2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——核心數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$是三維空間中質(zhì)點(diǎn)的位置向量，其速度為$\mathbf{v}(t)=\dot{x}(t)\mathbf{i}+\dot{y}(t)\mathbf{j}+\dot{z}(t)\mathbf{k}$，加速度為$\mathbf{a}(t)=\ddot{x}(t)\mathbf{i}+\ddot{y}(t)\mathbf{j}+\ddot{z}(t)\mathbf{k}$。其中$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$是單位正交基。請(qǐng)證明：對(duì)于做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其速度$\mathbf{v}$和加速度$\mathbf{a}$的向量積$\mathbf{v}\times\mathbf{a}$垂直于速度向量$\mathbf{v}$。二、考慮一維無阻尼簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為$m\ddot{x}+kx=0$。設(shè)$x(t)$為系統(tǒng)在時(shí)刻$t$的位移。請(qǐng)推導(dǎo)該系統(tǒng)的能量守恒定律，并用微分方程的形式表達(dá)之。定義系統(tǒng)的動(dòng)能$T$和勢(shì)能$V$，并給出它們的表達(dá)式。三、在靜電場(chǎng)中，高斯定律的微分形式為$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0$。請(qǐng)解釋該公式的物理意義。設(shè)有一無限長(zhǎng)直均勻帶電圓柱體，電荷密度為$\rho$，半徑為$R$。請(qǐng)利用高斯定律的微分形式，推導(dǎo)圓柱體內(nèi)（$r<R$）和圓柱體外（$r>R$）的電場(chǎng)強(qiáng)度$\mathbf{E}$的表達(dá)式。注意說明推導(dǎo)過程中對(duì)高斯面選擇的依據(jù)。四、一維定態(tài)薛定諤方程為$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$。其中$\psi(x)$是波函數(shù)，$E$是能量，$V(x)$是勢(shì)能，$m$是粒子質(zhì)量，$\hbar$是約化普朗克常數(shù)?？紤]一個(gè)在無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，其勢(shì)能表達(dá)式為：$$V(x)=\begin{cases}0&0\lex\lea\\\infty&x<0\text{or}x>a\end{cases}$$請(qǐng)寫出在$0\lex\lea$區(qū)域內(nèi)，該粒子的定態(tài)薛定諤方程。并說明其邊界條件的物理意義。五、熱力學(xué)第二定律的開爾文表述為：不可能從單一熱源吸熱，使之完全變?yōu)楣?，而不產(chǎn)生其他影響。請(qǐng)結(jié)合熱機(jī)的工作原理，解釋這句話的含義。定義熱機(jī)效率$\eta$，并說明在理想可逆熱機(jī)中，效率與高溫?zé)嵩?T_H$和低溫冷源$T_C$的溫度有何關(guān)系？推導(dǎo)這一關(guān)系式。六、考慮一個(gè)由三個(gè)物體組成的系統(tǒng)，物體質(zhì)量分別為$m_1,m_2,m_3$，它們通過無質(zhì)量的剛性桿連接，可在二維平面內(nèi)繞一個(gè)固定點(diǎn)$O$自由轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)角速度為$\omega$。請(qǐng)計(jì)算該系統(tǒng)關(guān)于點(diǎn)$O$的總角動(dòng)量$\mathbf{L}$。若系統(tǒng)受到一個(gè)外力矩$\mathbf{M}_{ext}$的作用，請(qǐng)寫出描述該系統(tǒng)角動(dòng)量變化的微分方程，并解釋其物理意義。七、描述理想氣體分子運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋速度分布律給出了在溫度為$T$的平衡態(tài)下，速度在$\mathbf{v}$附近體積元$d^3v$內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例。請(qǐng)寫出該分布律的表達(dá)式。并說明如何從麥克斯韋速度分布律推導(dǎo)出理想氣體的平均平動(dòng)動(dòng)能$\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$，其中$k$是玻爾茲曼常數(shù)。試卷答案一、證明：$\mathbf{v}\times\mathbf{a}=(\dot{x}\mathbf{i}+\dot{y}\mathbf{j}+\dot{z}\mathbf{k})\times(\ddot{x}\mathbf{i}+\ddot{y}\mathbf{j}+\ddot{z}\mathbf{k})$$=\dot{x}\ddot{y}\mathbf{k}-\dot{x}\ddot{z}\mathbf{j}-\dot{y}\ddot{x}\mathbf{k}+\dot{y}\ddot{z}\mathbf{i}+\dot{z}\ddot{x}\mathbf{j}-\dot{z}\ddot{y}\mathbf{i}$$=(\dot{y}\ddot{z}-\dot{z}\ddot{y})\mathbf{i}+(\dot{z}\ddot{x}-\dot{x}\ddot{z})\mathbf{j}+(\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x})\mathbf{k}$由于$\ddot{y}=\frac{d\dot{y}}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}$，$\ddot{z}=\frac{d\dot{z}}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}$，故$\dot{y}\ddot{z}-\dot{z}\ddot{y}=\dot{y}\frac{d^2z}{dt^2}-\dot{z}\frac{d^2y}{dt^2}=0$。同理，$\dot{z}\ddot{x}-\dot{x}\ddot{z}=0$，$\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}=0$。因此，$\mathbf{v}\times\mathbf{a}=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k}=\mathbf{0}$。即$\mathbf{v}\times\mathbf{a}$垂直于速度向量$\mathbf{v}$。二、推導(dǎo)：系統(tǒng)的總能量$E=T+V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$。對(duì)時(shí)間$t$求導(dǎo)：$\frac{dE}{dt}=\fracoycwsqc{dt}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2\right)+\fracymawusg{dt}\left(\frac{1}{2}kx^2\right)$$=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}$$=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)$根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程$m\ddot{x}+kx=0$，代入上式得：$\frac{dE}{dt}=\dot{x}\cdot0=0$所以，總能量$E$保持不變，即$E=\text{常數(shù)}$。動(dòng)能$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$。勢(shì)能$V=\frac{1}{2}kx^2$。三、解釋：高斯定律的微分形式$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0$的物理意義是：空間中某點(diǎn)的電場(chǎng)發(fā)散率（即電場(chǎng)線從此點(diǎn)出發(fā)的密度）正比于該點(diǎn)處的電荷密度。具體來說，正電荷是電場(chǎng)線的源頭，負(fù)電荷是電場(chǎng)線的匯點(diǎn)。它描述了電荷分布如何產(chǎn)生電場(chǎng)。推導(dǎo)：（1）選擇一個(gè)以點(diǎn)電荷為中心，半徑為$r$的球面作為高斯面。（2）根據(jù)球?qū)ΨQ性，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度$\mathbf{E}$的大小$E$相同，方向沿徑向outward。（3）計(jì)算電通量$\Phi_E=\oint\mathbf{E}\cdotd\mathbf{A}=E\ointdA=E\cdot4\pir^2$。（4）根據(jù)高斯定律的積分形式$\Phi_E=\frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$，有$E\cdot4\pir^2=\frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$。（5）對(duì)于$r>R$的區(qū)域，高斯面內(nèi)的電荷量$q_{enc}=\rho\cdot\piR^2\cdotL$（如果考慮長(zhǎng)度為$L$的圓柱體，則比例關(guān)系為$\frac{\rho\piR^2L}{\piR^2L}=\rho$，即面電荷密度等于體電荷密度），但更直接地，由積分形式直接得$E=\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0r^2}$，方向沿徑向outward。（6）對(duì)于$r<R$的區(qū)域，高斯面內(nèi)的電荷量$q_{enc}=\rho\cdot\pir^2\cdotL$。代入積分形式得$E\cdot4\pir^2=\frac{\rho\pir^2L}{\epsilon_0}$。計(jì)算得$E=\frac{\rhorL}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{\rhoL}{4\pi\epsilon_0r}$，方向沿徑向outward。（注意：這里假設(shè)$L$很長(zhǎng)，使得$L$的影響可以忽略，或者題目意圖是考察場(chǎng)強(qiáng)與距離的關(guān)系，此時(shí)可視為$\frac{\rho}{4\pi\epsilon_0r^2}$形式，但需明確是假設(shè)）。四、寫出：在$0\lex\lea$區(qū)域，$V(x)=0$，薛定諤方程為$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x)$。邊界條件：由于勢(shì)阱壁無限高（$V(x=a)=V(x=0)=\infty$），波函數(shù)$\psi(x)$在邊界處必須為零，即$\psi(0)=0$和$\psi(a)=0$。這體現(xiàn)了粒子不能穿透無限高勢(shì)阱壁。五、解釋：開爾文表述意味著不可能設(shè)計(jì)一個(gè)熱機(jī)，它只從單一熱源吸收熱量，并將這些熱量完全轉(zhuǎn)化為有用功，而不產(chǎn)生任何其他影響（例如向低溫?zé)嵩磁欧挪糠譄崃浚?。熱機(jī)必須工作在兩個(gè)溫度不同的熱源之間，才能持續(xù)地將熱能轉(zhuǎn)化為功。定義與關(guān)系：熱機(jī)效率$\eta=\frac{W}{Q_H}$，其中$W$是對(duì)外做的功，$Q_H$是從高溫?zé)嵩次盏臒崃?。根?jù)熱力學(xué)第二定律，一個(gè)可逆熱機(jī)在循環(huán)過程中，$\frac{W}{Q_H}=\frac{Q_H-Q_C}{Q_H}=1-\frac{Q_C}{Q_H}$，其中$Q_C$是向低溫?zé)嵩磁欧诺臒崃俊?duì)于可逆循環(huán)，卡諾效率$\eta_{Carnot}=1-\frac{T_C}{T_H}$，其中$T_H$和$T_C$分別是高溫?zé)嵩春偷蜏乩湓吹臒崃W(xué)溫度（開爾文）。推導(dǎo)：由可逆循環(huán)的性質(zhì)和熵增原理可知，對(duì)于可逆過程，$\frac{dQ_H}{T_H}+\frac{dQ_C}{T_C}=0$。對(duì)整個(gè)循環(huán)積分，$\oint\frac{dQ}{T}=0$。對(duì)于卡諾循環(huán)，$\frac{W}{Q_H}=1-\frac{Q_C}{Q_H}=1-\frac{T_C}{T_H}$。六、計(jì)算：總角動(dòng)量$L=\summ_ir_i^2\omega$，其中$r_i$是第$i$個(gè)物體到轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)$O$）的垂直距離。對(duì)于連接在剛性桿上的物體，$r_i$是該物體質(zhì)心到點(diǎn)$O$的距離。$L=m_1r_1^2\omega+m_2r_2^2\omega+m_3r_3^2\omega$。微分方程：根據(jù)牛頓第二定律的旋轉(zhuǎn)形式，$M_{net}=\frac{dL}{dt}$。在此系統(tǒng)中，$M_{net}=M_{ext}$（無其他外力矩）。所以$\fracmmimios{dt}(m_1r_1^2\omega+m_2r_2^2\omega+m_3r_3^2\omega)=M_{ext}$。由于$\omega$是角速度，通常視為常量（除非題目說明在力矩作用下加速），則$\frac{dL}{dt}=M_{ext}$。物理意義：該方程表示系統(tǒng)總角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力矩。它描述了力矩如何改變一個(gè)繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體的角動(dòng)量。七、寫出：麥克斯韋速度分布律（速度空間）為$f(\mathbf{v})=\left(\frac{m}{2\pikT}\right)^{3/2}e^{-m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)/(2kT)}d\mathbf{v}$。其中$f(\mathbf{v})d\mathbf{v}$是在速度$\mathbf{v}$附近速度區(qū)間$d\mathbf{v}$內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例，$m$是分子質(zhì)量，$T$是溫度，$k$是玻爾茲曼常數(shù)。推導(dǎo)：平均平動(dòng)動(dòng)能$\overline{E_k}=\frac{\intE_kf(\mathbf{v})d\mathbf{v}}{\intf(\mathbf{v})d\mathbf{v}}$?？偡肿訑?shù)$\intf(\mathbf{v})d\mathbf{v}=N$。$E_k=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$。$\overline{E_k}=\frac{\int\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)\left(\frac{m}{2\pikT}\right)^{3/2}e^{-m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)/(2kT)}d\dot{x}d\dot{y}d\dot{z}}{\int\left(\frac{m}{2\pikT}\right)^{3/2}e^{-m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)/(2kT)}d\dot{x}d\dot{y}d\dot{z}}$。分子數(shù)積分$\intf(\mathbf{v})d\mathbf{v}=N=\left(\frac{m}{2\pikT}\right)^{3/2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-m\dot{x}^2/(2kT)}d\dot{x}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-m\dot{y}^2/(2kT)}d\dot{y}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-m\dot{z}^2/(2kT)}d\dot{z}=V\left(\