2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的交叉研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f'(x)>0$。若$f(x_1)<f(x_2)$，其中$x_1,x_2\in(a,b)$，且$x_1<x_2$，證明：$x_1<\frac{x_1+x_2}{2}<x_2$。二、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(q)=10q+0.01q^2$（單位：元），其中$q$為產(chǎn)量（單位：件）。若市場(chǎng)價(jià)格$p$與產(chǎn)量$q$的關(guān)系為$p=20-0.01q$，求該公司生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。三、設(shè)向量$\mathbf{a}=(1,2,-1),\mathbf=(2,-1,t),\mathbf{c}=(1,1,1)$。若$\mathbf{a}\cdot\mathbf=3$且$\mathbf\perp\mathbf{c}$，求$t$的值。四、設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$。1.求函數(shù)$f(x)$的所有極值點(diǎn)。2.求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,3]$上的最大值和最小值。五、已知隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\lex\le1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$。求隨機(jī)變量$X$的期望$E(X)$和方差$D(X)$。六、設(shè)$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$。求矩陣$A$的逆矩陣$A^{-1}$（若存在），并計(jì)算$A^2-AB$。七、某投資者考慮投資兩種資產(chǎn)：股票和債券。股票的預(yù)期年回報(bào)率為$10\%$，標(biāo)準(zhǔn)差為$20\%$；債券的預(yù)期年回報(bào)率為$5\%$，標(biāo)準(zhǔn)差為$5\%$。股票和債券的回報(bào)率的相關(guān)系數(shù)為$0.3$。投資者希望構(gòu)建一個(gè)投資組合，使得投資組合的預(yù)期年回報(bào)率為$6\%$。求該投資組合中股票和債券的投資比例（按投資金額計(jì)算）。八、考慮以下差分方程：$y_{t+1}-2y_t=3\cdot2^t$。1.求齊次差分方程$y_{t+1}-2y_t=0$的通解。2.求給定非齊次差分方程的通解。3.求滿足初始條件$y_0=1$的特解。九、假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)體由兩個(gè)部門組成：家庭和企業(yè)。家庭部門提供勞動(dòng)力和資本，并消費(fèi)產(chǎn)品。企業(yè)部門使用勞動(dòng)力和資本生產(chǎn)產(chǎn)品。設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為$Y=K^{0.5}L^{0.5}$，其中$Y$為產(chǎn)出，$K$為資本，$L$為勞動(dòng)。資本存量在期初為$K_0$，勞動(dòng)力的供給是外生的。假設(shè)儲(chǔ)蓄率為$s$，資本折舊率為$\delta$。求解該經(jīng)濟(jì)體的長(zhǎng)期均衡資本存量$K^*$和長(zhǎng)期均衡產(chǎn)出水平$Y^*$。十、在一個(gè)簡(jiǎn)單的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，總需求函數(shù)為$Y_d=1000-50p$，總供給函數(shù)為$Y_s=200p$，其中$Y_d$和$Y_s$分別為總需求和總供給，$p$為價(jià)格水平。求解市場(chǎng)均衡的價(jià)格水平$p^*$和均衡產(chǎn)出水平$Y^*$。假設(shè)政府決定對(duì)每單位產(chǎn)品征收$t$稅，分析稅收對(duì)均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)出的影響。試卷答案一、證明：由$f'(x)>0$知$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增。因?yàn)?x_1<x_2$，所以$f(x_1)<f(x_2)$。設(shè)$\frac{x_1+x_2}{2}=x_m$，其中$x_m\in(x_1,x_2)$。因?yàn)?x_m>x_1$，且$f(x)$嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以$f(x_m)>f(x_1)$。又因?yàn)?x_m<x_2$，且$f(x)$嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以$f(x_m)<f(x_2)$。綜上，$f(x_1)<f(x_m)<f(x_2)$，即$f(x_1)<f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<f(x_2)$。由于$f(x)$嚴(yán)格單調(diào)遞增，故有$x_1<\frac{x_1+x_2}{2}<x_2$。二、利潤(rùn)函數(shù)為$\Pi(q)=R(q)-C(q)=p\cdotq-(10q+0.01q^2)=(20-0.01q)q-(10q+0.01q^2)=10q-0.02q^2$。求導(dǎo)得$\Pi'(q)=10-0.04q$。令$\Pi'(q)=0$，解得$q=\frac{10}{0.04}=250$。當(dāng)$q<250$時(shí)，$\Pi'(q)>0$；當(dāng)$q>250$時(shí)，$\Pi'(q)<0$。故$q=250$時(shí)，$\Pi(q)$取得最大值。最大利潤(rùn)為$\Pi(250)=10\cdot250-0.02\cdot250^2=2500-1250=1250$元。三、由$\mathbf{a}\cdot\mathbf=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdott=3$，解得$-t=1$，即$t=-1$。由$\mathbf\perp\mathbf{c}$，得$\mathbf\cdot\mathbf{c}=2\cdot1+(-1)\cdot1+(-1)\cdot1=0$，此條件對(duì)$t=-1$總是成立。故$t=-1$。四、1.求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x$。令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$0<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$。故$x=0$為極大值點(diǎn)，$x=2$為極小值點(diǎn)。2.計(jì)算端點(diǎn)值和極值點(diǎn)函數(shù)值：$f(-2)=-8+12+2=6$，$f(0)=0$，$f(2)=8-12+2=-2$，$f(3)=27-27+2=2$。故最大值為$\max\{6,0,-2,2\}=6$，最小值為$\min\{6,0,-2,2\}=-2$。五、$E(X)=\int_0^1xf(x)\,dx=\int_0^1x\cdot2x\,dx=\int_0^12x^2\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^1=\frac{2}{3}$。$E(X^2)=\int_0^1x^2f(x)\,dx=\int_0^1x^2\cdot2x\,dx=\int_0^12x^3\,dx=\left[\frac{1}{2}x^4\right]_0^1=\frac{1}{2}$。$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$。六、計(jì)算行列式$\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\neq0$，故$A$可逆。$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+6&2+8\\3+12&6+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$。$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-2&1+0\\0-4&3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}$。$A^2-AB=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2&1\\-4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+2&10-1\\15+4&22-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&9\\19&19\end{pmatrix}$。七、設(shè)股票投資比例為$w_1$，債券投資比例為$w_2$。根據(jù)投資組合預(yù)期回報(bào)率要求，有$w_1\cdot10\%+w_2\cdot5\%=6\%$，即$0.1w_1+0.05w_2=0.06$。由于投資比例總和為1，有$w_1+w_2=1$。解這個(gè)方程組：$\begin{cases}0.1w_1+0.05w_2=0.06\\w_1+w_2=1\end{cases}$將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程：$0.1(1-w_2)+0.05w_2=0.06\implies0.1-0.1w_2+0.05w_2=0.06\implies0.1-0.05w_2=0.06\implies0.04=0.05w_2\impliesw_2=\frac{0.04}{0.05}=\frac{4}{5}$。代入$w_1+w_2=1$，得$w_1+\frac{4}{5}=1\impliesw_1=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$。故股票和債券的投資比例分別為$\frac{1}{5}$和$\frac{4}{5}$。八、1.對(duì)應(yīng)齊次方程為$y_{t+1}-2y_t=0$。其通解為$y_t^h=C\cdot2^t$，其中$C$為任意常數(shù)。2.設(shè)非齊次方程的特解為$y_t^p=A\cdot2^t$。代入原方程：$A\cdot2^{t+1}-2A\cdot2^t=3\cdot2^t\implies2A\cdot2^t-2A\cdot2^t=3\cdot2^t\implies0=3\cdot2^t$。此形式不適用，需設(shè)特解為$y_t^p=At\cdot2^t$。代入原方程：$A(t+1)\cdot2^{t+1}-2At\cdot2^t=3\cdot2^t\implies2A(t+1)\cdot2^t-2At\cdot2^t=3\cdot2^t\implies2At\cdot2^t+2A\cdot2^t-2At\cdot2^t=3\cdot2^t\implies2A\cdot2^t=3\cdot2^t\implies2A=3\impliesA=\frac{3}{2}$。故特解為$y_t^p=\frac{3}{2}t\cdot2^t$。通解為$y_t=y_t^h+y_t^p=C\cdot2^t+\frac{3}{2}t\cdot2^t$。3.代入初始條件$y_0=1$：$1=C\cdot2^0+\frac{3}{2}\cdot0\cdot2^0\implies1=C$。故特解為$y_t=2^t+\frac{3}{2}t\cdot2^t$。九、生產(chǎn)函數(shù)$Y=K^{0.5}L^{0.5}$。長(zhǎng)期中，資本存量變化，$Y=K^*$?？們?chǔ)蓄$S=sY=sK^*$。資本存量的變化滿足$\DeltaK=S-\deltaK$。長(zhǎng)期均衡時(shí)$\DeltaK=0$，即$S=\deltaK$。$sK^*=\deltaK^*$。長(zhǎng)期均衡資本存量$K^*=\frac{s}{\delta}K_0$。長(zhǎng)期均衡產(chǎn)出水平$Y^*=(K^*)^{0.5}(L^*)^