重慶市九龍坡區(qū)2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.43．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.34．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.5．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.6．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或8．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.89．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.710．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.11．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.12．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓的左右焦點為，，以為圓心的圓過原點，且與橢圓在第一象限交于點，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.14．已知拋物線方程為，則其焦點坐標(biāo)為__________15．定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.16．半徑為的球的表面積為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的定義域為集合A（1）求m的值；（2）當(dāng)時，的值域為集合B，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項和.19．（12分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個信號源相距米，是的中點，過點的直線與直線的夾角為，機器貓在直線上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時刻時，測得機器鼠距離點為米.（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標(biāo)；（2）游戲設(shè)定：機器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風(fēng)險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險？20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.21．（12分）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標(biāo)22．（10分）為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市征召若干名宣傳志愿者，成立環(huán)境保護宣傳小組，現(xiàn)把該小組的成員按年齡分成、、、、這組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知年齡在內(nèi)的人數(shù)為.（1）若用分層抽樣的方法從年齡在、、內(nèi)的志愿者中抽取名參加某社區(qū)的宣傳活動，再從這名志愿者中隨機抽取名志愿者做環(huán)境保護知識宣講，求這名環(huán)境保護知識宣講志愿者中至少有名年齡在內(nèi)的概率；（2）在（1）的條件下，記抽取的名志愿者分別為甲、乙，該社區(qū)為了感謝甲、乙作為環(huán)境保護知識宣講的志愿者，給甲、乙各隨機派發(fā)價值元、元、元的紀(jì)念品一件，求甲的紀(jì)念品不比乙的紀(jì)念品價值高的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.2、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題3、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.4、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C5、A【解析】先由列舉法計算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數(shù)，基本事件個數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C8、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B9、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：B10、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.11、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.12、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.14、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷拋物線的焦點坐標(biāo)為，從而解得答案.【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，故答案為：.15、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時，顯然不成立，故，此時，設(shè)曲線任意一點，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：216、.【解析】由球的表面積公式計算【詳解】由題意.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求解；（2）利用根式函數(shù)的定義域和值域求得集合A，B，再由是A的真子集求解.【小問1詳解】解：因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得.【小問2詳解】由，得，解得，所以，當(dāng)時的值域為，所以，因為是成立的充分不必要條件，所以是A的真子集，，解得.18、(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)將給定等式變形，計算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項而得解；(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項，然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項和.19、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設(shè)機器鼠位置為點，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點坐標(biāo).（2）轉(zhuǎn)化機器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設(shè)機器鼠位置為點，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時刻時，，即，可得機器鼠所在位置的坐標(biāo)為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點即為雙曲線右支上距離最近的點，此時與的距離為，即機器鼠距離最小的距離為，則機器鼠保持目前運動軌跡不變，沒有“被抓”的風(fēng)險.20、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因為，.所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的垂線的交點為原點；2、設(shè)：設(shè)所需點的坐標(biāo)，并得出所需向量的坐標(biāo)；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、?。焊鶕?jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.21、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點和弦長列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則22、（1）；（2）.【解析】（1）將名志愿者進行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列舉出甲、乙獲得紀(jì)念品價值的所有情況，并確定所求事件所包含的情況，利用古典概型的概率公式可求得