高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，，∴.故選：D.2.已知二次函數(shù)．甲同學(xué)：的解集為或；乙同學(xué)：的解集為或，丙同學(xué)：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸右側(cè)．在這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若的解集為或，則解得；若的解集為或，則解得；若函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則對(duì)稱軸，則，得．又這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)假命題，故乙同學(xué)為假，綜上，．故選：C.3.如圖1是惠州市風(fēng)景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由圖可知，“心形”圖形關(guān)于軸對(duì)稱，則“心形”在軸上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)，故B不正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故D不正確；的圖象過點(diǎn)，且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)的最大值為2，又“心形”在軸上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值為1，故A不正確；由的圖象過點(diǎn)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)的最大值為1，滿足題意，故C正確．故選：C.4.已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，滿足，則方程的解的個(gè)數(shù)為（）A.13 B.14 C.20 D.21【答案】D【解析】因?yàn)椋?，可得，即有，作出函?shù)的圖象如圖所示：則有7個(gè)根，有10個(gè)根，有4個(gè)根，所以方程共有個(gè)根.故選：D.5.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A.1022 B.1023 C.1024 D.1025【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得解得則故選：B.6.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為吉祥數(shù)列.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，且公差不為0，若數(shù)列為吉祥數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差，則，故.又因?yàn)閿?shù)列為吉祥數(shù)列，所以為常數(shù)，不妨設(shè)，則，則，解得，所以.故選：D.7.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由求導(dǎo)得：，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又，即函數(shù)為奇函數(shù).則由可得，進(jìn)而，解得.故選：B.8.設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在上是單調(diào)增函數(shù)；由可得，由題意可知，存在唯一的整數(shù)，使得，則函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則函數(shù)在直線下方的圖象中有無數(shù)個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，不合乎題意；所以，因?yàn)?，?dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則，解得；又，直線，所以此時(shí)函數(shù)與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則，且，結(jié)合圖象可得，所以的取值范圍是.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以和3是關(guān)于的方程的兩根，且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知得和3是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理得，解得，對(duì)于不等式，即化為，解得，故B正確；對(duì)于C，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于不等式，可化為，而，則化為，解得，故D正確．故選：BD.10.已知等比數(shù)列的公比不為1且相鄰三項(xiàng)調(diào)整次序后可為等差數(shù)列，若，存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，相鄰三項(xiàng)為，則或或，故或或，故或，若，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，時(shí)，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，時(shí)，故，與題設(shè)矛盾；所以，此時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，由恒成立，故.故選：BCD.11.已知函數(shù)，，若存在直線與曲線和均相切，則a的值可能為（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】由題意得，，，又直線與曲線和均相切，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，兩條切線為同一條直線，，由，可得，代入，得，即，令，則問題轉(zhuǎn)化為存在使得，即求的值域，，令，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，，的值域?yàn)?，?故選：ABC．第II卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】解法一、令，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)滿足條件．②當(dāng)時(shí)，的圖象的對(duì)稱軸方程為，若，則在上單調(diào)遞減，則只需滿足，得；若，則，且時(shí)已滿足條件．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．解法二、時(shí)，，由得，則在上有解．令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又在單調(diào)遞增，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.13.已知正項(xiàng)數(shù)列中，且，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________．【答案】【解析】在數(shù)列中，①，又②，，所以①除以②得．又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．故答案為：．14.已知函數(shù)，若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_______；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，故函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，則，由題意知，對(duì)任意的，，則，可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，則對(duì)任意的，，則，可得，此時(shí)；若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，則對(duì)任意的，，則，可得，這與矛盾，此時(shí)不成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：，.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.定義關(guān)于的新運(yùn)算：，其中，為非零常數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式組的解集.【答案】解：（1）由題可知，，解得.（2）由題可知，即.又，即，解得；，整理得，解得或，所以解集為或.16.設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)任意，均成立，則稱是平緩函數(shù)．（1）若，試判斷是否為平緩函數(shù)？并說明理由；（2）若函數(shù)是平緩函數(shù)，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意的，均有．【答案】（1）解：任取，，只需證，當(dāng)有一個(gè)為0時(shí)，不妨設(shè)，則；當(dāng)都不為0時(shí)，分母利用不等式，得，結(jié)合可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立，但此時(shí)，故嚴(yán)格不等式成立，因此函數(shù)是上的平緩函數(shù)．（2）證明：由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，故不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，由為上的平緩函數(shù)得。當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)由為上的平緩函數(shù)得.綜上所述，命題得證.17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：．【答案】（1）解：因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，①，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，②，①－②得，，得．所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）證明：解法1：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)也符合，所以原不等式成立．解法2：因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式的左邊也符合，所以原不等式成立．18.已知數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列，，，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，，整理可得，解得（負(fù)值舍去），則；時(shí)，，解得，當(dāng)，，整理可得，則，又，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，于是.（2）由（1）得，，則，，即19.定義雙曲