統(tǒng)計(jì)量（如均值、中位數(shù)等），從而得到該統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布?；谶@個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布，可以估計(jì)原統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差、構(gòu)建置信區(qū)間（例如，使用α/2百分位數(shù)和(1-α/2)百分位數(shù)作為(1-α)置信區(qū)間的上下限）或進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（例如，如果原假設(shè)值在經(jīng)驗(yàn)分布的分位數(shù)之外，則拒絕原假設(shè)）。六、節(jié)點(diǎn)A的度數(shù)為2（與B,C相連），節(jié)點(diǎn)B的度數(shù)為2（與A,D相連），節(jié)點(diǎn)C的度數(shù)為2（與A,D相連），節(jié)點(diǎn)D的度數(shù)為2（與B,C相連）。該網(wǎng)絡(luò)的度序列為{2,2,2,2}。這是一個(gè)度數(shù)相同的簡(jiǎn)單無(wú)向圖。從度分布來(lái)看，所有節(jié)點(diǎn)的度數(shù)都相同，且度數(shù)較?。ㄐ∮诠?jié)點(diǎn)總數(shù)），這更符合一個(gè)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（RegularNetwork）的特征，或者可以看作是一種特殊的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（如果是在完全圖中隨機(jī)刪除部分邊形成的，且幸運(yùn)地保留了所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)相同）。它不屬于典型的小世界網(wǎng)絡(luò)（小世界網(wǎng)絡(luò)通常具有低平均路徑長(zhǎng)度和較高的聚類系數(shù)，且度分布通常服從某種分布，不一定所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)相同）或無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)通常具有冪律度分布，即少數(shù)節(jié)點(diǎn)度數(shù)非常高，多數(shù)節(jié)點(diǎn)度數(shù)較低）。七、時(shí)間序列的平穩(wěn)性是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)）不隨時(shí)間推移而變化。具體來(lái)說(shuō)，一個(gè)時(shí)間序列{X?}如果是平穩(wěn)的，則滿足：1)均值E(X?)=μ為常數(shù)；2)方差Var(X?)=σ2為常數(shù)；3)自協(xié)方差函數(shù)γ(k)=Cov(X?,X???)只依賴于滯后時(shí)間差k，與具體時(shí)間點(diǎn)t無(wú)關(guān)。一個(gè)典型的非平穩(wěn)時(shí)間序列例子是具有確定性趨勢(shì)的時(shí)間序列，例如Y?=Trend(t)+ε?，其中Trend(t)是一個(gè)非零的線性或非線性函數(shù)，ε?是白噪聲。這種序列的均值隨時(shí)間變化，因此是非平穩(wěn)的。通過(guò)差分可以將這種序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。例如，對(duì)于Y?=α+βt+ε?，計(jì)算一階差分ΔY?=Y?-Y???=(α+βt+ε?)-(α+β(t-1)+ε???)=β+(ε?-ε???)。如果β是常數(shù)，那么ΔY?=β+ε?-ε???。如果ε?是白噪聲（均值為0，方差為σ2，且ε?與ε???不相關(guān)），則ΔY?的均值仍為β（如果β≠0仍非平穩(wěn)，可繼續(xù)差分），但它的均值不再隨時(shí)間變化，且波動(dòng)性可能更穩(wěn)定，更接近平穩(wěn)性要求。對(duì)于更復(fù)雜的趨勢(shì)，可能需要多次差分。八、E(X)=∫?1x*f(x)dx=∫?1x*(2x)dx=∫?12x2dx=[2x3/3]?1=2(1)3/3-2(0)3/3=2/3。Var(X)=E(X2)-[E(X)]2。首先計(jì)算E(X2)：E(X2)=∫?1x2*f(x)dx=∫?1x2*(2x)dx=∫?12x3dx=[2x?/4]?1=2(1)?/4-2(0)?/4=2/4=1/2。然后計(jì)算Var(X)：Var(X)=1/2-(2/3)2=1/2-4/9=9/18-8/18=1/18。九、經(jīng)典（頻率）統(tǒng)計(jì)推斷基于小概率原理和頻率解釋，將參數(shù)視為固定的未知常數(shù)，統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論（如P值）表示在參數(shù)真值固定時(shí)，觀察到當(dāng)前或更極端樣本結(jié)果的概率。貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷則將參數(shù)視為隨機(jī)變量，