專題2.2分式的加法和減法（舉一反三講義） 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1同分母分式的加減】 2【題型2最簡公分母】 3【題型3通分】 4【題型4異分母分式的加減】 6【題型5整式與分式的加減】 8【題型6已知分式恒等式確定分子或分母】 11【題型7分式的加減混合運算】 13【題型8分式加減的實際應用】 16知識點2分式的通分1.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．2.幾個分式通分時，通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，它叫做最簡公分母．3.通分的步驟（1）求各分式的最簡公分母；（2）用這個最簡公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．知識點2分式的加減1.同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減．用式子表示為ac2.異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減．用式子表示為ab【題型1同分母分式的加減】【例1】（2024·山東臨沂·模擬預測）若1x+1=A?2x+1x+1，則A是（）A．?3 B．2 C．3 D．?2【答案】B【分析】本題考查的是分式的加減法，根據(jù)題意得出關于A的等式，求出A的值即可．【詳解】解：∵1x+1=A?∴A=1故選：B．【變式11】（2025·河南三門峽·二模）化簡4m?2?mA．?m?2 B．m?2 C．m?2m+2 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的減法計算即可．本題考查了同分母分式的加減，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：4=4?故選：A．【變式12】若Ax+Bx?3=5xx?3+3x?13?x【答案】21【分析】根據(jù)同分母分式的加減計算，再按對應項相同可得答案．【詳解】解：Ax+B==∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關鍵是掌握分式加法的運算法則．【變式13】（2024·河北唐山·三模）若a，b互為倒數(shù)，且a≠b，則分式a2ba?bA．0 B．?1 C．?2 D．1【答案】D【分析】本題考查了同分母分式的減法，分式的化簡求值，倒數(shù)的定義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．先根據(jù)分式的減法進行計算，再化簡，結(jié)合倒數(shù)的定義，最后求得答案．【詳解】∵a，b互為倒數(shù)，∴ab=1a∵a≠b∴故選：D．【題型2最簡公分母】【例2】1a+1?1A．a(chǎn)+1a?1 B．a(chǎn)+1C．a(chǎn)?1a2?2a+1【答案】D【分析】確定最簡公分母的一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各項系數(shù)的最小公倍數(shù)和所有字母的最高次冪的積，②如果各分母都是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當做一個字母，再從系數(shù)、相同字母求最簡公分母．【詳解】解：1a+1?1故選：D．【點睛】本題考查了最簡公分母，掌握求最簡公分母的方法是解題的關鍵．【變式21】（2425八年級下·江蘇南京·期末）分式23ab，1a2b，【答案】6【分析】本題考查了分式的最簡公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．根據(jù)最簡公分母的定義解答即可．【詳解】解：分式23ab，1a2b，故答案為：6a【變式22】分式2x2(x+y)2與A．x4y4 B．(x2+y2)(x2﹣y2) C．(x﹣y)4 D．(x+y)2(x﹣y)【答案】D【分析】把第二個分式的分母分解因式，然后根據(jù)最簡公分母的確定方法解答．【詳解】解：∵x2y2=（x+y）（xy），∴（x+y）2與x2y2的最簡公分母為（x+y）2（xy），故選D．【點睛】本題考查了最簡公分母的確定，關鍵在于對分母正確分解因式．【變式23】（2425八年級下·河南周口·期末）分式1x?2，23x+6，3x【答案】3x【分析】本題考查了最簡公分母．根據(jù)最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母即可求出答案．【詳解】解：23x+6=2∴分式1x?2，23x+6，3x故答案為：3xx+2【題型3通分】【例3】將分式11?a2與分式a+1a2?2a+1通分后，a+1aA．1?a B．1+a C．?1?a D．?1+a【答案】A【分析】先根據(jù)最簡公分母是（1+a)(1?a)2，將分式11【詳解】11故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的通分，確定最簡公分母是通分的關鍵．【變式31】（2223八年級上·湖南婁底·期中）把y4x2，56xy通分，則y4x2【答案】3y2【分析】先找出y4x2，56xy的最簡公分母12x2y【詳解】解：y4x2故答案為：3y212【點睛】本題考查分式通分，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)．分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．【變式32】分式1x2?3x與1【答案】x+3xx+3【分析】根據(jù)分式通分的方法求解即可．【詳解】解：∵x2?3x=xx?3∴分式1x分式1x故答案為x+3xx+3x?3【點睛】此題考查了分式的通分，解題的關鍵是熟練掌握分式通分的方法．【變式33】（2324八年級上·山東聊城·期中）通分：(1)x2x?42，16x?3(2)?18x4y【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查通分，找到各分母的最簡公倍數(shù)是解題的關鍵．（1）根據(jù)2x?42，6x?3x2，x（2）根據(jù)8x4y，3x2【詳解】（1）解：2x?42，6x?3x2，x2?4x2x?416x?32xx（2）解：8x4y，3x2y3?12356x【題型4異分母分式的加減】【例4】（2425七年級下·安徽蚌埠·期中）觀察如圖佳佳計算x?3x2?4x?3x2?4+=x?3(x+2)(x?2)=x?3?x?2

③=?5

A．運算完全正確 B．第①②兩步都有錯C．只有第③步有錯 D．第②③兩步都有錯【答案】D【分析】本題考查分式的加減運算，解題的關鍵是需正確進行通分和符號處理，并保持分母的存在．先進行通分再進行同分母分式的加減運算即可．【詳解】解：x?3=x?3=x?3=x?3?x?2=?5綜上，第②步和第③步均存在錯誤，故選：D．【變式41】（2025·陜西寶雞·模擬預測）化簡m+1m?n?1A．1 B．m?nmn C．n?mmn 【答案】D【分析】本題考查異分母分式的減法，關鍵是掌握異分母分式的減法的計算法則．首先通分變成同分母，再根據(jù)同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減進行計算，即可解題．【詳解】解：m+1m故選：D．【變式42】（2425八年級上·天津河西·期末）已知x+5(x+1)(x?3)=Ax+1?Bx?3【答案】?1?2【分析】本題考查了分式減法運算，等式右邊進行通分運算后得A?B=1?3A?B=5【詳解】解：A==A?B∵x+5(x+1)(x?3)∴A?B=1?3A?B=5解得：A=?1B=?2故答案：?1，?2．【變式43】（2425八年級上·四川綿陽·期末）如果a>1，那么式子5a?12與5aA．5a?12>C．5a?12【答案】A【分析】本題考查了分式的減法，把5a?12與【詳解】解：5=====10a?10∵a>1，∴a?12>0，a2∴10a?10a?1∴5a?1∴5a?1故選：A．【題型5整式與分式的加減】【例5】（2024·四川廣安·模擬預測）已知a2?3a+1=0，則4a【答案】3【分析】本題主要考查求分式的值，其解題的關鍵是合理的變形及整體代入；由a2?3a+1=0變形得【詳解】解：∵a∴a∴4=4(=?4+3a?2+=3a?6+====3．故答案為：3.【變式51】計算2x?1?1，結(jié)果是（A．1x?1 B．?1 C．2x?2 【答案】D【分析】對原式進行通分化簡，然后進一步計算出答案即可.【詳解】由題意得：2x?1?1=2x?1故選：D.【點睛】本題主要考查了分式的減法，熟練掌握相關方法是解題關鍵.【變式52】計算a2a?b?a?b【答案】b【分析】根據(jù)分式的加減運算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式====b故答案為：b2【點睛】本題考查了分式的加減運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．【變式53】（2425七年級下·浙江寧波·期末）在分式中，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”，當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”，假分式可以化成“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，如：2x+3x+1=2(1)判斷下列“假分式”化成“帶分式”的結(jié)果是否正確（填寫“是”或者“否”）．①xx?1=1+1x?1（

）；②(2)若分式4a+3a?1的值為整數(shù)，求滿足條件的所有正整數(shù)a(3)若分式3x+63?2x和1x的值同時為整數(shù)，求滿足條件的所有實數(shù)【答案】(1)①是；②否(2)2或8(3)x=13【分析】本題主要考查分式化簡，新定義運算，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）①根據(jù)題中所給新定義和所給方法進行計算判斷即可；②根據(jù)題中所給新定義和所給方法進行計算判斷即可；（2）由題中所給方法化為帶分式的形式即可；（3）設a=1x，則x=1a，且a為整數(shù)，a≠0，則有3x+63?2x【詳解】（1）解：①由題意可得：xx?1故答案為：是；②a==a+1+1+=a+2+1故答案為：否；（2）解：4a+3a?1=4a?1∵該分式的值為整數(shù)，∴a?1的值可為±7，±1，又∵a為正整數(shù)，∴a的值為2或8；（3）解：∵分式3x+63?2x和1∴設a=1x，則x=1a，且∴3x+6∴3a?2=±1或3a?2=±7，解得a=1或a=13（舍去）或a=3或∴x=13或【題型6已知分式恒等式確定分子或分母】【例6】（2324八年級上·吉林長春·期末）閱讀：分式3x?2x+1可進行如下變形：3x?2探索：如果5x?3x+2=5+mx+2，則總結(jié)：如果ax+bx+c=a+mx+c（其中a，b，c為常數(shù)），則應用：利用上述結(jié)論解決：若代數(shù)式4x?3x?1的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x【答案】探索：?13；總結(jié)：b?ac；應用：2或0【分析】本題主要考查了分式化簡求值，準確分析計算是解題的關鍵．探索：把已知式子展開成5+?13總結(jié)：根據(jù)條件化式子為ax+bx+c應用：根據(jù)已知條件得到4x?3x?1=4+1【詳解】解：探索：5x?3x+2所以m=?13；總結(jié)：ax+bx+c∴m=b?ac；應用：∵4x?3x?1又∵代數(shù)式4x?3x?1∴1x?1∴x?1=1或x?1=?1，∴x=2或0．【變式61】若3x?4(x?1)(x?2)=K【答案】1【分析】根據(jù)分式的加減和恒等關系即可求解．【詳解】解：原式變形，得3x?4(x?1)(x?2)＝3k∴3K＝3，4K＝4，解得K＝1．故答案為1．【點睛】本題考查了分式的加減，解決本題的關鍵是恒等關系變形．【變式62】已知4xx2+4=Ax+Bx+Cx【答案】1?10【分析】通過通分，把等式右邊的分式相加求和，再根據(jù)分式恒等原理，比較各項系數(shù)，即可求解.【詳解】∵Ax又∵4x∴Ax∴A+B=04A=4C=0故答案是：1，?1，0.【點睛】本題主要考查異分母分式的加法法則，通過通分把等式右邊分式相加求和，是解題的關鍵.【變式63】（2223七年級上·湖南長沙·階段練習）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【詳解】解：∵6x3∴6∴6x∴當x=0時，B+D=0①當x=1時，A+B+3C+D=16當x=?1時，3B?A∵6x即6∴A+C=6④聯(lián)立①②③④解之得A=C=3、B=?2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了部分分式的計算，題目比較復雜，解題時首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關于A、B、C、D的方程組即可解決問題．【題型7分式的加減混合運算】【例7】（2025·江西贛州·一模）計算：aa解：原式=a=a(1)第一步的依據(jù)是_____，運用的方法是____________；①分式的基本性質(zhì)；②分式的加減法則；③分式的通分；④分式的約分法則．(2)計算：x2【答案】(1)①；③；(2)1．【分析】本題主要考查分式加減運算，先通分，然后計算加減法即可，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，通分即可得出結(jié)果；（2）先把分子分母因式分解，約分，再計算加減即可．【詳解】（1）解：解：第一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，運用的方法是分式的通分，故答案為：①；③；（2）解：x=====1．【變式71】（2024·陜西榆林·模擬預測）先化簡，再求值：xx+2?x【答案】?4x+2【分析】根據(jù)異分母分式相加減的法則進行計算即可．本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握異分母分式相加減的法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式====?4當x=?1【變式72】（2324八年級上·全國·單元測試）計算：(1)12(2)3x+2(3)1?1(4)a2【答案】(1)6y+8y(2)4x+2(3)2xx?1(4)aa+1【分析】本題考查了分式的加減混合運算，熟練掌握運算法則及運算順序是解題的關鍵．（1）先通分，再根據(jù)同分母分式的加減運算法則計算，即可得出答案；（2）先通分，再根據(jù)同分母分式的加減運算法則計算，即可得出答案；（3）括號內(nèi)先通分，再根據(jù)同分母分式的加減運算法則計算，即可得出答案；（4）括號內(nèi)先通分，分子分母分解因式，再根據(jù)同分母分式的加減運算法則計算，即可得出答案．【詳解】（1）解：1==6y+8（2）解：3====4（3）解：1?===2x（4）解：a===a【變式73】計算：(1)1x(x+1)(2)2a?b?c(a?b)(a?c)【答案】(1)2023(2)0【分析】本題主要考查分式的運算，熟練掌握分式的運算是解題的關鍵；（1）先根據(jù)分式的性質(zhì)進行變形，然后再利用分式的加減運算可進行求解；（2）根據(jù)分式的加法運算可進行求解【詳解】（1）解：原式===2023（2）解：原式==1【題型8分式加減的實際應用】【例8】（2425八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）某工程隊要修路a米，原計劃平均每天修b米．因天氣原因，平均每天少修c米（c<b）．因此，實際完成工程的時間比原計劃推遲的天數(shù)為（

）A．a(chǎn)bbb?c B．a(chǎn)cbb?c C．【答案】B【分析】此題考查了分式的加減運算的應用，根據(jù)原計劃和實際的工作效率，分別求出完成時間，再計算兩者的差值即為推遲天數(shù)．【詳解】原計劃時間為：總路程為a米，原計劃每天修b米，故原計劃完成時間為ab實際時間為：實際每天修b?c米，故實際完成時間為ab?c∴推遲天數(shù)為實際時間減去原計劃時間，∴a===ac故選：B．【變式81】（2425八年級上·重慶·期末）兩地相距n千米，提速前火車從一地到另一地要用t小時，提速后行車時間減少了1小時，提速后火車比原來速度快了千米/小時．(結(jié)果化為最簡形式)【答案】n【分析】本題主要考查了分式加減運算的應用、列代數(shù)式等知識點，掌握整式的加減運算法則成為解題的關鍵．先根據(jù)題意表示出提速前后火車的速度，然后作差并運算即可解答．【詳解】解：由題意可得：提速前火車速度為：nt，提速前火車速度為：n提速后火車比原來速度快了nt?1故答案為：nt【變式82】（2425九年級下·陜西西安·階段練習）汽油的單價會隨著各種因素不斷變動，一段時間內(nèi)，某人計劃去加油站加兩次油，兩次加油時汽油單價不同，現(xiàn)有兩種加油方案：甲方案：每次加油的總金額固定；乙方案：每次所加的油量固定．若規(guī)定平均單價越低，則該加油方案越實惠，不考慮其他因素影響，則（

）A．甲方案實惠 B．乙方案實惠C．哪種方案實惠需由兩次油價決定 D．兩種方案一樣實惠【答案】A【分析】本題主要考查了比較法在不等式大小比較中的應用，設兩次加油的油價分別為a，b>0且a≠b將兩次加油的平均油價分別用a，b表示出來，作差即可比較大?。驹斀狻拷猓涸O兩次加油的油價分別為a，b>0且a≠b，甲方案：設每次加油總金額為W，則平均油價x=2W乙方案：設每次加油量為N，則平均油價y=aN+bN則x?y=2ab因為，a，b>0且a≠b，所以，a+b>0