2026屆北京市第171中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)，若實數(shù)是函數(shù)的零點，且，則（）A. B.C. D.無法確定2．等差數(shù)列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.3．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.4．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.5．在空間直角坐標系下，點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.6．設函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.7．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數(shù)應為（）A.5 B.10C.8 D.98．設.若，則＝（）A. B.C. D.e9．函數(shù)的部分圖像為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.11．已知拋物線內(nèi)一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.12．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.14．在單位正方體中，點E為AD的中點，過點B，E，的平面截該正方體所得的截面面積為______.15．已知直線l1：（1）x+y﹣2=0與l2：（1）x+ay﹣4=0平行，則a=_____.16．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項公式__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關系，并證明你的結(jié)論18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：19．（12分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數(shù)比乙多的概率.20．（12分）某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；（2）在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望21．（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數(shù)；（2）根據(jù)回歸方程預測當單價為10元時的銷量.22．（10分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因為函數(shù)在遞減，又實數(shù)是函數(shù)的零點，即，又因為，所以，故選：A2、C【解析】由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選3、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.4、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D5、C【解析】根據(jù)空間坐標系中點的對稱關系求解【詳解】點關于平面的對稱點的坐標為，故選：C6、A【解析】求導后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了導數(shù)的計算，考查了求導函數(shù)值，屬于基礎題.7、B【解析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數(shù)為人故選：B8、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.9、D【解析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導判斷單調(diào)性可排除A.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，排除C；因為，排除B；當時，，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，排除A.故選：D10、C【解析】設，根據(jù)題意，可知的方程為直線，根據(jù)原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.11、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.12、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】函數(shù)有兩個不同零點即y=a與g(x)=圖像有兩個交點，畫出近似圖象即得a的范圍﹒【詳解】∵函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，令，則y=a與g(x)=圖像有兩個交點，∵，∴當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴當時，，作出函數(shù)與的圖象，∴當時，y=a與g(x)有兩個交點﹒故答案為：﹒14、【解析】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，分析可得四邊形為平行四邊形，則要求的截面就是四邊形，進而可得為菱形，連接、，求出、的長，計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，取的中點，連接、、、，易得，，則四邊形為平行四邊形，過點，，的截面就是，又由正方體為單位正方體，則，則為菱形，連接、，易得，，則，即要求截面的面積為，故答案為：15、2【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解【詳解】因為已知兩直線平行，所以，解得故答案為：【點睛】本題考查兩直線平行的充要條件，兩直線平行的充要條件是，或，在均不為0時，用表示容易理解與記憶16、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢數(shù)列”的定義可得“追夢數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進而可得若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進而由等比數(shù)列的通項公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢數(shù)列”，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.18、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件建立有關參變量的等量關系（2）涉及到直線方程時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分19、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的題數(shù)比乙多這個事件是，然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗的樣本空間，.共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發(fā)生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，根據(jù)獨立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以..因此，甲答對的題數(shù)比乙多的概率為.20、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識計算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應的概率，進而得到分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】名同學中，會法語的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；選派的人中恰有人會法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望為21、（1）25