高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省上饒市余干縣藍(lán)天教育集團(tuán)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1.已知直線的方程為，下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角為 B.直線的斜率為1C.直線的方向向量為 D.直線的法向量為【答案】C【解析】由題可知，該直線方程為，是一個(gè)豎直直線，傾斜角為，故A錯(cuò)誤；斜率不存在，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線的一個(gè)方向向量為，故選項(xiàng)C正確；向量與向量的數(shù)量積等于，故向量與向量不垂直，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知兩條不重合的直線m、n，兩個(gè)互不重合的平面α、β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α∥β．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，這與m⊥n矛盾；若α與β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α與β的法向量垂直，則可以得出α⊥β，因此①正確．②若α∩β＝l，且m∥n∥l，則可滿足m∥α，n∥β，故滿足已知條件的α與β不一定平行，因此②不正確．③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也滿足條件，故③不正確．④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，則可能有m∥n，故④不正確．綜上可知只有①正確．故選：B．3.如圖，若直線，，的斜率分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若對(duì)應(yīng)傾斜角為，由圖知，，所以.故選：D.4.過(guò)點(diǎn)且與直線斜率相等的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直線斜率2且過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程得．故選：A．5.已知正方體的棱長(zhǎng)為，則直線到平面的距離為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】連接交于點(diǎn)E，由四邊形為正方形，得，且為中點(diǎn)，由⊥底面，平面，得⊥，而，平面，則平面，因此AE的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，又正方體棱長(zhǎng)為，則，而平面，平面，則平面，故直線到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離.故選：C.6.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】直線，平行或重合的充要條件是，所以或．將代入直線，的方程，得，，易知；將代入直線，的方程，得，，直線，重合，故舍去．綜上所述，“”是“”的充要條件．故選：．7.經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】聯(lián)立與，得交點(diǎn)坐標(biāo)為.又垂直于直線的直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：B.8.在等腰直角中，是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）．若光線經(jīng)過(guò)的重心，則等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系，

可得，故直線BC的方程為，則重心為，即，設(shè),其中，則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，滿足，解得，即，易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知四點(diǎn)共線，直線的斜率為，故直線的方程為，由于直線過(guò)重心，代入得，化簡(jiǎn)得或（舍去），故，所以.故選：D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分）9.下列說(shuō)法中，正確的有（

）A.直線在軸的截距是2B.直線的傾斜角為C.直線的方向向量是，則直線的斜率是D.點(diǎn)在直線上，直線方程為．【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，取，則，即直線在軸的截距是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，直線化為，直線的斜率是，設(shè)傾斜角為，則，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)方向向量的定義可知其正確；D選項(xiàng)，點(diǎn)在直線上，則，即，直線可化為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為2，與圓錐底面所成的角為，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.圓錐的高為 B.圓錐的側(cè)面積為C.二面角的大小為 D.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由母線與互相垂直，的面積為2可知，而與圓錐底面所成的角為，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由上可知，則圓錐的側(cè)面積為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取的中點(diǎn)D，連接，則，所以，則為二面角的一個(gè)平面角，由題意易知，故C正確；對(duì)于D，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，故D錯(cuò)誤.故選：ABD11.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為B.過(guò)定點(diǎn)C.若，則或D.若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，令時(shí)，，則在軸上的截距為，故A正確；對(duì)于B，直線，當(dāng)時(shí)，所以直線恒過(guò)，故B正確；對(duì)于C，若，則且，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，等價(jià)于，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為_(kāi)_______________【答案】【解析】由題意得直線的斜率，設(shè)直線傾斜角為α，則；因?yàn)椋?；故答案為?13.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離等于2，則直線l的方程為_(kāi)_____．【答案】或【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合原點(diǎn)到直線l的距離等于2；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為，即，由，得，即直線l的方程為．綜上，直線l的方程為或．14.已知四棱錐所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，若四棱錐的體積的最大值為6，則球的表面積為_(kāi)__________．【答案】【解析】設(shè)球心到平面的距離為，球的半徑為，由題意可知，當(dāng)?shù)狡矫婢嚯x最大，即到平面的距離為時(shí)，四棱錐的體積最大，即，又在球面上，設(shè)它們所在的小圓的圓心為，則則，即，解得，故球的表面積為，故答案為：.四、解答題（共5小題，共77分）15.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求直線l的截距式方程；（2）求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積．解：（1）由已知得直線l的兩點(diǎn)式方程為，即，整理得．所以截距式方程為．（2）由（1）知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為4和8，所以圍成的圖形的面積為．16.如圖，已知平面，（1）求證:平面;（2）若，求圍成這個(gè)四面體的所有圖形的面積之和.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平?（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?所以由勾股定理可得：.17.已知直線，，其中為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求過(guò)直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程．解：（1）由得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,故.（2）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立，解得，即直線的交點(diǎn)為，又直線的斜率為，故過(guò)直線的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為，即．18.如圖，在三棱錐中，，底面，M，N分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．（1）證明：因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以?平面，平面，平面，平面，平面平面．19.已知直線：.（