浙江省金華市金華第一中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A B.C. D.62．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.123．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當x增大時，θ先增大后減小 B.當x增大時，θ先減小后增大C.當d增大時，θ先增大后減小 D.當d增大時，θ先減小后增大6．已知數(shù)列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.647．設(shè)各項均為正項的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項和為，則（）A. B.C.5 D.68．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.9．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.210．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.11．已知拋物線上的一點，則點M到拋物線焦點F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.212．已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準線上一點，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線間的距離為___________.14．橢圓的左焦點為，M為橢圓上的一點，N是的中點，O為原點，若，則______15．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇16．已知曲線與曲線有相同的切線，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內(nèi)是否存在定點Q，使得是一個確定的常數(shù)？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由18．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，直線BC與平面PCD所成角的正弦值為.（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集.20．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對應(yīng)的邊長,且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）某公司有員工人，對他們進行年齡和學歷情況調(diào)查，其結(jié)果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機抽取一人，設(shè)“抽取的人具有本科學歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.2、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設(shè)，，由得則，化簡得所以故選：D3、D【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.4、D【解析】將方程化為標準式即可.【詳解】方程化為標準式得，則.故選：D.5、C【解析】以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設(shè)，則對于給定的，為定值，此時設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.6、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運算，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項公式，進而求出【詳解】等價于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故故選：D8、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設(shè)為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.9、D【解析】由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點為M，過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.10、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因為，所以，所以.故選：C11、B【解析】將點代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點代入拋物線方程可得，解得則故選：B12、C【解析】設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，因為直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準線上一點，所以點P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.14、4【解析】根據(jù)三角形的中位線定理，結(jié)合橢圓的定義即可求得答案.【詳解】橢圓的左焦點為,如圖，設(shè)右焦點為,則，由N是的中點，O為得中點，,故,又，所以，故答案為：415、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式，構(gòu)造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.16、0【解析】設(shè)切點分別為，．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進而求得點坐標代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，定點【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點的坐標.小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時，即存在定點滿足條件當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點滿足條件.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接，證明，由線面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，先根據(jù)直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，求出，然后再求出平面PAB的法向量，利用向量的夾角公式可求得結(jié)果【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，【小問2詳解】過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，則，所以設(shè)因為平面，所以所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為直線BC與平面PCD所成角的正弦值為，所以，解得，所以，，設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，則，所以，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為19、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）首先利用裂項求和得到，從而得到，再解不等式即可.【小問1詳解】令，則，當時，，當時，也符合上式，即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，則，所以故可化為：，故，故不等式的解集為.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得21、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項和公差，即可得出通項公式