2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——數(shù)值微分與積分方法研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述有限差分法的基本思想，并給出用向前差分、向后差分和中心差分公式計算函數(shù)$f(x)$在點$x$處的一階導數(shù)的表達式。二、推導梯形求積公式和辛普森求積公式，并給出它們的截斷誤差（余項）表達式。三、已知函數(shù)$y=\sin(x)$，試用三點中心差分公式計算$y'(\frac{\pi}{6})$和$y'(\frac{\pi}{3})$，設步長$h=\frac{\pi}{12}$。要求計算結果保留四位小數(shù)。四、將區(qū)間$[a,b]$進行$n$等分，寫出復化梯形求積公式和復化辛普森求積公式，并給出它們的誤差估計式。五、如何利用復化梯形求積公式構造秦九韶算法（Richardson外推）來提高積分的精度？請給出推導過程，并應用于計算積分$\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx$的近似值，要求進行兩次外推。六、簡述高斯求積公式的基本思想，并推導二階和高階（任選一種）高斯-勒讓德求積公式。七、將區(qū)間$[-1,1]$進行分割，寫出用三點和五點高斯-勒讓德求積公式計算積分$\int_{-1}^{1}\frac{e^x}{1+x^2}dx$的表達式。八、比較復化梯形求積法、復化辛普森求積法和高斯求積法在計算同一積分時的精度和效率（從計算量和誤差估計角度）。假設所有方法均使用等距節(jié)點，且節(jié)點數(shù)量足夠多以保證精度。九、說明數(shù)值積分方法中，增加函數(shù)值采樣點數(shù)如何影響積分的精度？分析增加采樣點數(shù)可能導致的問題。十、考慮積分$\int_{0}^{1}\frac{\sin(x)}{x}dx$，由于被積函數(shù)在$x=0$處存在奇點，直接使用數(shù)值積分方法會遇到困難。請?zhí)岢鲋辽賰煞N處理此問題的方法，并簡述其原理。試卷答案一、有限差分法的基本思想是用函數(shù)在有限個點上的函數(shù)值（離散信息）的線性組合來近似表達函數(shù)的導數(shù)。向前差分公式為$[f(x+h)-f(x)]/h$，向后差分公式為$[f(x)-f(x-h)]/h$，中心差分公式為$[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)$。二、梯形求積公式推導：根據(jù)插值求積原理，用線性插值函數(shù)近似原函數(shù)，積分得$(b-a)f(\xi)/2$，余項為$-(b-a)^3f''(\eta)/12$。辛普森求積公式推導：用二次插值函數(shù)（拋物線）近似原函數(shù)，積分得$(b-a)h^3[15f(x_0)+16f(x_1)+...+f(x_n)]/12$，余項為$-(b-a)^5f^{(4)}(\xi)/2880$（$h=(b-a)/n$）。三、$y'(\frac{\pi}{6})\approx[sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12})-sin(\frac{\pi}{6})]/(\frac{\pi}{12})=[\sin(\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}]/(\frac{\pi}{12})\approx(0.7071-0.5)/0.2618\approx0.8966$。$y'(\frac{\pi}{3})\approx[sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{12})-sin(\frac{\pi}{3})]/(\frac{\pi}{12})=[\sin(\frac{5\pi}{12})-\frac{\sqrt{3}}{2}]/(\frac{\pi}{12})\approx(0.9659-0.8660)/0.2618\approx0.8966$。四、復化梯形公式：$\int_{a}^f(x)dx\approx\frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+...+2f(x_{n-1})+f(x_n)]$，$h=(b-a)/n$，誤差估計$\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}max|f''(\xi)|$。復化辛普森公式：$\int_{a}^f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)]$，$h=(b-a)/n$（$n$為偶數(shù)），誤差估計$\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}max|f^{(4)}(\xi)|$。五、秦九韶算法是利用梯形公式的誤差與步長$h$的平方成正比的關系，構造加速公式。設$T_h$為步長為$h$時的梯形值，$T_{2h}$為步長為$h/2$時的梯形值，則加速公式為$T_{\text{加速}}=\frac{4T_{2h}-T_h}{3}$。對$\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx$，$T_{1}=0.7165$，$T_{0.5}=0.7317$，$T_{\text{加速}}=(4*0.7317-0.7165)/3\approx0.7468$。再進行一次外推（$h=0.25$），$T_{0.25}=0.7441$，$T_{\text{加速2}}=(4*0.7441-0.7317)/3\approx0.7468$。六、高斯求積公式思想：選擇恰當?shù)墓?jié)點（高斯點）和權重，使得求積公式具有最高的代數(shù)精度。二階高斯-勒讓德求積公式：$\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac{1}{2}[f(-\sqrt{1/3})+f(\sqrt{1/3})]$。推導基于用$x=(z+1)/2$變換將區(qū)間$[-1,1]$映射到$[-1,1]$，并選擇使二次多項式積分為零的節(jié)點$z=\pm\sqrt{1/3}$，計算相應的權重$w=1$。七、三點高斯-勒讓德求積公式節(jié)點為$\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$，權重均為$1$。積分變換$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{0}^{1}f(\frac{1-t^2}{2})dt$。表達式為$\frac{2}{\sqrt{3}}[(\frac{e^{(1-(1/3)^2)/2}}{1+(1/3)^2}+\frac{e^{(1-(1/3)^2)/2}}{1+(1/3)^2}+\frac{e^{(1-(1/3)^2)/2}}{1+(1/3)^2})]=\frac{2\sqrt{3}}{3}e^{2/3}$。五點公式節(jié)點為$\pm\sqrt{5/9},0$，權重分別為$5/9,8/9$。表達式為$\frac{5}{9}(\frac{e^{\frac{1-(5/9)^2}{2}}}{1+(\frac{5}{9})^2}+\frac{e^{\frac{1-(5/9)^2}{2}}}{1+(\frac{5}{9})^2})+\frac{8}{9}(\frac{e^{1}}{1+0^2})$。八、精度：高斯求積法在節(jié)點數(shù)相同時，通常具有最高的代數(shù)精度，優(yōu)于復化辛普森，而復化辛普森優(yōu)于復化梯形。效率：復化梯形和辛普森公式計算量主要取決于節(jié)點數(shù)$n$，高斯求積法節(jié)點數(shù)固定。對于高精度要求，高斯法可能更高效（節(jié)點數(shù)少）。對于需要大量計算或精度要求不是極高的情況，復化公式可能更方便。具體效率還需比較每步計算復雜度。九、增加函數(shù)值采樣點數(shù)（對于非自適應方法）可以減少截斷誤差，理論上可以提高積分精度。但可能導致計算量顯著增加。同時，如果采樣點增加過快，舍入誤差的累積也可能變得嚴重，反而影響結果的精度。此外，如果函數(shù)在積分區(qū)間內變化劇烈，固定增加采樣點可能不是最高效的方式。十、方法一：換元法。令$u=x^2$，則積分變?yōu)?\int_{0}^{1}\frac{e^{\sqrt{u}}}{1+u}du$。對于新的積分，可以在其定義域內使用標準的數(shù)值積分方法（如高斯求積）。此方法的原理是通過變量代換將奇點移出積分區(qū)間。方法二：數(shù)值延拓。構造一個函數(shù)$\tilde{f}(x)$，它在$x=