6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例（精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，而，又由已知可得，所以.故選：D2．如圖，在中，，P是BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意得：設(shè)，則又由，不共線，解得：故選：D3．一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對岸．已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為．設(shè)船行駛方向與水流方向的夾角為，若船的航程最短，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)航線垂直于河岸時，航程最短，如圖，在中，，所以，所以，所以，故選：C4．已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，所以的大小為，故選：B5．人騎自行車的速度為，風(fēng)速為，則逆風(fēng)行駛的速度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題得v1和v2都是向量，根據(jù)向量的加法運算得逆風(fēng)行駛的速度為.故選：C.6．如圖，一個力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，的大小為50N，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為（

）A．1000J B． C．2000J D．500J【答案】A【詳解】解：因為且與小車的位移方向的夾角為，又力作用于小車，使小車發(fā)生了40米的位移，則力做的功為．故選：A．7．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.8．圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為．已知禮物的質(zhì)量為，降落傘自身的重量為，每根繩子的拉力大小相同．則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度取，精確到）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，如圖，，在上的投影向量為，根繩子拉力的合力；降落傘勻速下落，，，解得：.故選：C.二、多選題9．在日常生活中，我們會看到兩人共提一個行李包的情境（如圖）假設(shè)行李包所受重力均為，兩個拉力分別為，若與的夾角為，則以下結(jié)論正確的是（）A．的最小值為 B．的范圍為C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ACD【詳解】根據(jù)受力分析，如圖所示：對于A，當(dāng)行李包處于平衡狀態(tài)時，，正確；對于B，當(dāng)時，沒有向上的分力，錯誤；對于C，當(dāng)時，，正確；對于D，當(dāng)時，，正確；故選：ACD10．在保證公平的情況下，兩個人共同手提一個行李包．假設(shè)行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為．下列結(jié)論正確的為（

）A．越大越費力，越小越省力 B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】ABD【詳解】因為為定值,,解得，由題意知時,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,即越大越費力,越小越省力,故正確，正確;當(dāng)時,,所以,故C錯誤;當(dāng)時,,所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題11．如圖，已知是半徑為圓心角為的一段圓弧上的一點，若，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系，則，，，，由，則，即有，∵，∴.故答案為：12．已知，，現(xiàn)有動點P從開始，沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒，另一動點Q從開始，沿著與向量相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒，設(shè)P，Q在時分別在，處，則當(dāng)時所需的時間t為______s.【答案】2【詳解】由題意得，則，與其方向相同的單位向量為，，則，與其方向相同的單位向量為，如圖，則，，故，，又，，∴，，，∴.∵，∴，即，解得.故當(dāng)時所需的時間t為.故答案為：2四、解答題13．如圖，在邊長為2的等邊三角形中，D是的中點.(1)求向量與向量的夾角；(2)若O是線段上任意一點，求的最小值.【答案】(1)(2)(1)由題意可得，，，.因為，故向量與向量的夾角為.(2).當(dāng)時，取得最小值，且最小值為.14．如圖，長江某地南北兩岸平行，江面的寬度d＝1km，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸在A的正北方向．(1)當(dāng)時，判斷游船航行到北岸時的位置是在圖中的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由．(2)當(dāng)多大時，游船能到達處？需航行多長時間？【答案】(1)左側(cè)，理由見解析；(2)，時間為h.(1)時，游船水平方向的速度大小為=1，方向水平向左，故最終到達北岸時游船在點的左側(cè)；(2)若游船能到處，則有，則有，此時游船垂直江岸方向的速度，時間h.B能力提升15．在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC邊上一點，且．(1)若P為△ABC內(nèi)一點（不包含邊界），且PB＝1，求的取值范圍；(2)若AD上一點K滿足，過K作直線分別交AB，AC于M，N兩點，設(shè)，，△AMN的面積為，四邊形BCNM的面積為，且，求實數(shù)k的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取的中點，所以，因為為的中點，所以，所以，又因為PB＝1，所以，故，故的取值范圍.（2）因為，所以，因為，，，所以，也即，因為點三點共線，所以①因為，所以，所以，又因為，所以，所以②，由①得：，將其代入②式可得：，所以當(dāng)時，取最大值.16．如圖1，在中，，，點是的中點.（1）求證：；（2）直線過點且垂直于，為上任意一點，求證：為常數(shù)，并求該常數(shù)；（3）如圖2，若，為線段上的任意一點，求的范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，；（3）.【詳解】解：（1）中，延長到使得到長度相等，連接，，∵是線段的中點，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∵.∴.（3）中，∵，，又，∴，∴，由（1）同理可證，∴.設(shè)，則，，的范圍是.C綜合素養(yǎng)17．如圖，分別是矩形的邊和上的動點，且.（1）若都是中點，求.（2）若都是中點，是線段上的任意一點，求的最大值.（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）以點A為原點建系，得,,，∴.（2）由（1）知，設(shè)，∴，，∴當(dāng)時，最大值.（3）設(shè)，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故最小值是.18．根據(jù)指令（，），機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉(zhuǎn)角度（按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時為正，按順時針方向旋轉(zhuǎn)時為負），再朝其面對的方向沿直線行走距離r.(1)機器人位于直角坐標系的坐標原點，且面對x軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點；(2)機器人在完成（1）中指令后，發(fā)現(xiàn)在點處有一小球正向坐標原點做勻速直線運動.已知小球運動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，問：機器人最快可在何處截住小球？并給出機器人截住小球所需的指令（?。?【答案】(1)