3/3專題07函數(shù)的應(yīng)用（零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)模型）（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律7.1函數(shù)零點(diǎn)的概念與求法能理解零點(diǎn)的定義，會(huì)求簡單函數(shù)的零點(diǎn)（令f(x)=0求解）。概念理解題。7.2零點(diǎn)存在性定理的理解與應(yīng)用能判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是否連續(xù)，并驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，從而判斷零點(diǎn)存在性。高頻考點(diǎn)，易錯(cuò)在“連續(xù)”條件的忽視。7.3判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)能通過圖象法（兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)）或單調(diào)性法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。常見中等題，數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用。7.4二分法求方程近似解的原理與步驟能敘述二分法的原理和操作步驟，理解其“逐步逼近”的思想。了解性考點(diǎn)，通常不要求具體計(jì)算。7.5一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用能根據(jù)實(shí)際問題建立直線或二次函數(shù)模型解決最優(yōu)值等問題?；A(chǔ)應(yīng)用模型。7.6指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（增長、衰減、復(fù)利等）能識(shí)別指數(shù)增長/衰減的特征，并建立相應(yīng)模型解決實(shí)際問題。期中應(yīng)用題壓軸題型，符合當(dāng)前命題趨勢(shì)。7.7函數(shù)模型的選擇與評(píng)價(jià)能根據(jù)數(shù)據(jù)特征或散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理性分析?？疾閿?shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的最高層次知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)y=fx，把使fx=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=fx的零點(diǎn).函數(shù)y=fx的零點(diǎn)就是方程f方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系：方程fx=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=fx的圖象與x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y=fx知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有fa?fb<0，那么函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈a,b知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)知識(shí)點(diǎn)04幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0知識(shí)點(diǎn)05零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，知識(shí)點(diǎn)06證明零點(diǎn)存在的步驟（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在知識(shí)點(diǎn)07三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)08常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)知識(shí)點(diǎn)09解函數(shù)模型問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：題型一求函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)解｜題｜技｜巧函數(shù)零點(diǎn)即函數(shù)值為0時(shí)的自變量值，解方程(f(x)=0)可得零點(diǎn)。（2）結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值，輔助確認(rèn)零點(diǎn)是否存在及個(gè)數(shù)（如端點(diǎn)值異號(hào)則區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)）。【典例1】（24-25高一上·河南鄭州·期中）（多選）函數(shù)的零點(diǎn)有（

）A．0 B． C． D．3【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合因式分解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，或，故選：BC【典例2】（24-25高一上·黑龍江伊春·期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令，則，作出的圖象，把問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．【詳解】令，則，在同一直角坐標(biāo)系中作出的圖象，

由圖可知，的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)．故選：B．【變式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則=【答案】/【分析】由零點(diǎn)定義可得答案.【詳解】令，得的零點(diǎn)為1與，則.故答案為：【變式2】（24-25高一上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】2【分析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求的表達(dá)式，作圖數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.【詳解】由得，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由題意得，，則，∴.如圖，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，觀察圖象可知，函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)．故答案為：2.題型二用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間解｜題｜技｜巧確認(rèn)函數(shù)在區(qū)間([a,b])上連續(xù)（如多項(xiàng)式、指對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的組合通常連續(xù)）。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，則區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可進(jìn)一步判斷區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性。【典例1】（24-25高一上·河南開封·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)基本初等函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)性，在利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).故選：C.【變式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析函數(shù)單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且.故選：B.【變式2】（24-25高一上·北京海淀·期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷在上的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).故選：B題型三求方程的根及根的個(gè)數(shù)解｜題｜技｜巧將方程變形為(f(x)=0)，方程的根等價(jià)于函數(shù)(f(x))的零點(diǎn)。分析函數(shù)(f(x))的單調(diào)性、根據(jù)極值（跨章節(jié)）的正負(fù)判斷函數(shù)與x軸的交點(diǎn)數(shù)。（3）結(jié)合函數(shù)定義域和極限趨勢(shì)，綜合判斷根的個(gè)數(shù)?！镜淅?】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫圖分析即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖得兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故原方程根的個(gè)數(shù)為2．故選：B．【變式1】（24-25高一上·山東淄博·期中）已知方程有唯一的根，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先判斷函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，從而得到即可.【詳解】設(shè)，則.即，故關(guān)于對(duì)稱.又有唯一的根，則，故，解得.故選：B【變式2】已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】結(jié)合分段函數(shù)、周期函數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)的含義結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖像求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，即則的周期為畫出函數(shù)的圖像，令則又因?yàn)閯t由圖可知方程的根的個(gè)數(shù)即為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)闀r(shí)，當(dāng)時(shí)，則在兩函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則在兩函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則在兩函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則兩函數(shù)無零點(diǎn).綜上所述，兩函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).故選：D.題型四求圖象的交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)【典例1】（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出的圖象，根據(jù)圖形即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，作的圖象如下，

由圖可知，函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D．【變式1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函數(shù).(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間及值域；(2)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)作圖見解析，答案見解析(2)【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的變換即可作出的圖象，再數(shù)形結(jié)合即可得到的單調(diào)區(qū)間及值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象是由的圖象向下平移兩個(gè)單位而得，而的圖象是由的圖象保留軸上方的圖象，再將軸下方的圖象沿著軸向上翻折而得，所以的大致圖象如圖，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)?（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函數(shù)，其中(1)用定義證明：函數(shù)，在上單調(diào)遞增(2)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍(3)已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用單調(diào)性的定義可證明；（2）作出示意圖，數(shù)形結(jié)合可求得的取值范圍；（3）作出示意圖，數(shù)形結(jié)合可求得的取值范圍；【詳解】（1），，且，，，，故，即，在上單調(diào)增．（2）如圖：只要即可，的取值范圍為；

（3）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，也就是方程有一個(gè)解，如圖可知，

只要，即，的取值范圍為題型五指數(shù)函數(shù)模型【典例1】（24-25高一上·浙江溫州·期中）一個(gè)質(zhì)量為的物體在空氣中以初始速率落下，假設(shè)空氣阻力大小與物體的速率滿足（為正常數(shù)）可求得在時(shí)刻物體的速率，其中自然常數(shù)，為重力加速度的大小，按照此模型，可推得（

）A．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率減小，但始終大于B．當(dāng)時(shí)，隨?變大，物體速率增大，且始終大于C．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率減小，且始終小于D．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率增大，最終會(huì)等于【答案】A【分析】根據(jù)題目條件，結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷關(guān)于的變化情況即可.【詳解】時(shí)，由，可得，故恒成立，又，，由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)于是單調(diào)遞減函數(shù)，于是隨著變大，物體速率減小，A正確B錯(cuò)誤；時(shí)，由，可得，故恒成立，又，由指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)于是單調(diào)遞增函數(shù)，于是隨著變大，物體速率變大，CD均錯(cuò)誤；故選：A.【變式1】（24-25高一上·四川瀘州·期中）在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.15%的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，那么經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的（

）A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍【答案】D【分析】題目考察指數(shù)型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)原數(shù)量為，根據(jù)題意可分別列出30天后和60天后的數(shù)量的指數(shù)表達(dá)式，從而得到倍數(shù)關(guān)系.【詳解】某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為，則，所以經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：所以經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍.故選：D.【變式2】（24-25高一上·廣東惠州·期中）某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（

）小時(shí).A．20 B．22 C．33 D．24【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，所以，解得，所以.故選：D題型六對(duì)數(shù)函數(shù)模型【典例1】（24-25高一上·廣東佛山·期中）豬血木又名陽春紅檀，原產(chǎn)于廣東陽江陽春市、廣西平南縣和巴馬縣，是中國特有的單種屬瀕危植物，屬于國家一級(jí)保護(hù)植物和極小種群野生植物．豬血木不僅實(shí)現(xiàn)了人工繁育，在陽江陽春市儲(chǔ)備苗木近10萬株，還被引種到廣州、深圳、韶關(guān)、云浮等地．某地引種豬血木1000株，假設(shè)該地的豬血木數(shù)量以每年10%的比例增加，且該地的豬血木數(shù)量超過2000株至少需要經(jīng)過年，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由題可得，然后由對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】由題意得，則，解得．因?yàn)椋裕蔬x：B【變式1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應(yīng)的值，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.【詳解】由題意，將信噪比從2000提升至10000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.【變式2】（24-25高一上·江蘇連云港·期中）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.若甲地發(fā)生里氏4.5級(jí)地震，乙地發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，則乙地地震釋放出的能量是甲地地震釋放出的能量的（

）A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)關(guān)系式求得甲地能量、乙地能量，再做商即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，甲地里氏4.5級(jí)地震的能量為，則，即，乙地里氏8.0級(jí)地震的能量為，則，即，所以，即乙地地震釋放出的能量是甲地地震釋放出的能量的倍.故選：C題型七建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例1】（24-25高一上·廣東·期中）中國芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現(xiàn)強(qiáng)勁實(shí)力和競(jìng)爭力．中國自主創(chuàng)新，多項(xiàng)技術(shù)取得突破，全球布局加速.現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入108萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入100萬元(1)求該芯片公司買該套生產(chǎn)設(shè)備產(chǎn)生的前年的總盈利額；(2)使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種，方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以30萬元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以54萬元的價(jià)格處理，哪種方案較為合理?并說明理由(注：年平均盈利額=總盈利額使用年限)【答案】(1)，(2)方案二更合理，理由見解析【分析】（1）依題意可得，即可得到解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出方案一的總利額，再由，利用基本不等式求出年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)的值，即可求出方案二的總利額，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，；（2）方案一：總盈利額，又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，此時(shí)處理掉設(shè)備，則總利額為萬元；方案二：年平均盈利額為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；即時(shí)，年平均盈利額最大，此時(shí)，此時(shí)處理掉設(shè)備：總利潤為萬元；綜上，兩種方案獲利都是萬元，但方案二僅需要年即可，故方案二更合適．【典例2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）東莞廣播電視臺(tái)旗下的電商平臺(tái)—“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)優(yōu)勢(shì)，主要銷售東莞制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及東莞對(duì)口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對(duì)接渠道.近一個(gè)月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等農(nóng)特產(chǎn)品在東莞熱銷.通過對(duì)過去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每千克的銷售價(jià)格（單位：元/千克）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（，且為常數(shù)），日銷售量（單位：千克）關(guān)于第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：9141822295459635952已知第9的日銷售收入為552元.(1)求的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型（簡要說明理由）來描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)（單位：元）；求函數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)比較合適，(3)元【分析】（1）根據(jù)日銷售收入等于日銷售數(shù)量與日銷售單位的乘積進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性進(jìn)行判斷選擇即可；（3）根據(jù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合（2）的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榈?的日銷售收入為552元，所以有；（2）由函數(shù)、、的解析式可知：這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性要么在定義域內(nèi)遞增，要么遞減，要么是常值函數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)在定義域內(nèi)，即有單調(diào)遞減又有遞增的情況，而函數(shù)在時(shí)，在時(shí)是單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由列表可知：的單調(diào)性是先增后減，因此合適，把代入，得，顯然也滿足函數(shù)的解析式；（3）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述：函數(shù)的最小值元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一是根據(jù)表中數(shù)據(jù)反映出的單調(diào)變化選擇函數(shù)的解析式，之二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解.【變式1】（24-25高一上·江蘇南京·期中）兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在縣城外以為直徑的半圓?。ú缓瑑牲c(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理站，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對(duì)城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點(diǎn)到城市的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為.(1)將表示成的函數(shù)；(2)判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在；出該點(diǎn)到城的距離為【分析】（1）由已知可得，再由當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為求出即可；（2）由（1）得，令，換元后由基本不等式求解即可；【詳解】（1）由為直徑，得，所以，由已知可得，又當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為，即當(dāng)時(shí)，，代入上式可得，解得，所以.（2）存在，，令，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí).【變式2】某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案，要求獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過90萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過投資收益的20%.即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為時(shí)，該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時(shí)，①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.(1)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①；②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？(2)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)模型：②符合公司要求；(2)．【解析】(1)由判斷函數(shù)模型：①不符合條件③，故不符合公司要求；一一驗(yàn)證函數(shù)模型：②滿足題目給出的三個(gè)條件，說明函數(shù)模型：②符合公司要求；(2)由說明符合條件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值時(shí)滿足的條件求出a滿足②③的范圍，取交集即可．【詳解】(1)對(duì)于函數(shù)模型：①，驗(yàn)證條件③：當(dāng)時(shí)而即不成立，故不符合公司要求；對(duì)于函數(shù)模型：②，當(dāng)時(shí)，條件①是增函數(shù)滿足；∴，滿足條件②；對(duì)于條件③：記則∵∴當(dāng)時(shí)，∴恒成立，即條件③也成立.故函數(shù)模型：②符合公司要求.(2)∵，∴函數(shù)符合條件①；由函數(shù)符合條件②，得，解得：；由函數(shù)符合條件③，得對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=50時(shí)等號(hào)成立，∴綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍．【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：(1)求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)求解應(yīng)用性問題時(shí)，不僅要考慮函數(shù)本身的定義域，還要結(jié)合實(shí)際問題理解自變量的取值范圍．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：20分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·貴州·期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出、、與、，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】由題意知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，，，，，則函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.2．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫圖分析即可.【詳解】由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)（），（）兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖得兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故原方程根的個(gè)數(shù)為2．故選：B．3．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位:）可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為，那么當(dāng)耗氧量的單位數(shù)為時(shí)，鮭魚的游速為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解出當(dāng)耗氧量的單位數(shù)為時(shí)的值.【詳解】根據(jù)題意，，則當(dāng)耗氧量的單位數(shù)為時(shí)，.故選：C4．（24-25高一上·廣東東莞·期中）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年【答案】D【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)方程，取對(duì)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)第年該政府全年投入的資金翻兩番，依題意得：，因此該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是2032年，故選：D5．（24-25高一上·廣東惠州·期中）某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（

）小時(shí).A．20 B．22 C．33 D．24【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，所以，解得，所以.故選：D6．（24-25高一上·山東淄博·期中）若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，再作出函數(shù)圖象即可得到實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】函數(shù)有零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，作出與的大致圖象如圖所示，由圖可知，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為與有3個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意可知，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即和有3個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，

若與有3個(gè)交點(diǎn)，則.故選：C二、解答題8．（24-25高一上·湖南懷化·期中）某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物.據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人在0.5小時(shí)內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每升血液中的藥物含量（毫克）與開始注射后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線，與的函數(shù)關(guān)系為且.根據(jù)圖中提供的信息：(1)寫出開始注射該藥后每升血液中藥物含量（毫克）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每升血液中藥物含量不少于0.08毫克時(shí)該藥有效，那么該藥的藥效時(shí)間有多長？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)第一次藥物注射完成2小時(shí)后，馬上進(jìn)行第二次注射，則第二次注射完成后再過1小時(shí)，該人每毫升血液中藥物含量為多少毫克？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.（參考值：）【答案】(1)(2)藥效時(shí)間2.81小時(shí)(3)0.52毫克【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象分段求解函數(shù)解析式即可；(2)根據(jù)題意列出不等式，求解出答案即可；(3)分別求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入得，解得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)且，將?（1，1代入得，解得，此時(shí)，.綜上：.（2）當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，即而，故藥效時(shí)間所以，藥效時(shí)間2.81小時(shí).（3）完成第二次注射藥物1小時(shí)后每升血液中第一次注射藥物的含量：，每升血液中第二次注射藥物的含量：，所以此時(shí)兩次注射藥物后的藥物含量為：0.52毫克.期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題9．（24-25高一上·江蘇南通·期中）把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有85的物體，放在25℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是75.若要將物體的溫度降為45，需要冷卻的時(shí)間為（

）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出，，從而求得，代入，即可利用公式求解；【詳解】由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，于是，整理得，當(dāng)，于是，所以，故，將代入可得，故，故.故選：B10．（24-25高一上·遼寧盤錦·期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，解不等式組確定參數(shù)取值范圍.方法二：對(duì)解析式變形，在統(tǒng)一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解法一：當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間內(nèi)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，顯然在上恒成立，此時(shí)無內(nèi)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，又在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或或，即或或，解得或或．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.解法二：由，得，又，所以，所以，令，，，要使在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需直線與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知或，解得或，所以的取值范圍是．故選：C.11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用基本函數(shù)的圖象，得到的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)椋蓤D知，即，解得．故選：C．12．（24-25高一上·河南·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)單調(diào)，且等式恒成立，則方程根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到，將題意轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)在上單調(diào)遞增，，，求解即可.【詳解】設(shè)①，則，由①令得，在上單調(diào)遞增，，得，所以，對(duì)于方程，即，兩邊除以x得，令函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，所以方程有唯一根．故選：A．13．（24-25高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求解二次方程，即可求得的結(jié)果，根據(jù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】由得，解得或，畫出函數(shù)的圖象如下，由圖可知，要使方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則必有與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)或與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即，，符合題意；當(dāng)，即，，符合題意；則實(shí)數(shù)取值范圍值是.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多選題14．（24-25高一上·廣西桂林·期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若，則C．方程有2個(gè)解D．若，則【答案】AB【分析】化簡的解析式，畫出的圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、方程的解等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，畫出的圖象如下圖所示，由于可知，