專題01一元二次方程（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律一元二次方程的概念與解法掌握一元二次方程的定義，熟練運(yùn)用各種解法求解方程基礎(chǔ)必考點(diǎn)，選擇題和填空題中出現(xiàn)頻率非常高根的判別式能利用判別式判斷根的情況，解決含參問(wèn)題高頻易錯(cuò)點(diǎn)，參數(shù)討論題失分率極高根與系數(shù)的關(guān)系掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并能應(yīng)用于代數(shù)式求值和證明問(wèn)題綜合題核心考點(diǎn)，常與函數(shù)、幾何知識(shí)結(jié)合考查一元二次方程的應(yīng)用能建立方程解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力實(shí)際綜合應(yīng)用必考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)01一元二次方程的概念與解法1.定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）3.解法體系：（1）直接開(kāi)平方法：適用于(x+m)2=n(n≥0)形式（2）配方法：通用方法，配方步驟是關(guān)鍵（3）公式法：萬(wàn)能方法，x1，2＝eq\f(－b±eq\r(b2－4ac),2a)（4）因式分解法：最簡(jiǎn)便，但需要方程可因式分解·示例：1.已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣22.（1）（x﹣4）2﹣9＝0；解：（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，∴x﹣4＝3或x﹣4＝﹣3，∴x1＝7，x2＝1．（2）x2﹣5x+1＝0．解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，∴x=-b±b2·易錯(cuò)點(diǎn)：（1）配方時(shí)忘記等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（2）使用公式法時(shí)，忽略a≠0的前提條件（3）因式分解時(shí)符號(hào)處理錯(cuò)誤，特別是交叉相乘時(shí)知識(shí)點(diǎn)02根的判別式根的判別式：Δ=b2－4ac根的情況判定：Δ>0?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Δ=0?有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Δ<0?沒(méi)有實(shí)數(shù)根·示例：若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x12+A．2 B．4 C．5 D．6解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣5）2﹣4a≥0，解得a≤254，x1+x2＝5，x1x2＝∵x12+x22=15，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15，∴25﹣2a＝·易錯(cuò)點(diǎn)：（1）忘記計(jì)算判別式直接判斷根的情況（2）含參問(wèn)題時(shí)，忽略參數(shù)取值范圍對(duì)判別式的影響（3）將“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”誤認(rèn)為“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”這一種情況知識(shí)點(diǎn)03根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x?，x?，則：x?＋x?＝－eq\f(b,a)，x?·x?＝eq\f(c,a)推廣公式：（1）x?2＋x?2＝(x?＋x?)2－2x?·x?＝eq\f(b2,a2)－eq\f(2c,a)＝eq\f(b2－2ac,a2)（2）|x?－x?|＝eq\f(eq\r(b2－4ac),|a|)（3）eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x?·x?)＝－eq\f(b,c)·示例：已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則αβ﹣2（α+β）+4的值是（）A．12 B．132 C．3 D解：由題意得，α、β是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：α+∴原式=-1·易錯(cuò)點(diǎn)：（1）符號(hào)錯(cuò)誤，將x?＋x?＝－eq\f(b,a)誤寫為eq\f(b,a)；（2）使用根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算時(shí)忽略方程必須有實(shí)數(shù)根的前提；（3）復(fù)雜變形時(shí)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤知識(shí)點(diǎn)04一元二次方程的應(yīng)用常見(jiàn)類型：（1）幾何問(wèn)題：面積、體積、勾股定理等（2）經(jīng)濟(jì)問(wèn)題：利潤(rùn)最大化、成本最小化（3）運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：拋體運(yùn)動(dòng)、相遇問(wèn)題（4）增長(zhǎng)率問(wèn)題：復(fù)利增長(zhǎng)、人口增長(zhǎng)建模步驟：審題→設(shè)元→列方程→解方程→檢驗(yàn)→作答·示例：綜合與實(shí)踐：九年級(jí)課外小組計(jì)劃用兩塊長(zhǎng)為100cm，寬為40cm的長(zhǎng)方形硬紙板做收納盒．【任務(wù)要求】任務(wù)一：設(shè)計(jì)無(wú)蓋長(zhǎng)方形收納盒．把一塊長(zhǎng)方形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小正方形，然后沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體收納盒．如圖1．任務(wù)二：設(shè)計(jì)有蓋長(zhǎng)方形收納盒．把另一塊長(zhǎng)方形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，然后折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體收納盒，EF和HG兩邊恰好重合且無(wú)重疊部分．如圖2．【問(wèn)題解決】（1）若任務(wù)一中設(shè)計(jì)的收納盒的底面積為1600cm2，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少厘米？（2）若任務(wù)二中設(shè)計(jì)的該收納盒的底面積為608cm2．①該收納盒的高是多少厘米？②請(qǐng)判斷能否把一個(gè)尺寸如圖3所示的玩具機(jī)械狗完全立著放入該收納盒，并說(shuō)明理由．·易錯(cuò)點(diǎn)：（1）忽略實(shí)際意義，未舍去不符合題意的根；（2）列方程時(shí)單位不統(tǒng)一；（3）最值問(wèn)題中忘記檢驗(yàn)取值是否在合理范圍內(nèi).題型一含參一元二次方程的解法解｜題｜技｜巧1.先確定方程是否為一元二次方程（考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0）2.根據(jù)參數(shù)的不同取值分類討論3.對(duì)每種情況分別求解易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，方程退化為一次方程的情況【典例1】解關(guān)于x的方程：(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0【變式1】已知關(guān)于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0，求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.【變式2】若方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.題型二根與系數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用答｜題｜模｜板1.寫出x?+x?和x?x?的表達(dá)式2.將所求代數(shù)式用對(duì)稱式表示3.代入求值，注意取值范圍【典例1】已知α和β是方程x2+2024x﹣2＝0的兩個(gè)解，則α2+2025α+β的值為（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2022 D．2022【典例2】已知x?,x?是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x?2＋x?2＝11，求k的值.【變式1】已知a，b是一元二次方程x2+2025x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則baA．﹣2025 B．2025 C．12025 D．【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求a的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x12+x22-x1題型三一元二次方程的綜合應(yīng)用答｜題｜模｜板1.仔細(xì)審題，理解實(shí)際問(wèn)題背景2.合理設(shè)元，建立數(shù)學(xué)模型3.解方程并檢驗(yàn)解的合理性4.回歸實(shí)際問(wèn)題，給出最終答案易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥實(shí)際問(wèn)題中往往需要對(duì)方程的解進(jìn)行取舍，要特別注意取值范圍【典例1】電動(dòng)車雖然方便了我們的日常出行，但是部分電動(dòng)車充電過(guò)程中十分危險(xiǎn)，一旦發(fā)生著火、爆炸，將造成非常嚴(yán)重的危害．“人車分離”是保障大家生命安全的重要手段．陽(yáng)光小區(qū)為實(shí)現(xiàn)“人車分離”，在小區(qū)外面搭建了兩個(gè)矩形電動(dòng)車車棚（如圖），一邊利用小區(qū)的后墻（可利用墻長(zhǎng)為45m），其他的邊用總長(zhǎng)70m的不銹鋼柵欄圍成，左右兩側(cè)各開(kāi)一個(gè)1m長(zhǎng)的出口（出口處不用柵欄），不銹鋼柵欄狀如“山”字形．（1）若車棚占地面積為384m2，試求出電動(dòng)車車棚的長(zhǎng)（BC）和寬（AB）；（2）若小區(qū)擬利用現(xiàn)有棚欄對(duì)電動(dòng)車車棚進(jìn)行擴(kuò)建，請(qǐng)問(wèn)能圍成占地面積為450m2的電動(dòng)車車棚嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例2】如圖，OA＝OB＝60cm，OC是一條射線，OC⊥AB，一小蟲(chóng)M由點(diǎn)A以3cm/s的速度向B爬行，同時(shí)另一小蟲(chóng)N由點(diǎn)O以1cm/s的速度沿OC爬行，小蟲(chóng)爬行的時(shí)間為ts．（1）ON＝cm，OM＝cm（用含有t的代數(shù)式表示）．（2）幾秒時(shí)，兩小蟲(chóng)所在的位置與點(diǎn)O組成的三角形的面積等于150cm2？（3）若△OMN為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出t值．【變式1】在可持續(xù)發(fā)展的道路上，綠色轉(zhuǎn)型已成為一個(gè)重要的話題，綠色轉(zhuǎn)型不僅是一種環(huán)保理念，更是一種經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，新能源汽車在踐行綠色低碳循環(huán)理念推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展中發(fā)揮重要作用．近年來(lái)，隨著國(guó)家政策扶持，新能源車的銷量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年新能源汽車全國(guó)銷量為578萬(wàn)輛，2025年新能源汽車全國(guó)銷量達(dá)到832.32萬(wàn)輛．（1）求2023﹣2025年這兩年新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率；（2）若增長(zhǎng)率保持不變，請(qǐng)估計(jì)到2026年全國(guó)新能源汽車的銷量是多少？期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一個(gè)根為0，則a的值為（）A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣32.張林和李冬在解一道一元二次方程時(shí)，張林在化簡(jiǎn)過(guò)程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根為6和1，李冬在化簡(jiǎn)中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根為﹣2和﹣5，則原來(lái)的方程是（）A．x2﹣6x﹣10＝0B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣7x+10＝0 D．x2+6x+5＝03.對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有以下結(jié)論：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為4，－3，則方程ax2－（2a－b）x+a－b+c＝0的兩根為3－4．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44.如圖所示，現(xiàn)有一塊矩形鐵皮，其長(zhǎng)是寬的2倍，在鐵皮的四角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的小正方形，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，已知盒子的容積是480cm3，設(shè)矩形的寬為x，則可列方程為．5.已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的一個(gè)根為x＝3，求k的值及方程的另一根．6.我國(guó)通過(guò)藥品集中采購(gòu)，大大減輕了百姓的醫(yī)藥負(fù)擔(dān)．某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，藥價(jià)從每盒200元下調(diào)至72元，平均每次降價(jià)的百分率是多少？期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1.對(duì)于代數(shù)式M、N，定義新運(yùn)算M?N＝M2﹣MN﹣N2，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）①若（2x）?1＝1，則x=-1②若方程x2+5x+3＝0的解為a、b，則a?b的值為-③若關(guān)于x的方程|2?（x﹣1）|＝x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則-A．0 B．1 C．2 D．32.歐幾里得的《幾何原本》中記載，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的圖解法如下：如圖，以a2和b為兩直角邊長(zhǎng)作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD=a2，則AD的長(zhǎng)就是所求方程的正根．利用以上方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+mx＝36時(shí)，若構(gòu)造后的圖形滿足AD＝2BD，則m的值為3.若k為整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程（k－1）x2－2（k+1）x+k+5＝0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最大值為_(kāi)____．4.已知關(guān)于x的一元二次方程kx2－4kx＋（4k－1）＝0（k≠0），試判斷此一元二次方程根的情況，并說(shuō)明理由．5.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣7x+10＝0；（2）3x2﹣6x+1＝0．6.已知關(guān)于x的方程x2－（2k+1）x+4（k－12）＝（1）求證：無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a＝4，另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．7.隨著科技的不斷進(jìn)步，人工智能（AI）正逐漸滲透到我們的生活和工作．從家庭助手到自動(dòng)駕駛汽車，再到智能醫(yī)療，AI的應(yīng)用前景廣闊且充滿無(wú)限可能．某人工智能科技體驗(yàn)館在十一假期間為學(xué)生們制訂了豐富多彩的體驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過(guò)10人，人均費(fèi)用為240元；如果人數(shù)超過(guò)10人，每增加1人，人均費(fèi)用降低5元，但人均旅游費(fèi)用不得低于170元．（1）若有14人參加旅游，人均費(fèi)用是元．（2）某興趣小組的學(xué)生們?nèi)⒓芋w驗(yàn)活動(dòng)，團(tuán)體票的費(fèi)用共3600元，求參加活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)．8.電影《哪吒之魔童鬧?！窡嵊澈?，哪吒與敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎．某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)商家3月4日銷售玩偶共200個(gè)，5日、6日銷售量持續(xù)增長(zhǎng)，6日銷量達(dá)到338個(gè)．（1）求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長(zhǎng)率．（2）為慶祝《哪吒2》全球票房大賣，商家決定做優(yōu)惠活動(dòng)．已知玩偶每個(gè)成本30元，售價(jià)為每個(gè)50元時(shí)，日銷量可達(dá)320個(gè)；每降價(jià)1元，日銷量可增加5個(gè)．當(dāng)每個(gè)玩偶降價(jià)多少元時(shí)，當(dāng)日總利潤(rùn)可達(dá)到5940元？期中綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（1）求證：無(wú)論k為何值，該方程總有兩個(gè)不等實(shí)根．（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊c=10，且兩直角邊a、b恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求2.配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．所謂配方法是指將一個(gè)式子的某部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，幫助解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)或求代數(shù)式的最大值、最小值等問(wèn)題．例如，把二次三項(xiàng)式x2﹣2x+3進(jìn)行配方，可求其最值．解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2當(dāng)x＝1時(shí)，x2﹣2x+3的最小值為2．請(qǐng)通過(guò)閱讀以上材料，解決以下問(wèn)題：（1）若x2﹣6x+13可配方成（x﹣m）2+n2（m，n為正整數(shù)），則mn的值為；（2）已知實(shí)數(shù)x，y均滿足x﹣y2＝1，求代數(shù)式x2+2y2﹣4x+2028的最小值．3.請(qǐng)閱讀下列材料：已知方程x2+x－3＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則y＝2x，所以x=y把x=y2代入已知方程，得(y2化簡(jiǎn)，得y2+2y－12＝0，故所求方程為y2+2y－12＝0，這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．（1）已知方程x2+x－2＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；（2）已知方程2x2－7x+3＝0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為3，－2，求一元二次方程ay2－（2a－b）y+a－b+c＝0的兩根．