1/12021北京重點校高一（上）期中數學匯編函數概念與性質3一、單選題1．（2021·北京·101中學高一期中）下列函數中，在區(qū)間上為增函數的是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京八十中高一期中）向高為H的水瓶內注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）如圖為函數和的圖像，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）下列函數中在上單調遞增的是（

）A． B． C． D．5．（2021·北京·人大附中高一期中）下列圖象中，以為定義域，為值域的函數是（

）A． B．C．D．6．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）如果函數的定義域為，且值域為，則稱為“函數”.已知函數是“函數”，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都師范大學附屬中學高一期中）下列各組函數表示同一函數的是（

）A．， B．，C．， D．，9．（2021·北京·人大附中高一期中）定義在R上的函數滿足，，則等于（

）A．10 B．6 C．12 D．1610．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數的定義域與值域均為，則（

）A． B． C． D．112．（2021·北京·人大附中高一期中）若是偶函數，且、都有，若，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．13．（2021·北京市第十三中學高一期中）已知函數的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，則函數一定是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．增函數 D．減函數二、填空題14．（2021·北京八十中高一期中）已知，若對，使得，則實數m的取值范圍是________．15．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）已知定義在上的偶函數在上單調，且，，給出下列四個結論：①在上單調遞減；②存在，使得；③不等式的解集為；④關于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結論的序號是___________.16．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）函數的定義域為_______.17．（2021·北京·首都師范大學附屬中學高一期中）函數的定義域是____.18．（2021·北京市第十三中學高一期中）設函數，則的值為___________.19．（2021·北京·人大附中高一期中）函數的值域是__________20．（2021·北京市第十三中學高一期中）已知函數在上單調遞增，若，則滿足的實數的取值范圍是______21．（2021·北京市第十三中學高一期中）函數的定義域為__________．22．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）已知是定義在R上的減函數，那么a的取值范圍是___.23．（2021·北京·人大附中高一期中）函數的定義域為_____________.24．（2021·北京·人大附中高一期中）已知，若對任意的，總有，則的范圍是______．25．（2021·北京·101中學高一期中）函數的定義域是___________.三、解答題26．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）已知函數，（其中）.(1)若對任意，都有恒成立，求的值；(2)設關于x的函數的最小值為.①若，解不等式，并直接寫出的值；②試判斷是否為的函數？若是，直接寫出的函數表達式（用分段函數形式表示）；若不是，說明理由.27．（2021·北京·北師大實驗中學高一期中）函數為定義在上的奇函數，已知當時，.(1)當時，求的解析式；(2)判斷在上的單調性，并利用單調性的定義證明；(3)若，求的取值范圍.28．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函數.（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）判斷當時函數的單調性，并用定義證明；（3）在（2）成立的條件下，解不等式.29．（2021·北京·人大附中高一期中）已知二次函數.（1）若是偶函數，求m的值；（2）函數在區(qū)間上的最小值記為，求的最大值；（3）若函數在上是單調增函數，求實數m的取值范圍.30．（2021·北京市陳經綸中學高一期中）已知定義域為的單調減函數是奇函數，當時，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案1．C【分析】利用解析式結合函數圖象逐項判斷即可.【詳解】解：對A，，為反比例函數在第一象限的圖象，所以是單調遞減，故A錯誤；對B，，該函數為開口向上，對稱軸為，所以在上先減再增，故B錯誤；對C，，為單調遞增的一次函數，故C正確；對D，，為單調遞減的一次函數，故D錯誤.故選：C.2．B【分析】從所給函數的圖象可以看出，V不是h的正比例函數，由體積公式可排除D選項；從函數圖象的單調性及切線的斜率的變化情況看，又可排除A、C選項，從而可得正確答案．【詳解】解：當容器是圓柱時，容積V=πr2h，r不變，V是h的正比例函數，其圖象是過原點的直線，∴選項D不滿足條件；由函數圖象可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，∴容器平行于底面的截面半徑由下到上逐漸變小，∴A、C不滿足條件，而B滿足條件.故選：B．3．D【分析】討論和兩種情況，根據圖像得到范圍，得到答案.【詳解】當時，，此時需滿足，，故；當時，，此時需滿足，，故；綜上所述：.故選：D.4．B【分析】由函數的單調性逐一判斷即可求解【詳解】對于A：在上單調遞減，故A錯誤；對于B：在上單調遞增，故B正確；對于C：在上單調遞增，故C錯誤；對于D：在上單調遞減，故D錯誤；故選：B5．C【分析】根據函數的定義，依次分析選項中的圖象，結合定義域值域的范圍即可得答案．【詳解】對于，其對應函數的值域不是，錯誤；對于，圖象中存在一部分與軸垂直，即此時對應的值不唯一，該圖象不是函數的圖象，錯誤；對于，其對應函數的定義域為，值域是，正確；對于，圖象不滿足一個對應唯一的，該圖象不是函數的圖象，錯誤；故選：．6．B【分析】根據函數的新定義得到且，結合函數和二次函數的性質，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數的定義域為，且值域為，即函數的最小值，最大值為，又由函數，當時，可得，要是函數滿足新定義，則滿足，即，所以，所以實數的取值范圍是.故選：B.7．D【分析】根已知條件求出的周期，根據周期性以及奇函數，結合已知條件即可求解.【詳解】因為滿足，所以，所以是周期為的函數，當時，，所以，又因為是奇函數，，故選：D.8．D【分析】確定函數的定義域是否相同，再判斷對應法則是否相同即可得．【詳解】首先四個選項中，函數或的定義域都是，而中定義域是，中定義域是，不合題意，C中與的對應法則不相同，不是同一函數，D中，定義域是，兩個函數對應法則都是取絕對值，因此是同一函數．故選：D．9．C【分析】根據題目的的等量關系，運用賦值法即可求得答案.【詳解】解析：令得，令，得.故選：C10．A【分析】由題意可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】由于函數是上的減函數，則函數在上為減函數，所以，對稱軸，解得.且有，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.11．A【分析】根據函數的定義域可得，，，再根據函數的值域即可得出答案.【詳解】解：∵的解集為，∴方程的解為或4，則，，，∴，又因函數的值域為，∴，∴.故選：A.12．D【分析】分析出偶函數在上為增函數，將所求不等式變形為，可得出關于的不等式，即可得出原不等式的解集.【詳解】、都有，不妨設，則，故函數在上為增函數，因為函數為偶函數，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集為.故選：D.13．C【分析】利用函數單調性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數，總有.所以函數一定是增函數.故選：C14．【分析】根據對，使得，由求解.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，所以函數的最小值為4，當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；當，即時，，因為對，使得，所以，解得，此時；綜上：實數m的取值范圍是，故答案為：15．①③④【分析】由函數的奇偶性與單調性可判斷①②③，令，則有，從而可求出，進而求出，即可判斷④【詳解】因為定義在上的偶函數在上單調，且，，因為，所以在上單調遞增，所以在上單調遞減，故①正確；因為偶函數在上單調遞增，所以時，，故②錯誤；偶函數在上單調遞增，，，由可得，所以，解得或，故③正確；令，則，可化為，解得或，即或，所以或，解得或或或，關于的方程的解集中所有元素之和為，故④正確.故答案為：①③④16．【分析】函數的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數的定義域滿足：，解得.故答案為：.17．【分析】要使函數有意義，則有，解出即可.【詳解】要使函數有意義，則有，解得且所以函數的定義域是故答案為：18．【分析】首先計算，再計算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：19．【分析】由根式內部的代數式大于等于0求出函數的定義域,再由函數的單調性求得答案.【詳解】由,得，又在上的增函數,在上也是增函數,

在上是增函數,

則函數的值域為故答案為:20．【分析】由題意可得，再根據單調性去掉，解不等式即可.【詳解】因為，所以，因為函數在上單調遞增，所以，可得，所以滿足的實數的取值范圍是，故答案為：.21．且【分析】根據函數成立的條件建立不等式關系進行求解即可．【詳解】要使函數有意義，則，得，即且，即函數的定義域為，故答案為：且.22．【分析】利用函數在上是減函數，可列出不等式組，由此求得a的取值范圍.【詳解】由于是定義在R上的減函數，∴，求得，故答案為：.23．【分析】根據題意列關于的不等式組即可求解.【詳解】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為，故答案為：.24．【分析】把函數f(x)視為關于參數a的一次型函數，在端點-1，1處的函數值不小于0，建立不等式組求解即得.【詳解】令g(a)=x2·a-3x+1，則g(a)是一次型函數，它在閉區(qū)間上圖象為線段，則在閉區(qū)間上函數值不小于0，即對應圖象不在x軸下方，只需端點不在x軸下方即可，，解得：或，解得：，所以有.答案為：【點睛】在參數范圍給定的含該參數的函數問題中，轉換“主”、“輔”變元的位置是解題的關鍵.25．【分析】根據偶次方根的被開方數非負得到不等式，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得，即函數的定義域為故答案為：26．(1)(2)①，；②【分析】（1）根據題意得到不等式，計算得到答案.（2）①解不等式得到，畫出函數圖像，根據圖像得到最值.②解不等式，討論，，三種情況，根據二次函數性質計算最值得到答案.(1)對任意，都有恒成立，即，即，，即.(2)①若，，即，解得.故，畫出函數圖像，根據圖像知.②，即，，當時，，；當時，；當時，；時，；當時，不等式恒成立，故，；當時，，.；綜上所述：27．(1)；(2)在上的單調遞增，證明見解析；(3)【分析】（1）由奇偶性的定義結合已知求解即可；（2）先判斷，再用單調性的定義證明即可；（3）由函數的奇偶性與單調性求解即可(1)函數為定義在上的奇函數，時，.當時，，所以，所以時，求的解析式為；(2)在上的單調遞增；證明：設，則，因為，所以，，即，所以在上的單調遞增；(3)因為函數為定義在上的奇函數，且在上的單調遞增，所以函數在上單調遞增，由得，所以，解得，所以的取值范圍是28．（1）奇函數，證明見解析；（2）單調增函數，證明見解析；（3）.【分析】（1）先求函數的定義域，再判斷與的關系，即可得到答案；（2）任取，作差判斷與的大小關系；（3）利用（1）（2）結論將原不等式，利用單調性即可得到答案；【詳解】（1）函數為奇函數.證明如下：∵定義域為R又∴為奇函數（2）函數在為單調增函數.證明如下：任取，則∵，∴，∴即故在上為增函數（3）由（1）?（2）可得，則解得：所以原不等式的解集為29．（1）；（2）最大值為0；（3）或.【分析】（1）利用偶函數的定義直接求解；（2）根據對稱軸與定義區(qū)間位置關系，分類求解最小值，按分段函數形式寫的解析式，作出分段函數的解析式，數形結合求最值即可；（3）先轉化：在上單調遞增且恒非負，或單調遞減且恒非正，再根據對稱軸以及單調性列方程組，解得實數m的取值范圍.【詳解】（1）是偶函數，，即，解得：（2），二次函數對稱軸為，開口向上①若，即，此時函數在區(qū)間上單調遞增，所以最小值.②若，即，此時當時，函數最小，最小值.③若，即，此時函數在區(qū)間上單調遞減，所以最小值.綜上，作出分段函數的圖像如下，由圖可知，的最大值為0.（3）要使函數在上是單調增函數，則在上單調遞增且恒非負，或單調遞減且恒非正，或，即或，解得或.所以實數m的取值范圍是：或.【點睛】方法點睛：研究二次函數在區(qū)間上的最值，通常分為四種情況：（1）軸定區(qū)間定；（2）軸定區(qū)間動；（3）軸動區(qū)間定；（4）軸動