2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——異常檢測與趨勢分析技術探討考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的代表字母填在題干后的括號內。）1.在統(tǒng)計學中，下列哪項不是異常值（離群點）的常見定義或度量方式？A.標準化分數(shù)（Z-score）絕對值大于某個閾值（如3）B.基于四分位距（IQR）的規(guī)則：小于Q1-1.5*IQR或大于Q3+1.5*IQR的值C.距離某個中心點（如均值或中位數(shù)）距離過遠的點D.在聚類分析中，與所屬簇中心距離極遠的點2.對于一個平穩(wěn)的時間序列，其關鍵特征是：A.均值和方差隨時間變化B.均值和方差都是常數(shù)，且自協(xié)方差僅依賴于時間間隔而與時間點無關C.序列數(shù)據呈明顯的線性趨勢D.存在顯著的季節(jié)性波動3.在使用ARIMA模型進行時間序列預測時，參數(shù)p,d,q分別代表什么？A.p：趨勢系數(shù)，d：差分次數(shù)，q：季節(jié)周期B.p：自回歸項階數(shù)，d：差分次數(shù)，q：移動平均項階數(shù)C.p：季節(jié)性系數(shù)，d：趨勢斜率，q：方差系數(shù)D.p：數(shù)據點個數(shù)，d：數(shù)據序列長度，q：置信水平4.以下哪種方法通常不屬于基于密度的異常檢測算法？A.孤立森林（IsolationForest）B.基于密度的空間聚類（DBSCAN）C.局部異常因子（LOF）D.簡單的統(tǒng)計閾值法（如Z-score）5.時間序列分解中，乘法模型（MultiplicativeModel）適用于以下哪種情況？A.趨勢變化、季節(jié)性變化和隨機波動相互獨立B.季節(jié)性影響的大小隨趨勢值的增加而增加C.季節(jié)性影響的大小相對穩(wěn)定D.隨機波動項呈現(xiàn)周期性變化二、簡答題（每小題5分，共20分。）6.簡述使用Z-score方法進行異常檢測的基本思想和步驟。7.解釋什么是時間序列的平穩(wěn)性？為什么大多數(shù)時間序列模型（如ARIMA）要求輸入數(shù)據是平穩(wěn)的？8.列舉兩種不同的異常檢測方法，并簡要說明它們的核心思想及其適用于處理何種類型的數(shù)據異常。9.在進行趨勢分析時，如何區(qū)分線性趨勢和非線性趨勢？簡單說明判斷的常用方法。三、計算題（每小題7分，共21分。）10.假設一組樣本數(shù)據為：[10,12,15,14,13,16,18,20,25,30]。計算該數(shù)據集的均值、標準差，并根據Z-score方法，判斷數(shù)據點20是否為異常值（設異常值閾值為2.5）。11.給定一個非平穩(wěn)時間序列數(shù)據，經過一次差分后得到的新序列如下：[2,3,2,4,3,5]。請估計該時間序列的均值和方差（即差分前序列的均值和方差，假設差分前后方差不變）。12.簡要說明使用最小二乘法擬合一條線性趨勢線（y=a+bx）的基本步驟。已知兩組數(shù)據點的坐標分別為(1,2)和(3,8)，求該線性趨勢線的方程。四、分析題（共29分。）13.（12分）在實際業(yè)務中，例如銀行可能需要檢測信用卡交易中的異常交易以預防欺詐，同時銀行也關心信用卡用戶的消費趨勢以便進行精準營銷。請?zhí)接懸幌?，異常檢測技術和趨勢分析技術在處理銀行信用卡數(shù)據時，各自扮演的角色是什么？它們之間是否存在聯(lián)系或可以結合使用？簡述你的看法。14.（17分）假設你是一名數(shù)據分析師，需要分析某城市過去10年（2014-2023）的夏季（7月、8月）平均氣溫數(shù)據，目的是了解該城市夏季氣溫的變化趨勢。請闡述你會如何進行這項分析？具體需要考慮哪些步驟？包括數(shù)據預處理、趨勢模型的選擇、模型的擬合與評估，以及最后如何解釋分析結果，特別是關于氣溫趨勢的結論。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.B4.A5.B二、簡答題6.解析思路：首先說明Z-score衡量數(shù)據點距離均值的標準差數(shù)。步驟一：計算樣本均值。步驟二：計算樣本標準差。步驟三：對每個數(shù)據點x，計算其Z-score=(x-均值)/標準差。步驟四：設定閾值（通常為2或3），絕對值大于閾值的Z-score對應的點被視為異常值。7.解析思路：首先定義平穩(wěn)性：時間序列的統(tǒng)計特性（均值、方差、自協(xié)方差）不隨時間變化。然后解釋為何需要平穩(wěn)性：大多數(shù)統(tǒng)計模型（包括ARIMA）基于線性回歸或假設誤差項是平穩(wěn)的（具有零均值、恒定方差和零自相關）。非平穩(wěn)數(shù)據直接建模會產生偏差和不穩(wěn)定的預測，因此通常需要通過差分等方式使其平穩(wěn)化。8.解析思路：列舉兩種方法，如基于密度的方法（DBSCAN）和基于統(tǒng)計分布的方法（3-Sigma法則）。對DBSCAN：核心思想是識別密度足夠的區(qū)域并將鄰近的點歸為同一個簇，離群點位于低密度區(qū)域。適用于發(fā)現(xiàn)任意形狀的簇和噪聲點。對3-Sigma法則：核心思想是認為大部分數(shù)據點落在均值加減3個標準差范圍內，超出此范圍的可能為異常值。適用于數(shù)據大致服從正態(tài)分布的情況。9.解析思路：區(qū)分方法：繪制數(shù)據點隨時間變化的圖形，觀察趨勢形態(tài)。線性趨勢：圖形呈現(xiàn)近似直線的上升或下降。非線性趨勢：圖形呈現(xiàn)曲線形態(tài)（如指數(shù)、對數(shù)、多項式等）。常用方法：線性回歸擬合，觀察擬合優(yōu)度（R方值）；計算斜率，若斜率變化劇烈或圖形明顯彎曲則可能為非線性。三、計算題10.解析思路：計算均值(10+12+...+30)/10=17。計算方差[(10-17)2+(12-17)2+...+(30-17)2]/10=62.6，標準差sqrt(62.6)≈7.91。計算20的Z-score=(20-17)/7.91≈0.50。比較Z-score(0.50)與閾值(2.5)，因0.50<2.5，故20不是異常值。11.解析思路：根據差分定義，新序列值=原序列相鄰點差值。設原序列均值為μ，方差為σ2。差分序列均值Δμ=E(X_t+1-X_t)=E(X_t+1)-E(X_t)=μ-μ=0。差分序列方差Δσ2=Var(X_t+1-X_t)=Var(X_t+1)+Var(X_t)-2Cov(X_t+1,X_t)=σ2+σ2-2Cov(X_t,X_t+1)。若假設原序列各點獨立（Cov(X_t,X_t+1)=0），則Δσ2=2σ2。根據題目，差分序列方差為1，則原序列方差σ2=1/2=0.5。原序列均值μ=差分序列均值+前一個原序列值=0+第一個原序列值。第一個原序列值=(第一個差分值+第二個差分值)/2=(2+3)/2=2.5。所以原序列均值μ=2.5。即原序列均值為2.5，方差為0.5。12.解析思路：步驟一：計算x均值(1+3)/2=2，y均值(2+8)/2=5。步驟二：計算x與均值的偏差乘以y與均值的偏差之和：(1-2)*(2-5)+(3-2)*(8-5)=(-1)*(-3)+(1)*(3)=3+3=6。步驟三：計算x與均值偏差的平方和：(1-2)2+(3-2)2=1+1=2。步驟四：計算斜率b=偏差乘積和/偏差平方和=6/2=3。步驟五：計算截距a=y均值-b*x均值=5-3*2=5-6=-1。線性趨勢線方程為y=-1+3x。四、分析題13.解析思路：角色分析：異常檢測用于識別欺詐交易，這些是偏離正常模式的“異常點”，目的是過濾風險。趨勢分析用于理解消費模式隨時間的變化（如增長、下降、季節(jié)性），目的是發(fā)現(xiàn)用戶行為規(guī)律。聯(lián)系與結合：兩者可結合，例如通過趨勢分析確定“正常”消費范圍，再利用異常檢測識別出偏離此范圍的個體交易或用戶行為模式。探討：結合使用可以更全面地理解數(shù)據，例如發(fā)現(xiàn)某種看似正常的趨勢變化中是否隱藏著異常增長或驟降，或者某些異常行為是否形成了新的消費趨勢。觀點應強調結合能提供更豐富的洞察，但也要注意方法選擇和業(yè)務背景的匹配。14.解析思路：分析步驟：步驟一：數(shù)據收集與預處理。獲取2014-2023年7月、8月每月平均氣溫數(shù)據，確保數(shù)據完整準確。處理缺失值（如插補）。可能需要將兩個月的氣溫數(shù)據合并或分別分析。步驟二：探索性數(shù)據分析。繪制時間序列圖，直觀觀察氣溫隨時間的變化趨勢、是否存在明顯的上升/下降趨勢、季節(jié)性波動模式。計算描述性統(tǒng)計量（如均值、標準差）。步驟三：趨勢檢驗與模型選擇。判斷數(shù)據是否平穩(wěn)，若不平穩(wěn)進行差分處理。選擇合適的趨勢模型，如線性趨勢模型（使用線性回歸）、非線性趨勢模型（如指數(shù)模型、多項式模型）或時間序列模型（如ARIMA，需先處理非平穩(wěn)性）。步驟四：模型擬合與評估。使用最小二乘法或