專題14.2全等三角形的判定（一）（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1“邊角邊”（SAS）證明三角形全等】 2【題型2“角邊角”（ASA）證明三角形全等】 3【題型3“角角邊”（AAS）證明三角形全等】 4【題型4“邊邊邊”（SSS）證明三角形全等】 5【題型5三角形的穩(wěn)定性】 6【題型6斜邊、直角邊定理（HL）證明三角形全等】 8【題型7靈活選用方法證明三角形全等】 9【題型8二次證明三角形全等】 11知識點1基本事實“邊角邊”（SAS）1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊”或“SAS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點2基本事實“角邊角”（ASA）1.兩邊及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“角邊角”或“ASA”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點3“角邊角”的推論“角角邊”（AAS）1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等．簡寫成“角角邊”或“AAS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點4基本事實“邊邊邊”（SSS）1.三邊分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或“SSS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點5三角形的穩(wěn)定性生活經(jīng)驗告訴我們，如果一個三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小就完全確定，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的穩(wěn)定性在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用．例如：房屋的人字形支架、電線桿支架、斜拉橋架等，利用三角形的穩(wěn)定性，使生活中的建筑經(jīng)久耐用．知識點6斜邊、直角邊定理（HL）1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá):如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′∴Rt【題型1“邊角邊”（SAS）證明三角形全等】【例1】（2425八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．點E為AD上一點．則圖中全等三角形有對．【變式11】（2425八年級上·福建泉州·期末）數(shù)學(xué)課上老師布置了“測量錐形瓶底面的內(nèi)徑”的探究任務(wù)，善思小組想到了以下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒AD，BC的中點O固定，只要測得C，D之間的距離，就可知道內(nèi)徑AB的長度，此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【變式12】（2025九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF（點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上）．求證：△ABC≌△DEF．【變式13】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【題型2“角邊角”（ASA）證明三角形全等】【例2】如圖，已知∠3=∠4，要說明△ABC≌△DCB，若以“ASA【變式21】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【變式22】（2425八年級上·云南臨滄·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，AB=AD，∠B=∠D．求證：△ABC≌△ADE．【變式23】如圖，要測量池塘兩岸M、N兩點間的距離，可以在直線MN上取A，B兩點，再在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC=CD，過點D再畫出BF的垂線DE，使點E與A，C在一條直線上，若此時測得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，則池塘兩岸M，N【題型3“角角邊”（AAS）證明三角形全等】【例3】（2425八年級上·四川眉山·期末）如圖，∠ACB=90°，CA=CB，分別過點A，B作過點C的直線的垂線AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，則A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【變式31】（2425八年級上·重慶萬州·期中）如圖，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加的條件可以是下列選項中的（

）A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF【變式32】（2425七年級下·上海松江·階段練習(xí)）如圖．已知AD是△ABC邊BC的中線．CE∥BF，CE、BF與直線AD的交點分別為點E、F，請說明△CDE與△BDF全等的理由．【變式33】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四個結(jié)論：①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④

【題型4“邊邊邊”（SSS）證明三角形全等】【例4】如圖，AD＝CB，E，F(xiàn)是AC上兩動點，且有DE＝BF(1)若E，F(xiàn)運動如圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF；(2)若E，F(xiàn)運動如圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？(3)若E，F(xiàn)不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．【變式41】（2425八年級上·四川瀘州·期末）分水油紙傘是瀘州市江陽區(qū)分水嶺鎮(zhèn)特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著許多數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的判定依據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式42】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，D是BC上一點，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE．【變式43】（2425八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度數(shù)．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2425七年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，我們可以看到跪姿射擊的動作，由左手、左肘、左肩構(gòu)成的托槍姿勢可以使射擊者在射擊過程中保持槍的穩(wěn)定，這里蘊含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．兩點之間，線段最短B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．兩點確定一條直線D．三角形的穩(wěn)定性【變式51】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，小明將一根吸管折疊后，伸入一個空玻璃瓶中，使吸管一端頂住瓶壁，再輕輕一提，瓶子就被提起來了．這其中用到的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短C．垂線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性【變式52】如圖，小明做了一個長方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請你幫他選擇一個最好的加固方案是．【變式53】（2025·廣東江門·一模）三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上根木條．【題型6斜邊、直角邊定理（HL）證明三角形全等】【例6】（2425八年級上·上海長寧·期末）小明同學(xué)提出：用一把直尺就可以畫出一個角的平分線．具體操作如下：首先把直尺的一邊與∠AOB的一邊OB貼合，沿著直尺的另一邊畫直線l（如圖1）；隨后移動該直尺，把直尺的一邊與∠AOB的一邊OA貼合，沿著直尺的另一邊畫直線m（如圖2），直線l與直線m交于點P，則射線OP就是∠AOB的平分線．請指出這種畫法的依據(jù)是（請寫本學(xué)期所學(xué)的數(shù)學(xué)知識）：．

【變式61】如圖，DC⊥AE，垂足為C，且AC=CD，點B在CD上，若用“HL”證明△ABC≌△DEC，則需添加的條件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E【變式62】（2425八年級下·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=∠BAC，F(xiàn)為邊AB延長線上的一點，點E在BC上，且AE=CF．求證：Rt△ABE≌【變式63】（2425八年級下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，點C，D均在線段AB上，且AD=BC，分別過點C，D在AB的異側(cè)作FC⊥AB，ED⊥AB，連接EF交AB于點G，(1)求證：DE=CF．(2)求證：G是線段AB的中點．【題型7靈活選用方法證明三角形全等】【例7】（2425八年級上·河南信陽·期末）【問題提出】我們知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面對于“SSA”，課本第38頁提供了如下材料：思考：如圖1，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC．固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD，這個實驗說明了什么？這個實驗說明：有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那么，什么情況下，“SSA”成立呢？數(shù)學(xué)興趣小組對兩個三角形按角進(jìn)行分類，展開了以下探究．【初步思考】我們不妨設(shè)這個對應(yīng)角為∠B，然后對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】(1)第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌(2)第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．如圖3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，李明由（1）受到了啟發(fā)，很快證出了△ABC≌△DEF．請聰明的你完成李明的推理過程；(3)第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．①如圖4，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，則△ABC≌△DEF的結(jié)論是否仍然成立；請說明成立的理由；②如圖4，△ABC和△DEF是不全等的，∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：．【變式71】（2425八年級上·山西晉城·期末）如圖，已知△ABC各內(nèi)角的度數(shù)和各邊的長度．下面是同學(xué)們用不同的方法畫出的三角形，并將所畫三角形的三個元素標(biāo)出，則所畫三角形不一定與△ABC全等的是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式72】（2425七年級下·北京·期中）下列條件中能確定△ABC的形狀與大小的有．①AB=3，BC=7，CA=11，②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；③∠A=30°，AB=7，BC=11；④∠A=30°，AB=14，BC=9．【變式73】（2425九年級上·貴州遵義·期中）如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AD=FC，∠A=∠EDF，請從以下三個選項中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，選擇一個選項作為已知條件，使得△ABC≌△DEF．(1)你選擇添加的選項是______（填序號）；(2)添加條件后，請證明△ABC≌△DEF．【題型8二次證明三角形全等】【例8】（2425八年級上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形ACBD中，E是對角線AB上一點，AC=AD，BC=BD，求證：△AEC≌△AED．【變式81】（2425七年級下·全國·隨堂練習(xí)）如圖，△ABC和△DCB的頂點A和D在BC的同側(cè)，AB=DC，AC=DB，AC交DB于點O，試說明：△ABO≌△DCO．下面是小明的解答過程：解：在△ABC和△DCB中，因為AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以△ABC?△OBC≌△DCB?△OBC，所以△ABO≌△DCO．請問小明的解法正確嗎？如果不正確，請改正過來．【變式82】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求證：∠A=∠D．【變式83】在解決線段數(shù)量關(guān)系問題