高等數(shù)學C期中考試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{1-x^2}\)的定義域是（）A.\((-1,1)\)B.\([-1,1]\)C.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導數(shù)為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)等于（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)5.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)6.函數(shù)\(y=\lnx\)的導數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(-\frac{1}{x}\)C.\(\lnx\)D.\(x\)7.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x+1\)C.\(y=-2x+3\)D.\(y=x-1\)8.當\(x\to0\)時，\(x^2\)是比\(x\)（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小9.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10.設\(f(x)\)為可導函數(shù)，則\((f(2x))^\prime\)等于（）A.\(f^\prime(2x)\)B.\(2f^\prime(2x)\)C.\(f^\prime(x)\)D.\(2f^\prime(x)\)答案：1.B2.B3.C4.A5.A6.A7.A8.A9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.以下極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\sinx\)C.\(\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導的等價條件有（）A.函數(shù)在該點連續(xù)B.左導數(shù)等于右導數(shù)C.函數(shù)在該點的切線存在D.函數(shù)在該點的極限存在4.下列積分正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.曲線\(y=x^3-3x\)的駐點有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)6.下列函數(shù)中，在其定義域內單調遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)（\(x>0\)）D.\(y=-x^2\)7.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內可導C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)為多項式函數(shù)8.下列說法正確的有（）A.若\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)單調遞增B.若\(f(x)\)有極值點，則\(f^\prime(x)=0\)C.函數(shù)的最值一定在端點或極值點處取得D.曲線\(y=f(x)\)的拐點處\(f^{\prime\prime}(x)=0\)9.下列無窮小量中，當\(x\to0\)時，與\(x\)等價的有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)10.設\(f(x)\)可導，\(F(x)=f(x^2)\)，則\(F^\prime(x)\)等于（）A.\(f^\prime(x^2)\)B.\(2xf^\prime(x^2)\)C.\(f^\prime(x)\cdot2x\)D.\(2f^\prime(x^2)\)答案：1.AB2.BCD3.BC4.ABCD5.AC6.ABC7.ABC8.ACD9.ABCD10.B三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是\(x\neq1\)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在點\(x=0\)處的導數(shù)為0。（）4.若\(f(x)\)是可導函數(shù)，則\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)。（）5.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）6.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在點\(x_0\)處一定可導。（）7.曲線\(y=x^3\)的單調遞增區(qū)間是\((-\infty,+\infty)\)。（）8.函數(shù)\(y=x^3-3x\)有兩個極值點。（）9.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量\(x\)的選取無關。（）10.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^4-2x^2+5\)的導數(shù)。答案：根據(jù)求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=4x^3-4x\)。2.計算\(\int(3x^2+\frac{1}{x})dx\)。答案：根據(jù)積分公式，\(\int(3x^2+\frac{1}{x})dx=3\intx^2dx+\int\frac{1}{x}dx=x^3+\ln|x|+C\)。3.求極限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對分子因式分解，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。4.簡述函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處取得極值的必要條件。答案：若函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導且取得極值，則\(f^\prime(x_0)=0\)。但\(f^\prime(x_0)=0\)時，\(x_0\)不一定是極值點。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調性與極值。答案：求導得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，函數(shù)遞增；令\(y^\prime<0\)，得\(-1<x<1\)，函數(shù)遞減。\(x=-1\)取極大值\(2\)，\(x=1\)取極小值\(-2\)。2.說明不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分可通過牛頓-萊布尼茨公式用不定積分計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關，積分變量選取無關。3.舉例說明函數(shù)連續(xù)與可導的關系。答案：函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但不可導。因為\(\lim\limi