1/12021北京重點校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編函數(shù)概念與性質(zhì)1一、單選題1．（2021·北京·清華附中高一期中）設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．2．（2021·北京師大附中高一期中）已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）3．（2021·北京師大附中高一期中）下圖是函數(shù)的圖像，的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2021·北京師大附中高一期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上不是單調(diào)函數(shù)的是（

）A．y＝ B． C． D．5．（2021·北京八中高一期中）已知，則等于（

）A．1 B． C．2 D．6．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B．C． D．7．（2021·北京八十中高一期中）已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．8．（2021·北京四中高一期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．9．（2021·北京四中高一期中）函數(shù)若，則x的值是（

）A． B．1或 C．1或 D．10．（2021·北京四中高一期中）若，則（

）A．0 B． C．1 D．二、填空題11．（2021·北京師大附中高一期中）函數(shù)的定義域是______.12．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為__________．13．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足：（1）當(dāng)時，；

（2）；

（3）當(dāng)時，，則在下列結(jié)論中：①②在R上是遞減函數(shù)；③存在，使④若，則，．其中正確結(jié)論的命題為__________．14．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）能夠說明“若對任意的都成立，則函數(shù)在是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_________.15．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，且對于都有，則不等式的解集為___________.16．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）寫出“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的一個充分不必要條件：___________.17．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是_________.三、雙空題18．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）若定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時，則：（1）__________；（2）當(dāng)時，_________.19．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知兩個函數(shù)和都是定義在上的函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系如下表：x0123x012332101302（1）若，則__________；

（2）方程的解集是____________.20．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù)的圖象是如圖所示的兩條線段（不含端點），則：（1）_________；（2）若，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.四、解答題21．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的定義域為R，且滿足對于任意，都有，且當(dāng)時，，且．(1)求與的值；(2)判斷的奇偶性；(3)判斷的單調(diào)性，并證明；(4)解不等式．22．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知函數(shù)(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)解不等式．23．（2021·北京師大附中高一期中）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)是否具有奇偶性？并說明理由；(2)試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在（-1，＋∞）上是增函數(shù)；(3)求函數(shù)在區(qū)間［1，4］上的值域．24．（2021·北京師大附中高一期中）已知函數(shù)在上有意義，且對任意滿足．(1)求的值，判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；(2)若時，，判斷在的單調(diào)性，并說明理由．(3)在（2）的條件下，請在以下兩個問題中任選一個作答：（如果兩問都做，按①得分計入總分）①若，請問是否存在實數(shù)，使得恒成立，若存在，給出實數(shù)的一個取值；若不存在，請說明理由．②記表示兩數(shù)中的較大值，若對于任意，，求實數(shù)的取值范圍？25．（2021·北京八中高一期中）已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T，對任意，有成立.(1)判斷函數(shù)是否屬于集合M，并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點，證明：函數(shù)屬于集合M；(3)是否存在實數(shù)a，使得屬于集合M？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由.26．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”？（直接寫出結(jié)論，不要求證明）(2)如果是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”，求的最大值；(3)如果函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍.27．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知定義在R上的函數(shù)滿足：①；②為奇函數(shù)；③，都有；④都有.(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.28．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）已知函數(shù).(1)用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上遞減；(2)直接寫出函數(shù)的定義域和奇偶性，并畫出函數(shù)的大致圖象；(3)設(shè)，若對于，總，使恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.29．（2021·北京四中高一期中）已知函數(shù)．(1)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值．注：證明（1）只能用函數(shù)單調(diào)性定義證明．30．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)若時，方程僅有一實根或有兩個相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案1．B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，將轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】根據(jù)題意為偶函數(shù)，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且,所以，所以，故選：B．2．B【分析】依題意可得函數(shù)在各段均是增函數(shù)且在斷點的左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點右側(cè)的函數(shù)值，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】因為且在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，即，故選：B3．A【分析】由圖象可知時，為一次函數(shù)，進而待定系數(shù)法求出解析式，即可求出結(jié)果.【詳解】由圖象可知時，為一次函數(shù)，且過點，，設(shè)時，，則，解得，則，因此，故選：A.4．C【分析】由基本函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】對于A，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以A錯誤，對于B，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以B錯誤，對于C，在（0，＋∞）上不是單調(diào)函數(shù)，所以C正確，對于D，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以D錯誤，故選：C5．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：由題知，所以故選：B6．D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)，定義域為，得其單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.7．B【分析】依題意可得函數(shù)在各段均是增函數(shù)且在斷點的左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點右側(cè)的函數(shù)值，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為且在上單調(diào)遞增，所以，解得，即故選：B8．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)解析式，再考慮和兩種情況，解不等式得到答案.【詳解】當(dāng)時，，.當(dāng)時，，即，解得，故；當(dāng)時，，即，解得或，故.綜上所述：.故選：B.9．D【分析】考慮，，三種情況，代入函數(shù)分別計算得到答案.【詳解】當(dāng)時，，解得，不滿足；當(dāng)時，，或（舍去），故；當(dāng)時，，解得，不滿足.綜上所述：.故選：D.10．A【分析】取，代入計算得到答案.【詳解】取，則.故選：A.11．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于且分式的分母不等于，聯(lián)立不等式組求解的取值集合得答案.【詳解】由，得且，函數(shù)的定義域為；故答案為：.12．3【分析】利用待定系數(shù)法求出的表達式即可．【詳解】設(shè)，則，解得，所以則，，故答案為：13．①②③【分析】通過賦值可得，進而可判斷①，再根據(jù)單調(diào)性的定義及條件可判斷②，由②得單調(diào)性和可判斷③，由可判斷④.【詳解】當(dāng)時，令時，，因為，所以，所以，所以①正確；由①知，，所以有，任意的且，因為，則，所以，，所以，所以在R上是遞減函數(shù)，②正確；因為，在R上是遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，，③正確；由，結(jié)合①得，，④錯誤.故答案為：①②③.14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意函數(shù)可為，說明此函數(shù)在上不是增函數(shù)即可.【詳解】解：根據(jù)題意函數(shù)可為，則對于任意的都有，函數(shù)在上都是增函數(shù)，又，則函數(shù)在上不是增函數(shù)，所以函數(shù)能夠說明題中命題為假命題.故答案為：.（答案不唯一）15．【分析】由題可得函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，不等式等價于或，解之即得.【詳解】∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，∴，又都有，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，由得，由得，或，∴.故答案為：16．（答案不唯一）【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，再利用充分條件、必要條件的定義即得.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減可得，所以“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的一個充分不必要條件為.故答案為：（答案不唯一）17．【分析】根據(jù)題意可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，解得.故答案為：.18．

【分析】（1）由題可得，再結(jié)合條件可求；（2）由題可求當(dāng)時，，再結(jié)合函數(shù)的周期性即求.【詳解】∵定義在R上的奇函數(shù)滿足，∴，，∴，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又時，∴，∴當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，，∴.故答案為：（1）；（2）19．

##【分析】（1）利用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系即求；（2）把x的取值代入驗證即求.【詳解】（1）∵，∴，∴；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴方程的解集是.故答案為：（1）；（2）20．

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【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的圖象利用分段函數(shù)寫出函數(shù)的解析式，再根據(jù)所求由內(nèi)向外逐一去掉括號，從而求出函數(shù)值；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，建立不等式求解.【詳解】（1）由圖象知，，．（2）由圖象可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又，所以，解得故答案為：1；21．(1)，(2)見解析(3)見解析(4)或【分析】（1）通過賦值可得解；（2）令，結(jié)合可判斷；（3）令，由可判斷；（4）由，可得，進而得解.(1)令，則，即，，；(2)令，則，即，可得為奇函數(shù)；(3)是上的減函數(shù)下證明：令，則，由時，，可得，即有，即，即，則是上的減函數(shù)；(4)，由（3）知是上的減函數(shù)，所以，解得或.故不等式的解為或.22．(1)見解析(2)【分析】（1）通過計算，證得在區(qū)間上為增函數(shù).（2）利用的解析式，化簡不等式，由此求得不等式的解集.(1)設(shè)任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當(dāng)時，都有，在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)由，可得，所以有或，解得或，所以不等式的解為：23．(1)函數(shù)不具有奇偶性；理由見解析；(2)證明見解析；(3)［-，1］.【分析】（1）通過定義域不關(guān)于原點對稱來判斷奇偶性；（2）任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2，通過計算f（x1）-f（x2）的正負來判斷單調(diào)性；（3）通過函數(shù)在區(qū)間［1，4］上的單調(diào)性求得最值即可.（1）由已知，故函數(shù)定義域為，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不具有奇偶性；（2）證明：==，任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2f（x1）-f（x2）＝（2-）-（2-）＝-=＝，又由-1＜x1＜x2，則x1-x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f(x)在（-1，＋∞）是增函數(shù)；（3）由（2）知，f(x)在［1，4］上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝-，f(x)max＝f（4）＝1，故f(x)在［1，4］上的值域是［-，1］．24．(1)，奇函數(shù)；證明見解析(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；理由見解析(3)①不存在；理由見解析；②.【分析】（1）令，得到，再令，可得，勁兒可得出結(jié)論；（2）設(shè)任意，，令，進而可得，判斷其正負，結(jié)合單調(diào)性的概念即可得出結(jié)論.選①結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，進而可得，解不等式即可得出結(jié)論；選②令，，所以，進而分和兩種情況討論即可求出結(jié)果.（1）令，則，解得，令，則，則，又因為定義域為，關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)．（2）在上是單調(diào)遞減函數(shù)．理由：設(shè)任意，，令，則，即：，因為，，所以，所以，所以，因為時，，所以，故，所以，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)．（3）選①由（2）知，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且．所以，，因為，所以，所以，即，，，所以，即，又因為，所以不存在實數(shù)使得恒成立．選②，由（2）知，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且．所以，所以，所以，令，，所以，若，；若，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以．綜上，實數(shù)m的取值范圍為．【點睛】含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題，而不等式的解集?的對立面(如f(x)＞m的解集是空集，則f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.25．(1)，理由見解析(2)證明見解析(3)不存在實數(shù)，使得屬于集合M【分析】（1）將代入定義驗證知函數(shù)不屬于集合M．（2）由題意存在使得，由新定義知存在非零常數(shù)T使得，將函數(shù)關(guān)系式代入驗證知．（3）先假設(shè)存在，則由新定義有，方程組無解，故不存在(1)，理由如下：若，則，當(dāng)，所以；(2)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點，所以方程組：有解，消去得，顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)T，使．于是對于有，故；(3)若，則當(dāng)時，，所以，得，則,當(dāng)且，，所以，方程組無解，故不存在實數(shù)，使得屬于集合M26．(1)存在優(yōu)美區(qū)間是，不存在優(yōu)美區(qū)間；(2)(3)【分析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性及值域及新定義求解；（2）由新定義及函數(shù)定義域，確定相應(yīng)方程有兩個同號的不等實根，由此求得參數(shù)范圍；（3）由函數(shù)的單調(diào)性，分類討論：，，，確定函數(shù)的最大值和最小值，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布，可得結(jié)論．(1)，在上單調(diào)遞增，由得或1，存在優(yōu)美區(qū)間是，是增函數(shù)，若存在優(yōu)美區(qū)間，則，無解，不合題意，不存在優(yōu)美區(qū)間；(2)在和上都是增函數(shù)，因此優(yōu)美區(qū)間或，由題意，所以有兩個同號的不等實根，，，，，或，，同號，滿足題意，，，因為或，所以當(dāng)，即時，．(3)函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，設(shè)得其一個優(yōu)美區(qū)間，在上遞減，在上遞增，若，則，即有兩個不等的非負根，，，，，，則，所以；若，則，即，兩式相減得，，，所以方程有兩個不等的非正根，方程整理為，，，滿足題意，，，所以；若，則，因此，所以，，，，即時，，，，即時，，，，，一正一負，取正根為，，時，成立，時，不等式變?yōu)?，，，即，綜上，的取值范圍是．【點睛】本題考查函數(shù)的新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，解題難點是新定義的應(yīng)用，解題方法是利用新定義把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，注意分類討論的應(yīng)用．對學(xué)生的邏輯思維能力運算求解能力要求較高，屬于難題．27．(1)偶函數(shù)，理由見解析(2)函數(shù)在上的單調(diào)遞增，理由見解析(3)【分析】(1)利用給定條件求出g(0)，再借助賦值法及奇偶性定義即可判斷作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合賦值法和函數(shù)單調(diào)性定義即可證得結(jié)論.(3)利用(1)，(2)的結(jié)論脫去法則“f”轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式求解作答.(1)函數(shù)是R上的偶函數(shù)，因都有，則取，有，而，則有，取，可得，即，恒有，所以函數(shù)是R上的偶函數(shù).(2)函數(shù)在上的單調(diào)遞增，因都有，而為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則有，兩式相減得：，，則因，則，，而當(dāng)，，于是有，因此，，即，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增.(3)由(1)知，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則，由(2)知，，，則有，，，又在上的單調(diào)遞增