2025年高三數(shù)學(xué)高考填空題速解技巧模擬試題一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊速解技巧及模擬試題（一）特殊值代入法針對抽象函數(shù)或含參數(shù)問題，通過代入特殊值（如0、1、-1）或特殊函數(shù)（如常函數(shù)、一次函數(shù)）可快速突破。例如：例1已知函數(shù)$f(x)$對任意$x,y\in\mathbb{R}$滿足$f(x+y)=f(x)f(y)$，且$f(1)=2$，則$f(0)+f(2)=$______。速解：令$x=0,y=0$，得$f(0)=f(0)^2$，解得$f(0)=1$（$f(0)=0$舍去，否則$f(1)=f(1+0)=0$矛盾）；令$x=y=1$，得$f(2)=f(1)^2=4$，故答案為$1+4=5$。（二）導(dǎo)數(shù)幾何意義速算法對于切線問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)方程可避免復(fù)雜計算。例2曲線$y=x^3-2x$在點(diǎn)$(a,b)$處的切線與直線$y=4x+3$平行，則$a=$______。速解：$y'=3x^2-2$，切線斜率$k=3a^2-2=4$，解得$a=\pm\sqrt{2}$。（三）模擬試題若函數(shù)$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在區(qū)間$(-2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是______。已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$有兩個零點(diǎn)，則$a$的取值范圍是______。設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$的圖像過點(diǎn)$(0,1)$，且在$x=1$處的切線方程為$y=2x-1$，則$b+c+d=$______。二、三角函數(shù)與平面向量模塊速解技巧及模擬試題（一）三角恒等變換公式逆用利用“配角公式”（如$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})$）可簡化求值問題。例3已知$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{3}$，$\theta\in(0,\pi)$，則$\sin2\theta=$，$\cos2\theta=$。速解：平方得$1+\sin2\theta=\frac{1}{9}$，故$\sin2\theta=-\frac{8}{9}$；由$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$知$2\theta\in(\pi,2\pi)$，$\cos2\theta=-\sqrt{1-\sin^22\theta}=-\frac{\sqrt{17}}{9}$。（二）向量數(shù)量積幾何意義法通過向量投影或模長公式轉(zhuǎn)化數(shù)量積問題，避免坐標(biāo)運(yùn)算。例4在$\triangleABC$中，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=4$，$\angleBAC=60^\circ$，則$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$______。速解：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^2=3\times4\times\cos60^\circ-9=6-9=-3$。（三）模擬試題已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\cos2\alpha}=$______。在平面直角坐標(biāo)系中，向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol=(m,1)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)$，則$m=$______。函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值為______，最小值為______。三、立體幾何模塊速解技巧及模擬試題（一）空間向量坐標(biāo)法建立空間直角坐標(biāo)系后，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解線面角、二面角等問題，替代傳統(tǒng)幾何證明。例5正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為2，$E$為$C_1D_1$中點(diǎn)，則直線$AE$與平面$BB_1D_1D$所成角的正弦值為______。速解：以$D$為原點(diǎn)建系，$A(2,0,0)$，$E(0,1,2)$，$\overrightarrow{AE}=(-2,1,2)$，平面法向量$\boldsymbol{n}=(1,1,0)$，$\sin\theta=|\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AE}||\boldsymbol{n}|}|=\frac{|-2+1|}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。（二）割補(bǔ)法求體積通過分割或補(bǔ)形將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為柱體、錐體等基本幾何體。例6三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則三棱錐外接球的表面積為______。速解：補(bǔ)形為長方體，體對角線長$\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}$，外接球半徑$R=\frac{\sqrt{17}}{2}$，表面積$4\piR^2=17\pi$。（三）模擬試題已知圓錐的母線長為$3$，側(cè)面積為$3\pi$，則該圓錐的體積為______。在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$\angleABC=90^\circ$，$AB=BC=AA_1=2$，則異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值為______。正四棱錐的底面邊長為$2$，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則其側(cè)面積為______。四、解析幾何模塊速解技巧及模擬試題（一）圓錐曲線定義法利用橢圓、雙曲線、拋物線的定義轉(zhuǎn)化距離問題，避免聯(lián)立方程。例7已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左焦點(diǎn)為$F$，點(diǎn)$P$在雙曲線右支上，且$|PF|=4a$，$Q$為$PF$中點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$|OQ|=$______。速解：設(shè)右焦點(diǎn)為$F'$，則$|PF|-|PF'|=2a$，$|PF'|=2a$，$OQ$為$\trianglePFF'$中位線，$|OQ|=\frac{1}{2}|PF'|=a$。（二）韋達(dá)定理整體代入法在直線與圓錐曲線相交問題中，利用韋達(dá)定理表示弦長、中點(diǎn)坐標(biāo)等，減少計算量。例8直線$y=kx+1$與拋物線$y^2=4x$交于$A,B$兩點(diǎn)，若$|AB|=5$，則$k=$______。速解：聯(lián)立得$k^2x^2+(2k-4)x+1=0$，$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{(2k-4)^2-4k^2}}{k^2}=5$，解得$k=\pm\frac{4}{3}$。（三）模擬試題橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，則$m=$______。拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，點(diǎn)$P$在拋物線上，且$|PF|=5$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為______。已知雙曲線$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為$y=\pm2x$，且過點(diǎn)$(1,2\sqrt{3})$，則雙曲線$C$的方程為______。五、數(shù)列與不等式模塊速解技巧及模擬試題（一）等差、等比數(shù)列性質(zhì)法利用中項公式、求和公式性質(zhì)簡化計算，如$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$成等差數(shù)列（公差為$n^2d$）。例9等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=9$，$S_6=36$，則$S_9=$______。速解：$S_3,S_6-S_3,S_9-S_6$成等差數(shù)列，即$9,27,S_9-36$成等差，$2\times27=9+(S_9-36)$，解得$S_9=81$。（二）不等式放縮法通過“裂項相消”“基本不等式”等方法證明數(shù)列求和不等式。例10數(shù)列${a_n}$的通項公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，其前$n$項和為$S_n$，則$S_n<$______。速解：$a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，$S_n=1-\frac{1}{n+1}<1$。（三）模擬試題等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1+a_3=10$，$a_4+a_6=\frac{5}{4}$，則公比$q=$______。已知正項數(shù)列${a_n}$滿足$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，且$a_1=1$，則$a_5$的整數(shù)部分為______。若不等式$x^2+ax+1\geq0$對一切$x\in(0,\frac{1}{2}]$恒成立，則$a$的最小值為______。六、概率統(tǒng)計與排列組合模塊速解技巧及模擬試題（一）古典概型列舉法通過列表、樹狀圖等方式列舉基本事件，避免重復(fù)或遺漏。例11從1,2,3,4,5中任取2個數(shù)，記事件$A$為“兩數(shù)之和為偶數(shù)”，則$P(A)=$______。速解：基本事件共10個，事件$A$包含(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4個，$P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。（二）二項分布期望公式直接利用$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$計算期望與方差。例12隨機(jī)變量$X\simB(5,\frac{1}{2})$，則$E(X)=$，$D(X)=$。速解：$E(X)=5\times\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，$D(X)=5\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$。（三）模擬試題某小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加活動，則至少有1名女生的概率為______。已知一組數(shù)據(jù)$1,2,3,4,a$的平均數(shù)為3，則該組數(shù)據(jù)的方差為______。某射手射擊命中率為0.8，獨(dú)立射擊3次，恰好命中2次的概率為______。七、多空題綜合速解技巧2025年高考填空題新增多空題，需注意各空之間的邏輯關(guān)聯(lián)，利用前一空結(jié)論簡化后一空計算。例13已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\leq0\\ln(x+1),x>0\end{cases}$，則$f(f(-1))=$；若$f(x)=a$有三個零點(diǎn)，則$a$的取值范圍是。速解：$f(-1)=(-1)^2-2(-1)=3$，$f(3)=\ln4$；分段函數(shù)圖像在$x\leq0$時頂點(diǎn)為$(1,-1)$（開口向上），$x>0$時$\ln(x+1)$遞增，故$a\in(-1,0)$。模擬試題19.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，則$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為______；若$f(x)$在區(qū)間$[a,a+2]$上的最大值為2，則$a=$。20.在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{3}$，則$c=$；$\sinA=$______。參考答案$(\frac{1}{2},+\infty)$2.$(0,\frac{1}{e})$3.14.$\frac{5}{2}$5.56.$\sqrt{2},1$7.$\frac{2\sqrt{2}\