.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【考點(diǎn)歸納】【知識梳理】知識點(diǎn)一：一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：?=b2①當(dāng)?=b2②當(dāng)?=b2③當(dāng)?=b2知識點(diǎn)二：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么知識點(diǎn)三：有關(guān)根與系數(shù)的關(guān)系的兩個(gè)重要推論（1）以為實(shí)數(shù)根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么【題型探究】題型一：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例1】．（24-25九年級上·貴州遵義）若是一元二次方程的兩個(gè)根，則（

）A．4 B． C．7 D．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）若是一元二次方程的兩個(gè)根，則．題型二：由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值【例2】．（24-25九年級上·天津和平·階段練習(xí)）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級上·福建福州·階段練習(xí)）若a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）一元二次方程的兩根為，，則．題型三：由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值【例3】．（25-26九年級上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是、，滿足，那么的值為．【跟蹤訓(xùn)練1】．（2023九年級上·湖南邵陽·競賽）設(shè)實(shí)數(shù)m，n分別滿足，，=．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級上·全國）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為．題型四：由方程兩根滿足關(guān)系求字母的值【例4】．（25-26九年級上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知關(guān)于的方程的兩根分別是方程兩根的相反數(shù)，則的值為（

）．A．-2 B．-1 C．0 D．1【跟蹤訓(xùn)練1】．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且，則k的值為（

）A． B． C．1 D．7【跟蹤訓(xùn)練2】．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026題型五：不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的問題【例5】．（2025·河北邯鄲·三模）已知一元二次方程，則該方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．兩根互為相反數(shù)C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．兩根之和為4【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26九年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知一元二次方程的兩根分別是，，則一元二次方程的根為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2】．（2025·河北邯鄲·三模）已知關(guān)于的一元二次方程，以下不正確的是（）A．此方程必有實(shí)數(shù)根 B．若方程有一個(gè)根為，則另一個(gè)根為C．兩根之積為 D．兩根之和為題型六：根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用【例6】．（24-25九年級上·全國·期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根滿足，求k的值【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25九年級上·四川瀘州·期中）已知關(guān)于x的方程：．(1)求證：無論m取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)設(shè)，是方程的兩個(gè)根，且，求m的值．【跟蹤訓(xùn)練2】．（25-26九年級上·江蘇南京·開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若，求的值；(3)若方程有一個(gè)根不小于5，求的取值范圍．題型七：根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題【例7】．（2023·湖北黃石·一模）閱讀理解材料：已知實(shí)數(shù)滿足，且．根據(jù)材料．求的值．解：由題知是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，．解決以下問題：(1)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則___________，___________．(2)已知實(shí)數(shù)滿足，且，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)滿足，且，求的值．【跟蹤訓(xùn)練1】．（24-25八年級下·湖南長沙·期末）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程（）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，則稱這樣的方程為“鄰根方程”．(1)下列方程是“鄰根方程”的是______（填序號）．①；②；③；④．(2)若方程是“鄰根方程”，，是方程的兩根，求：①請求出k的值；②求方程的兩個(gè)根．【跟蹤訓(xùn)練2】．（24-25九年級下·山東青島·自主招生）如果方程的兩個(gè)根是、，那么，請根據(jù)以上結(jié)論解決下列問題．(1)已知關(guān)于的方程，求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)．(2)已知滿足，，求的值．【高分演練】一、單選題1．（25-26九年級上·福建福州·開學(xué)考試）若是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級上·廣東潮州·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，已知，則m的值為（

）A． B． C．1 D．23．（25-26九年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）設(shè)a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．0 B．2025 C．2024 D．20234．（24-25八年級下·山東煙臺·期末）在中，對角線，的長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，則k的取值范圍是（

）．A．且 B．C． D．5．（24-25九年級上·湖南株洲·開學(xué)考試）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別解一道一元二次方程，甲因把一次項(xiàng)系數(shù)看錯(cuò)了，而解得方程兩根為和5，乙把常數(shù)項(xiàng)看錯(cuò)了，解得兩根為和，則原方程是（

）A． B． C． D．6．（25-26九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程的兩根之和為，兩根之積為，則關(guān)于的方程的兩根之積為（）A． B． C． D．7．（24-25九年級上·河南濮陽·階段練習(xí)）【新考向】對一元二次方程，某學(xué)習(xí)小組給出了下列結(jié)論：甲：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；乙：設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為，，則有，，丙：這個(gè)方程利用因式分解法最簡單，其根為；?。哼@個(gè)方程的解為，老師看后說只有兩個(gè)同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則這兩位同學(xué)是（

）A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁8．（25-26九年級上·北京海淀·開學(xué)考試）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．9．（2025·廣西梧州·三模）已知實(shí)數(shù)，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值是（）A． B． C． D．二、填空題10．（25-26九年級上·北京·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是．11．（25-26九年級上·四川涼山·期末）已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，且該方程的兩根互為倒數(shù)，則的值為．12．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則．13．（20-21九年級上·遼寧鞍山·期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，則．14．（24-25九年級下·河北滄州·階段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)根，那么=，，，三、解答題15．（25-26九年級上·浙江紹興·開學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若該方程有一個(gè)根是，求k的值．(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求k的值．16．（25-26九年級上·山西運(yùn)城·開學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有一個(gè)根為3，求方程的另一個(gè)根．17．（25-26九年級上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)證明：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且滿足，求m的值．18．（24-25九年級上·廣東肇慶·期中）【知識技能】材料：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則，．材料：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴，，則．【數(shù)學(xué)理解】（1）一元二次方程的兩個(gè)根為，，則_____，______．【拓展探索】（2）已知一元二次方程的兩根分別為，，求的值．（3）已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．19．（24-25九年級下·山東青島·階段練習(xí)）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩