2/24專題01集合及其運(yùn)算題型1判斷元素能否構(gòu)成集合題型11判斷兩個(gè)集合是否相等題型2判斷元素與集合的關(guān)系題型12根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)（?？键c(diǎn)）題型3利用集合元素的互異性求參數(shù)（重點(diǎn)）題型13空集及其應(yīng)用（重點(diǎn)）題型4求集合中元素的個(gè)數(shù)題型14交集的運(yùn)算（重點(diǎn)）題型5根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)題型15并集的運(yùn)算（重點(diǎn)）題型6判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)（?？键c(diǎn)）題型16補(bǔ)集的運(yùn)算（重點(diǎn)）題型7子集（真子集）的個(gè)數(shù)的應(yīng)用（難點(diǎn)）題型17交并補(bǔ)的混合運(yùn)算（重點(diǎn)）題型8求子集（真子集）（重點(diǎn)）題型18Venn圖（重點(diǎn)）題型9判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系（重點(diǎn)）題型19容斥原理及其應(yīng)用題型10根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（重點(diǎn)）題型20集合新定義（難點(diǎn)）題型一判斷元素能否構(gòu)成集合（共3小題）1．（24-25高一上·湖北·期中）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．中國(guó)古代四大發(fā)明 B．所有無(wú)理數(shù)C．2024年高考數(shù)學(xué)難題 D．小于的正整數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)題意利用集合中元素具有確定性的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，中國(guó)古代四大發(fā)明是指造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)，滿足集合定義，即A能構(gòu)成集合；對(duì)于B，所有無(wú)理數(shù)定義明確，即B能構(gòu)成集合;對(duì)于C，2024年高考數(shù)學(xué)難題定義不明確不具有確定性，不符合集合的定義，即C構(gòu)不成集合；對(duì)于D，小于的正整數(shù)只有1，2，3，具有確定性，滿足集合定義，即D能構(gòu)成集合.故選：C2．（24-25高一上·廣西南寧·期中）下列對(duì)象能組成集合的是（

）A．非常接近0的數(shù) B．身高很高的人C．絕對(duì)值為5的數(shù) D．著名的數(shù)學(xué)家【答案】C【分析】借助集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判定即可得.【詳解】A、B、D選項(xiàng)都違背了集合中元素的確定性，故A、B、D錯(cuò)誤；對(duì)C：絕對(duì)值為5的數(shù)有5或，符合集合的概念，故C正確.故選：C.3．（24-25高一上·四川南充·期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（

）A．南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生 B．高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)中的難題C．關(guān)于的方程的所有實(shí)根 D．無(wú)限接近于的所有實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解.【詳解】對(duì)于A，個(gè)子較高，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，難題，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的根為，故集合為，C正確，對(duì)于D,無(wú)限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故D錯(cuò)誤，故選：C題型二判斷元素與集合的關(guān)系（共3小題）4．（24-25高一上·湖南邵陽(yáng)·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素與集合之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)果.【詳解】易知為有理數(shù)，可得，即A正確；易知，即B錯(cuò)誤；而0不是正整數(shù)，所以，即C錯(cuò)誤；顯然不是整數(shù)，即，可得D錯(cuò)誤；故選：A5．（24-25高一上·上?！て谥校┮韵逻x項(xiàng)中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：滿足，對(duì)于B:，錯(cuò)誤；對(duì)于C:，錯(cuò)誤；對(duì)于D:，錯(cuò)誤；故選：A6．（24-25高一上·天津南開·期中）給出下列關(guān)系：①；②；③；④；⑤.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判斷出各數(shù)所屬于的數(shù)域范圍，再利用元素與集合的關(guān)系判定即可.【詳解】對(duì)于命題①，，所以命題①錯(cuò)誤，對(duì)于命題②，，所以命題②錯(cuò)誤，對(duì)于命題③，因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，，所以命題③錯(cuò)誤，對(duì)于命題④，因?yàn)?，所以命題④正確，對(duì)于命題⑤，因?yàn)槭菬o(wú)限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，即，所以命題⑤正確，故選：C.題型三利用集合元素的互異性求參數(shù)（共3小題）7．（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）集合中的不能取的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)集合的互異性，即可求解.【詳解】由集合的互異性可知，，或，或，得，或，或，故選：C8．（24-25高一上·山東威海·期中）已知集合，若，則.【答案】14【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得解.【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，,不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故答案為：149．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】由已知集合的元素，分類討論求參數(shù)值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定的值.【詳解】若，則，此時(shí)集合違背互異性，不符合要求；若，則，此時(shí)，符合要求；若，則，此時(shí)集合違背互異性，不符合要求；綜上所述，.故答案為：.題型四求集合中元素的個(gè)數(shù)（共3小題）10．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互異性，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由集合中元素滿足互異性，所以.故選：B.11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）設(shè)集合，則中元素的個(gè)數(shù)為【答案】4【分析】根據(jù)列舉法，寫出集合中元素，即可得出結(jié)果.【詳解】將滿足的整數(shù)對(duì)列舉出來(lái)，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4個(gè).故答案為：412．（24-25高一上·河南·期中）若集合，則的元素個(gè)數(shù)為.【答案】4【分析】由集合的描述法可得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以的元素個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.題型五根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)（共3小題）13．（24-25高一上·上?！て谥校┤艏现缓幸粋€(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：14．（24-25高一上·湖南邵陽(yáng)·期中）已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值構(gòu)成的集合為．【答案】【分析】根據(jù)題意分情況討論即可求得結(jié)果，當(dāng)時(shí)，滿足題意；時(shí)，只需讓判別式等于零即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，所以的值構(gòu)成的集合為，故答案為：.15．（24-25高一上·四川內(nèi)江·期中）已知集合．(1)若，求的值；(2)若中只有一個(gè)元素，求的取值范圍；(3)若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或時(shí)，(3)或【分析】（1）將代入方程中即可求解，（2）（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程解的問(wèn)題，分類討論二次項(xiàng)系數(shù)的值，結(jié)合二次方程根與判別式的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】（1）由于，所以是的實(shí)數(shù)根，故，故（2）當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋藭r(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，即時(shí)，原方程的解為，符合題意．故當(dāng)或時(shí)，原方程只有一個(gè)解，此時(shí)只有一個(gè)元素．（3）若中最多有一個(gè)元素，則中可能無(wú)任何元素，或者只有一個(gè)元素，由（1）知當(dāng)時(shí)只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，即時(shí)，為空集；，即時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根，中有一個(gè)元素．中最多有一個(gè)元素，或題型六判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)（共3小題）16．（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系直接得出結(jié)果.【詳解】集合A可以是，共3個(gè).故選：B.17．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列舉法寫出集合，得出元素個(gè)數(shù)，再利用公式計(jì)算其子集個(gè)數(shù).【詳解】由已知得集合，共有3個(gè)元素，所以其子集個(gè)數(shù)為.故選：D.18．（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知集合，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系，結(jié)合元素個(gè)數(shù)求得子集的個(gè)數(shù)，可得答案.【詳解】由題可知集合是集合的非空真子集，故有個(gè).故選：B.題型七子集（真子集）的個(gè)數(shù)的應(yīng)用（共2小題）19．（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有兩個(gè)元素，則．【答案】或或【分析】首先根據(jù)，求出參數(shù)的值；然后再根據(jù)子集的概念求解集合即可【詳解】由于，所以或，解得：或；當(dāng)時(shí)，不滿足元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意.又因?yàn)榧鲜羌系淖蛹矣袃蓚€(gè)元素，所以或或.故答案為：或或.20．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎锨∮袃蓚€(gè)子集，則實(shí)數(shù)取值集合為.【答案】【分析】分析可知有一個(gè)不等于3的實(shí)數(shù)解，分類討論最高項(xiàng)系數(shù)以及根的個(gè)數(shù)，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：方程有且僅有一解，等價(jià)于有一個(gè)不等于3的實(shí)數(shù)解，1.當(dāng)時(shí)，解為，滿足題意；2.當(dāng)時(shí)，只有一解時(shí)，則，解得，若，則，解得，符合題意；3.當(dāng)時(shí)，且有兩解但3是方程的解，故，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)取值集合為.故答案為：.題型八求子集（真子集）（共3小題）21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，則集合可用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)子集關(guān)系分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D.22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和為（

）A．126 B．128 C．130 D．132【答案】B【分析】根據(jù)子集概念分析即可求解.【詳解】，集合的所有子集有：，，1，3，5，7分別在子集中各出現(xiàn)8次，.故選：B．23．（24-25高一上·廣西南寧·期中）寫出集合的所有子集和真子集.【答案】答案見解析【分析】借助子集的概念與真子集的概念逐項(xiàng)列出即可得.【詳解】的子集有：、、、、、、、；的真子集有：、、、、、、.題型九判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系（共3小題）24．（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．=【答案】A【分析】根據(jù)集合中的元素滿足的約束即可求解.【詳解】由，可知：集合是由所有的奇數(shù)構(gòu)成的集合，而集合中的元素是的倍數(shù)，故，故選：A.25．（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）（多選）已知集合，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】求出集合，利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，選項(xiàng)ACD正確，B錯(cuò).故選：ACD.26．（24-25高一上·江蘇南京·期中）（多選）設(shè)集合，，，，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】分別求出集合，再利用集合之間的關(guān)系判斷即可.【詳解】由題意得，，，，我們先化簡(jiǎn)集合，集合可化為，所以，故A正確，而點(diǎn)在直線上，則成立，故C正確，因?yàn)槭菙?shù)集，是點(diǎn)集，二者一定無(wú)交集，故成立，故D正確，因?yàn)槭菙?shù)集，是點(diǎn)集，二者一定無(wú)交集，故不成立，故B錯(cuò)誤.故選：ACD題型十根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（共3小題）27．（24-25高一上·廣東·期中）（多選）已知集合，，且是的真子集，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】化簡(jiǎn)集合，分和兩種情況討論即可求.【詳解】由題意得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，故的取值范圍為.故選：AD28．（24-25高一上·上?！て谥校┤艏?，，且，則實(shí)數(shù)組成的集合是.【答案】【分析】計(jì)算集合，再分別求和時(shí)，的值即可.【詳解】由題意，，又，若，則，滿足題意；若，則，所以或.故答案為：.29．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，所以的取值范圍?題型十一判斷兩個(gè)集合是否相等（共3小題）30．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合包含關(guān)系的定義和集合相等的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)集合的概念可知集合表示所有被除余的數(shù)以及所構(gòu)成的集合，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，所以，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，任取，則，，所以，，又，，所以，綜上，故選：A31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)合的包含的定義和集合相等的定義判斷的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】任取，則，，所以，所以，任取，則，，所以，所以，所以，任取，則，，所以，所以，又，，所以，所以，故選：C.32．（24-25高一上·廣東陽(yáng)江·期中）（多選）下列各組中M，N表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【分析】由兩集合相等定義可判斷集合是否相同.【詳解】A選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則兩集合不同，故A正確；B選項(xiàng)，均為點(diǎn)集，但包含的元素不同，則兩集合不同，故B正確；C選項(xiàng)，為數(shù)集，表示射線上的點(diǎn)，則兩集合不同，故C正確；D選項(xiàng)，兩集合均表示全體奇數(shù)，故兩集合相同，故D錯(cuò)誤.故選：ABC題型十二根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)（共3小題）33．（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互異性即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得舍去，所以解得，所以，故選：A34．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，則.【答案】【分析】根據(jù)題意利用集合中元素的互異性分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】依題意可知，由于可知，此時(shí)，所以，解得或(舍去)即.故答案為：35．（24-25高一上·安徽·期中）若，則．【答案】【分析】由為分母可得，再利用集合相等的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【詳解】由題意可得，則，即，則，解得或，若，則違背集合元素的互異性，舍去；若，則有，符合要求；綜上所述，，則．故答案為：．題型十三空集及其應(yīng)用（共3小題）36．（23-24高一上·貴州黔東南·期中）（多選）下列關(guān)系式正確的為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)空集的定義和元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；是指元素為0的集合，所以，故B正確；是指元素為的集合，所以，故C正確；是任何集合的子集，所以，故D正確．故選：BCD．37．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的實(shí)數(shù)解組成的集合.其中，是空集的所有序號(hào)為.【答案】②④⑥【分析】根據(jù)空集的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】①集合中含有一個(gè)元素，故不是空集；②因?yàn)?，，故是空集；③集合中含有一個(gè)元素，故不是空集；④是空集；⑤集合中含有一個(gè)元素，故不是空集；⑥因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)解，故是空集；故答案為：②④⑥.38．（24-25高一上·上?！て谥校┤簦瑒tm的取值范圍為．【答案】【分析】利用空集的定義，結(jié)合一元二次不等式的解集情況，分類列式求出范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，，符合題意，；當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以m的取值范圍為.故答案為：題型十四交集的運(yùn)算（共5小題）39．（24-25高一上·海南儋州·期中）設(shè)，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C．或 D．【答案】A【詳解】根據(jù)交集的結(jié)果直接求出參數(shù)的取值范圍.【分析】因?yàn)?，且，所?故選：A.40．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集結(jié)果得出集合間的包含關(guān)系，由包含關(guān)系可得的不等關(guān)系，從而得的范圍.【詳解】由題意，在，中，，∴解得.故選：C.41．（24-25高一上·湖南邵陽(yáng)·期中）若，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為.故選：.42．（24-25高一上·福建福州·期中）集合（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的定義可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：43．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【分析】因?yàn)?，，所以，故選：B題型十五并集的運(yùn)算（共5小題）44．（24-25高一上·河南開封·期中）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先解不等式化簡(jiǎn)集合，再求集合的交集與并集，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：A.45．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算即可求解.【詳解】,則.故選：.46．（24-25高一上·甘肅臨夏·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：D.47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等價(jià)于，列式求解即可；（2）利用，等價(jià)于，列式求解即可.【詳解】（1），，因?yàn)椋?，所以解得，故?shí)數(shù)的取值范圍為；（2），，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，解集為，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.48．（24-25高一上·廣東深圳·期中）設(shè)集合，集合．(1)若，求和；(2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）先求出集合B，再根據(jù)交集和并集的定義計(jì)算即可；（2）由題設(shè)得，分和兩種情況分析計(jì)算即可得解.【詳解】（1）若，則，所以，.（2）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，要使，則.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型十六補(bǔ)集的運(yùn)算（共3小題）49．（23-24高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知全集，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】一元二次方程化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】全集，則故選：A.50．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知全集，集合，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用交集的定義求解即可；（2）求得，利用并集的定義即可求解；（3）求得，利用交集的定義可得求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)椋曰?，所以?（3）因?yàn)?，，因?yàn)榛?，所?51．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，.【答案】或，或，，或或.【分析】由題意，利用集合交并補(bǔ)的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由，，則，，或，或，所以或，或，或，或或.題型十七交并補(bǔ)的混合運(yùn)算（共3小題）52．（24-25高一上·安徽滁州·期中）設(shè)全集，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出全集，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)槿瑒t，，所以，.故選：B.53．（24-25高一上·福建福州·期中）（多選）全集，，，，則下列判斷正確的有（

）A．B．或C．若，則或D．若，則或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根據(jù)并集的定義即可判斷；先求解，再根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算即可判斷；由已知分和兩種情況分別列不等式求解即可判斷；先求解，再分和兩種情況分別列不等式求解即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故正確；因?yàn)?，所以或，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，即，當(dāng)時(shí)，所以或，解得或，綜上，的取值范圍是或，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，即，當(dāng)時(shí)，所以或，解得或，綜上，的取值范圍是或，故正確.故選：.54．（24-25高一上·天津南開·期中）已知全集為，集合或，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）先求出當(dāng)時(shí)的集合，再根據(jù)補(bǔ)集和并集定義即可計(jì)算求解.（2）先由題意求得，接著求出，再分和兩種情況討論即可求解.【詳解】（1）若，則，所以或，又集合或，所以或.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)符合題意，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，要使，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型十八Venn圖（共3小題）55．（24-25高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知集合，或，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由題可知圖中陰影部分表示，結(jié)合集合的交運(yùn)算、并運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知，，，所以圖中陰影部分表示或.故選：A.56．（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）如圖，三個(gè)圓形區(qū)域分別表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八個(gè)部分所表示的集合，不正確的是（

）A．圖形I表示的集合為B．圖形Ⅲ表示的集合為C．圖形Ⅴ表示的集合為D．圖形Ⅷ表示的集合為【答案】D【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】圖形I表示的集合為；圖形Ⅱ表示的集合為；圖形Ⅲ表示的集合為；圖形Ⅳ表示的集合為；圖形Ⅴ表示的集合為；圖形Ⅵ表示的集合為；圖形Ⅶ表示的集合為；圖形Ⅷ表示的集合為．故選：D.57．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多選）設(shè)全集為，集合，如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)和維恩圖的關(guān)系即可得到答案.【詳解】對(duì)A，由圖知，故A正確；對(duì)B，由圖知不是的子集，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由圖知，故C正確；對(duì)D，由圖知，故D正確.故選：ACD.題型十九容斥原理及其應(yīng)用（共3小題）58．（24-25高一上·重慶·期中）求精中學(xué)為豐富學(xué)生們的課余生活，開展了多種多樣的學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)，其中心理社，動(dòng)漫社和地理社最受歡迎，高一某班有35名學(xué)生參加了這三個(gè)社團(tuán)，其中有19人參加了心理社，有16人參加了地理社，有15人參加了動(dòng)漫社，有6人參加了心理社和地理社，有5人參加了地理社和動(dòng)漫社，已知每人至少都參加了一個(gè)社團(tuán)，沒(méi)有人同時(shí)參加三個(gè)社團(tuán)，則只參加了一個(gè)社團(tuán)的同學(xué)有（

）人A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【分析】由題意，根據(jù)容斥原理，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)心理社為A，地理社為B，動(dòng)漫社為C，則，，得即，得，所以只參加一個(gè)社團(tuán)的人數(shù)共有.故選：C59．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同學(xué)讀過(guò)《牡丹亭》，有8名同學(xué)讀過(guò)《醒世恒言》，兩者都讀過(guò)的同學(xué)有4名，則該班學(xué)生中至少讀過(guò)《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有（

）A．16人 B．18人 C．20人 D．24人【答案】A【分析】根據(jù)集合的容斥原理即可求解.【詳解】設(shè)集合“高三1班讀過(guò)《牡丹亭》的學(xué)生”，其元素個(gè)數(shù)記為；集合“高三1班讀過(guò)《醒世恒言》的學(xué)生”，其元素個(gè)數(shù)記為；則，則.故該班學(xué)生中至少讀過(guò)《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的學(xué)生有16人.故選：A.60．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多選）某高中為了迎接國(guó)慶的到來(lái)，在國(guó)慶前一周舉辦了“迎國(guó)慶，向未來(lái)”的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中共有12名同學(xué)參加拔河、4人足球、羽毛球三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“拔河”，有7人參加“4人足球”，有5人參加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都參加的有4人，“拔河和羽毛球”都參加的有3人，“4人足球和羽毛球”都參加的有3人，則（

）A．三項(xiàng)都參加的有1人 B．只參加拔河的有3人C．只參加4人足球的有2人 D．只參加羽毛球的有4人【答案】BC【分析】應(yīng)用容斥原理求出三項(xiàng)都參加的同學(xué)人數(shù)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)是參加拔河的同學(xué)，是參加4人足球的同學(xué)，是參加羽毛球的同學(xué)，則，，，又，，所以，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加拔河的有3人，只參加4人足球的有2人，只參加羽毛球的有1人．故選：BC題型二十集合新定義（共5小題）61．（24-25高一上·山西·期中）（多選）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則是一個(gè)戴德金分割B．若，，則是一個(gè)戴德金分割C．若中有最大元素，中沒(méi)有最小元素，則可能是一個(gè)戴德金分割D．若中沒(méi)有最大元素，中沒(méi)有最小元素，則可能是一個(gè)戴德金分割【答案】BCD【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項(xiàng)，分別舉例，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，此時(shí)有最大元素1，沒(méi)有最小元素，滿足是一個(gè)戴德金分割，故C正確；對(duì)于D，如B選項(xiàng)，此時(shí)沒(méi)有最大元素，沒(méi)有最小元素，滿足是一個(gè)戴德金分割，故D正確.故選：BCD.62．（24-25高一上·廣東·期中）設(shè)，為非空實(shí)數(shù)集，定義，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】分別利用題中的概念判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可；【詳解】選項(xiàng)A，由題可知，，故正確；選項(xiàng)B,,所以，同理所以，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，，故當(dāng)集合中沒(méi)有元素時(shí)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由題可知，但是可能為空集，所以選D錯(cuò)誤；故選：AB63．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是實(shí)數(shù)集的非空子集，若，則稱集合為閉集合.(1)若集合均是閉集合.求證：是閉集合；(2)若集合均是閉集合.集合一定是閉集合嗎？如果是請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)舉出反例；(3)若均是閉集合，且都是的真子集.求證：存在常數(shù)，但.【答案】(1)證明見解析(2)不一定，舉例見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)閉集合定義及集合交集運(yùn)算即可證明；（2）根據(jù)閉集合定義及集合并集運(yùn)算即可判斷；（3）根據(jù)閉集合定義、真子集及集合并