2024年自主招生素質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分為120分，考試時(shí)間為100分鐘．242頁(yè)）兩部分．3．答題一律要求用0.5mm黑色簽字筆在答題卡上規(guī)定的地方答卷，作圖題使用2B鉛筆作答，考試不使用計(jì)算器．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卡”一并交回．一、選擇題：共6小題，每小題4分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列因式分解正確的是（）A.2xy42xy；B.22x32xy2xxy；22C.x23y2x13yx13y；D.ax2ay21axyxy1；【答案】C【解析】【分析】本題考查了因式分解的判定，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用提公因式法，公式法分解因式進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：A、22xy42xy，原選項(xiàng)不符合題意；22B、x32xy2xxy，原選項(xiàng)不符合題意；2C、x23yx13yx13y，正確，符合題意；2D、ax2ay21axyxy1，不是因式分解，不符合題意；故選：C．x2a02.若關(guān)于x的不等式組的解集中的任意x的值，都能使不等式x40成立，則實(shí)數(shù)a的取3xa15值范圍為（）A.a3B.a2C.a2D.a3【答案】C第1頁(yè)/共27頁(yè)【解析】【分析】本題考查了不等式組求解集，掌握不等式的性質(zhì)，不等式組解集的取值方法是解題的關(guān)鍵．15a，分類討論：當(dāng)215a根據(jù)題意得到x4，再解不等式組得到x2a或xa，即a33315a15a

時(shí)，不等式組的解集為x2a；當(dāng)2a，即a3時(shí)，不等式組的解集為x；由此即

33可求解．【詳解】解：x40，∴x4，x2a0①，3xa②解①得，x2a15ax，解②得，315a2a，即a3時(shí)，不等式組的解集為x2a，當(dāng)3∵x4，∴2a4，解得，a2；當(dāng)15a2a，即a3時(shí)，不等式組的解集為3x15a，3∵x4，15a∴34，解得，a3，不符合題意；∴a2，故選：C．3.如圖，已知ABC中，AD為BAC的平分線，8，BC6，10，則的值為（）第2頁(yè)/共27頁(yè)A.3B.2C.53D.1【答案】A【解析】【分析】在AC取一點(diǎn)，使AEAB，連接，利用勾股定理的聯(lián)系定理先判定三ABC是直角三角形，再利用判定三角形全等得到AEDSAS，進(jìn)而得到，AED90，再利用勾股定理求出，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：在AC取一點(diǎn)，使AEAB，連接．8，BC6，10，AC2=102=100，BC2AB26282100，ACABBC，222ABC是直角三角形，B90．AD為BAC的平分線，\BAD=EAD．在△ABD和△AED中ABAEBADEAD，ADADAEDSAS，，AED90，DEC是直角三角形．CDBCBDBC6，CEACAEACAB1082，第3頁(yè)/共27頁(yè)DCDECE，222即62，2228

DE，

3810

6．

33故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，作出輔助線構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．4.定義：Ma,b,表示這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)，用Mina,,表示這三個(gè)數(shù)的最小數(shù)．例如：1M,00，21．如果Min,01Mx2,2x1Minx2,2x1，則x的值為2（）A.2或2B.1或52C.2或12D.1或12【答案】B【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，分類討論列方程，即可解答，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．結(jié)合題意，分4為最大數(shù)，x2為最大數(shù)，2x1為最大數(shù)三種情況，分別求解即可．【詳解】解：由Mx2,2x1x2,2x1可得，x,2x1三個(gè)數(shù)中，最小數(shù)和中位數(shù)相等，2當(dāng)4為最大數(shù)時(shí)，可得x22x1，解得x1，此時(shí)x214，2x114，符合題意；當(dāng)x2為最大數(shù)時(shí)，可得42x1，解得5x，2此時(shí)2x2525244，符合題意；當(dāng)2x1為最大數(shù)時(shí)，可得4x，解得x2，2第4頁(yè)/共27頁(yè)當(dāng)x2時(shí)，2x122134，不符合前提條件，當(dāng)x2時(shí)，2x122154，不符合前提條件，綜上，x的值為1或52．故選：B．5.如圖，ABC中，，B120，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，若AE3，CE2，則的值可能為（）2.5B.3C.0.3D.0.5【答案】A【解析】【分析】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CBF，連接EF，過(guò)B作BHEF于H，BEBF，1，AECF3，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，EBHEBF60，然21后由30角所對(duì)直角邊是斜邊的一半得BHBE，設(shè)BHx，則BE2x，則根據(jù)勾股定理可得2EH2xx3x，又1EF5，故有123x5，然后得到353BE，從而求解．2233【詳解】解：∵ABC中，，B120，∴將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CBF，連接EF，過(guò)B作BHEF于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BEBF，，AECF3，1∴，EBHEBF60，2∴，第5頁(yè)/共27頁(yè)∴1BHBE，2∴設(shè)BHx，則BE2x，根據(jù)勾股定理可得EH2xx3x，22∴EF2EH23x，∵CFCECFCE，AECF3，CE2，∴1EF5，∴123x5，∵BE2x，∴152x，即3315BE，33∴353BE，選項(xiàng)A符合題意，33故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6.如圖，直線ABy1xb與反比例函數(shù)yk:ABy1xb與反比例函數(shù)yk相交于點(diǎn)A5，與y軸交于點(diǎn)B，將射線繞點(diǎn)3xA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，則點(diǎn)、、C構(gòu)成的三角形面積為（）A.12B.1110C.232D.554【答案】D【解析】【分析】過(guò)B作BFAC于F，過(guò)F作y軸于D，過(guò)A作延長(zhǎng)線于E，連接BC，設(shè)第6頁(yè)/共27頁(yè)AC交y軸于點(diǎn)H，證明AEF，設(shè)BDEFa，由點(diǎn)A5和點(diǎn)B4，則DFDEEF3aAE，BD4a，求得a1，可得F3，進(jìn)而求得直線ACy2x15C的解析式為y2x1，聯(lián)立,6，然后求出15y2x1，再通過(guò)SBHxx即可ABCAC2求解．【詳解】解：過(guò)B作BFAC于F，過(guò)F作y軸于D，過(guò)A作延長(zhǎng)線于E，連接BC，設(shè)AC交y軸于點(diǎn)H，ABy1xb與反比例函數(shù)yk:相交于點(diǎn)A5，∵直線3x1k53b，5，∴33解得：b4，k15，∴直線解析式為y1x，反比例函數(shù)y154，3x當(dāng)x0時(shí)，b4，∴B4，∴OB4，∵BFAC，BAF45，∴△是等腰直角三角形，∴，∴BFD90AFEFAE，∵BDFFEA90，第7頁(yè)/共27頁(yè)∴AEF，∴，DFAE，設(shè)BDEFa，∵點(diǎn)A5和點(diǎn)B4，∴DFDEEF3aAE，BD4a，∵AE5，∴3a4a5，解得a1，∴F3，設(shè)直線AC的解析式為yb，則2kb3，解得kb5k2，b1∴y2x1，令x0，則y1，∴H，∴BH5，聯(lián)立y2x115，解得：yx5x2y6或xy35，C5,6∴2，1∴SBHxxABCAC21553225112255

，

4故答案為：D．第8頁(yè)/共27頁(yè)【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何圖形，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．7.黃山景色絕美，景觀奇特．“五一”假期，黃山風(fēng)景區(qū)進(jìn)山游客近13萬(wàn)人，黃山景區(qū)門(mén)票旺季190元/人，以此計(jì)算，“五一”假期黃山景區(qū)進(jìn)山門(mén)票總收入用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_______．【答案】2.47107【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的運(yùn)用，正確確定a,n的值是解題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為10110ana，確定n值的方法：當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值10時(shí)，把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)位數(shù)即為n的值；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值1時(shí)，把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)位數(shù)的相反數(shù)即為n的值，由此即可求解．【詳解】解：黃山風(fēng)景區(qū)進(jìn)山游客近13萬(wàn)人，黃山景區(qū)門(mén)票旺季190元/人，∴190130000247000002.47107，故答案為：2.47107．8.若x9x8x2x10，則x的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式的加減，掌握這些知識(shí)及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．由x9x8x2x10，則xx9x8x2x10，即10x9x3x2x0，然后兩式相減得出1010，最后討論即可．【詳解】解：∵x9x8x2x10，∴x0，x9x8x2x1，∴xx9x8x2x10，∴10x9x3x2x0，∴1010，∴x1，∵當(dāng)x1時(shí)，x9x8x2x1100，第9頁(yè)/共27頁(yè)∴當(dāng)x1時(shí)，x9x8x2x10，故答案為：1．x9.定義：對(duì)于函數(shù)yxx0，y隨x的增大而增大，且lg101，，xyyxy．若155ab，則ab的最大值為_(kāi)_______．24【答案】1【解析】【分析】本題考查了新定義，不等式的性質(zhì)，配方法求最值的計(jì)算，理解新定義運(yùn)算，掌握不等式的性質(zhì)，配方法求最值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到20b5a10b，abab，ab0，則0b4，22abbbbbbbb1021024210555522222，由此得到當(dāng)b2時(shí)，有最大值10，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：已知∴2ab20，15ab5，24∴20b5a10b，22∵xy，∴abab，ab0，510b0，∴2解得，b4，∴0b4，abbbbbbbb10210242105555∴22222，∵50，2∴當(dāng)b2時(shí)，有最大值10，∴l(xiāng)gablg101，第10頁(yè)/共27頁(yè)故答案為：1．3x，且過(guò)點(diǎn)3,10，若其與直線y3交于A、10.已知二次函數(shù)y2x2bxc圖象的對(duì)稱軸為直線4PQB兩點(diǎn)，與直線yx5交于P、Q兩點(diǎn)，則值為_(kāi)_______．2AB【答案】265【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再分別聯(lián)立拋物線與一次函數(shù)的解析式，解出A，B，P，Q的坐標(biāo)，然后再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出，的，最后代入PQ2AB求解即可．【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線∴b3，b3x224，∴二次函數(shù)為y2x3xc2又∵且過(guò)點(diǎn)3,10∴102233c，解得：c1，y2x23x1∴二次函數(shù)的解析式為：聯(lián)立y3，y2x23x1xy23或xy312解得：，1∴A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，3，,32∴AB15222聯(lián)立yx5y2x3x12第頁(yè)/共27頁(yè)解得：x13y63或x13y63，∴P．Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為13,63，13,63，22∴PQ1313636326，∴PQ26265225AB2，故答案為：265三、解答題：共5題，共76分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．12ab135（1）若23ab335，求2025a2b2b17；m2m1m4（2）先化簡(jiǎn)再求值：mm2m4m42，其中2sin30tan453tan30m．2【答案】（1）12）m2m，3【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組，分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值；（1）先根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，再代入求值即可；（2）先化簡(jiǎn)分式，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出m，再代入求值即可．1）解：12ab①3523ab②35，由①2②得解得：b5，15b1，把b5代入①得解得：a9，13a21，第12頁(yè)/共27頁(yè)a9方程組的解為：，b5a2b2b179258517812540171，220252025a2b2b1711；（2）解：原式mmmmm2(2)((2)m(m2)m(m2)m4(m2)(m2)m(m(m2)2

m(m2)m4m24m2mm2mm4m4m2mm4m2，m當(dāng)2sin30tan453tan3021133111m時(shí)，2223221223原式．1212.請(qǐng)按以下要求完成尺規(guī)作圖．（1）如圖1，菱形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，請(qǐng)作出一對(duì)以BD所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形，使交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，PBMPBN作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）如圖2，點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，請(qǐng)作出一條過(guò)點(diǎn)P的直線，交射線，射線BC于點(diǎn)M、N，且BMBN，聰明的你肯定有多種不同作法？請(qǐng)?jiān)谙聢D中完成兩種作法，并選擇其中一種證明：BMBN第13頁(yè)/共27頁(yè)【答案】（1）作圖見(jiàn)詳解（2）作圖見(jiàn)詳解【解析】1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法作圖即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法作圖即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，以點(diǎn)B為圓心，以大于12，小于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，∴，∵四邊形ABCD是菱形，∴CBD，且，∴PBMPBNSAS，∴點(diǎn)M,N即為所求點(diǎn)的位置；如圖所示，連接AP,CP并延長(zhǎng)，分別交BC,BA于點(diǎn)N,M，∵BABC,ABPCBP,BPBP，∴CBPSAS，∴APCP，BCP，又∵CPN，∴APMCPNASA，∴NP,CN，第14頁(yè)/共27頁(yè)∴，又∵BN,，∴PBMPBNSAS，∴點(diǎn)M,N即為所求點(diǎn)的位置；【小問(wèn)2詳解】解：方法一，如圖所示，連接BD,AC交于點(diǎn)O；連接OP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E；以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)F；連接，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)G；連接PG，并向兩邊延伸，交,BC于點(diǎn)M,N，∴BEBF,ABOCBO,BOBO，∴BFOSAS，∴，BEOBFO，∴PENGFM，又∵，∴OPGEPN，F(xiàn)GPE，∴MGFNPEASA，∴，∴，∴點(diǎn)M,N即為所求點(diǎn)的位置；方法二，如圖所示，第15頁(yè)/共27頁(yè)連接BD,，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫(huà)弧，交BC,BA于點(diǎn)E,F，連接；以點(diǎn)F為圓心，以為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)G；連接GP并向兩邊延時(shí)交,BC于點(diǎn)M,N，∴BEBPBGBF,PEFG，∴BFGSSS，∴EBPFBG，∵四邊形ABCD是菱形，∴CBD，∴，且BPBG，∴GPBD，即MNBD，∴BD是MN的垂直平分線，∴，∴點(diǎn)M,N即為所求點(diǎn)的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）的運(yùn)用，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．13.如圖，直角三角形中，以直角邊為直徑作圓交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DMAB于點(diǎn)M，E為的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，．第16頁(yè)/共27頁(yè)（1）求證：CFBF；（2）求tanDEF；（3）若2，求圓的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）22（3）【解析】1）根據(jù)題意可得DM∥BC，可證AEMAFB，ACF，得到EMAE，BFAFDEAE，由E為的中點(diǎn)，即DEEM，得到CFBF即可求解；CFAF（2）連接BD，設(shè)BFCFEFx，AB2R，可證明△∽△BCD，則222SAB4RRABDSBC4xx22BCD，而SSABDBCDADCD，由DM∥BC，得到AEAD，DEFAFB，EFCD則R2Rt中，由勾股定理得在x2R24Rxx22x，解得：Rx，那么由2tantan即可求解；

（3）連接，由直角三角形性質(zhì)得到CF2，則22422R，求出R22，即可求解面積．【小問(wèn)1詳解】證明：∵根據(jù)題意，ABC是直角三角形，90，以直角邊為直徑作圓，DMAB，∴DM∥BC，∴AEMAFB，ACF，∴EMAE，DEAE，BFAFCFAF∴EMDE，BFCF∵E為的中點(diǎn)，即DEEM，∴CFBF；【小問(wèn)2詳解】第17頁(yè)/共27頁(yè)解：連接BD，設(shè)BFCFEFx，AB2R∵為直徑，∴90，∵90，∴ABDCBDCBDC90，∴ABDC，∴△∽△BCD，∴222SAB4RRABDSBC4x2x2BCD，∵SSABDBCDADCD，∵DM∥BC，∴AEAD，DEFAFB，EFCD∴R2，x2∴R2，x∴在Rt中，由勾股定理得：AB2BF2AF2，∴2R2R4Rxx22x，R442R2x2x2R2，x2第18頁(yè)/共27頁(yè)2R2R4，x2解得：Rx，2∴AB2RtanDEFtanAFB22RBF2；【小問(wèn)3詳解】解：連接，∵CDB90，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴CF2，∴由上得：22422R，∴R22，2∴圓的面積為：22．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，難度較大，正確合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．14.已知四邊形ABCD，AB4，點(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，連接．（1）若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M在上，且ADMAPD．請(qǐng)判斷AM、、AC之間數(shù)量第19頁(yè)/共27頁(yè)關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若四邊形ABCD為菱形呢？B=60，其他條件與（1）同，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？并說(shuō)明理由；（3）若四邊形ABCD為正方形，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90于，此時(shí)的最小值為多少？AQ的最小值呢？并說(shuō)明理由．【答案】（1）AC22AM，理由見(jiàn)解析（2）不成立，理由見(jiàn)解析（3）最小值為22，AQ的最小值為45【解析】1）由勾股定理得AD2DC2AC2，則AC22AD2，證明△ADM∽△APD即可求證；（2）先證明為等邊三角形，則，那么同上可證明：AD2AMAP，即可得到AC2AMAP；（3）①在上截取，連接PU,CQ，過(guò)點(diǎn)D作DVCQ于點(diǎn)V，可證明△≌△PCQ，然后確定Q軌跡為射線CQ，那么當(dāng)CQ時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q由于點(diǎn)V重合，即最小值為，則DVDCsinDCQ22；②延長(zhǎng)BC，可得1245°，作D關(guān)于CQ的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在射線BC上，連接DQ,DA，則DQDQ，CDCD4，那么AQDQAQDQAD，故當(dāng)點(diǎn),D,Q三點(diǎn)共線時(shí)，AQ取得最小值，即為AD，再由勾股定理即可求ADAB2BD245．【小問(wèn)1詳解】解：AC22AMAP，理由如下：如圖：連接AC，第20頁(yè)/共27頁(yè)∵四邊形ABCD是正方形，∴ADCD,ADC90，∴AD2DC2AC2，∴AC22AD2，∵PAD，ADMAPD，∴△ADM∽△APD，∴ADAM，APAD∴AD2AM，∴AC22AM；【小問(wèn)2詳解】解：不成立，理由如下，連接AC∵四邊形ABCD是菱形，∴CD,B60，∴為等邊三角形，∴，同上可證明：AD2AM∴AC2AM；【小問(wèn)3詳解】解：①在上截取，連接PU,CQ，過(guò)點(diǎn)D作DVCQ于點(diǎn)V第21頁(yè)/共27頁(yè)∵四邊形ABCD是正方形，∴BBCD90,BABCCD4∴AUPC，由旋轉(zhuǎn)得：PQ,90，∴BAPAPBAPB90∴BAPQPC，∴△≌△PCQ，∴PCQAUP，∵B90,，∴BUP45，∴PCQ135，∴DCQ1359045，∴Q軌跡為射線CQ，∴當(dāng)CQ時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q由于點(diǎn)V重合，即最小值為，∴DVDCsinDCQ22，∴最小值為22；②延長(zhǎng)BC，∵，145，第22頁(yè)/共27頁(yè)∴245，作D關(guān)于CQ的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在射線BC上，連接DQ,DA，則DQDQ，CDCD4，∴AQDQAQDQAD，∴當(dāng)點(diǎn),D,Q三點(diǎn)共線時(shí)，AQ取得最小值，即為AD，∵BDBCCD8，∴ADAB2BD245，∴AQ的最小值為45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.已知拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A4，與x軸交點(diǎn)分別為點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C與y軸交點(diǎn)為D，一次函數(shù)y4k0與x軸所形成的夾角的正切值為4，方程4ax2bxc有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以MN為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)及該平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若將該拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到拋物線y，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)的直線與y交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)QQ關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，若PQO與△PQQ面積相等，求直線的解析式．【答案】（1）yx24；（2）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，平行四邊形ABNM的面積為16（3）y2x3或63yx22【解析】1）如圖，設(shè)一次函數(shù)y4k0與x軸交點(diǎn)為F，與y軸交點(diǎn)為E，利用正切的定義得第23頁(yè)/共27頁(yè)，求出14到，tan4，求出k的值，再根據(jù)方程4ax2bxc有兩4k個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用判別式得到關(guān)于a的方程求解即可；（2）存在，先求出B,C的坐標(biāo)，畫(huà)出示意圖，結(jié)合點(diǎn),N都在拋物線對(duì)稱軸上，得到AN為四邊形ABNC的對(duì)角線，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可；（3）先求出平移后的拋物線解析式，利用PQO與△PQQ面積相等，設(shè)P1,1,Q2,y2，過(guò)點(diǎn)D的直線為ymx3，聯(lián)立x，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出12，123，進(jìn)而23得到1xxx，再分m0和m0兩種情況討論，解方程即可．1212【小問(wèn)1詳解】解：將x0代入y4，則y4，∴一次函數(shù)y4k0圖象過(guò)點(diǎn)4，∵k0，∴一次函數(shù)y4k0圖象過(guò)一、二、三象限，如圖，設(shè)一次函數(shù)y4k0與x軸交點(diǎn)為F，與y軸交點(diǎn)為E，則F4，∴4，令y40，解得x4，k∴4E,0，則k4，k一次函數(shù)y4k0與x軸所形成的夾角的正切值為4，∴tan4，

第24頁(yè)/共27頁(yè)∴41，4kk4，一次函數(shù)的解析式