2025年高三數(shù)學(xué)高考為你加油版模擬試題一、選擇題（本大題共10小題，每題6分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與邏輯用語已知集合(A={x|\log_2(x-1)<2})，集合(B={x|x^2-4x+3\leq0})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B))等于（）A.((1,2))B.((2,3))C.((3,5))D.((1,5))解析提示：先解對數(shù)不等式確定集合(A)，再解二次不等式確定集合(B)，最后通過補(bǔ)集與交集運(yùn)算得出結(jié)果。注意對數(shù)函數(shù)定義域的限制哦！2.函數(shù)與反函數(shù)函數(shù)(f(x)=2^x+x-3)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（），且其反函數(shù)(f^{-1}(x))的圖像大致為（）A.((0,1))，過點(diǎn)((-2,0))的單調(diào)遞增曲線B.((1,2))，過點(diǎn)((0,-2))的單調(diào)遞增曲線C.((1,2))，過點(diǎn)((-2,0))的單調(diào)遞減曲線D.((2,3))，過點(diǎn)((0,-2))的單調(diào)遞減曲線加油小貼士：零點(diǎn)存在性定理是“利器”，反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于(y=x)對稱，記得通過原函數(shù)圖像特征推導(dǎo)反函數(shù)哦！3.三角函數(shù)與數(shù)學(xué)文化我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中記載“勾股容圓”問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意為：直角三角形兩直角邊分別為8步和15步，求其內(nèi)切圓直徑。若在該直角三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（）A.(\frac{\pi}{10})B.(\frac{\pi}{12})C.(\frac{\pi}{14})D.(\frac{\pi}{16})文化鏈接：本題源自中國古代數(shù)學(xué)智慧，先通過勾股定理求斜邊，再用公式(r=\frac{a+b-c}{2})（(a,b)為直角邊，(c)為斜邊）求內(nèi)切圓半徑，最后計(jì)算幾何概型概率。為古人的智慧點(diǎn)贊！4.平面向量與幾何在平行四邊形(ABCD)中，(E)為(BC)中點(diǎn)，(F)為(AE)中點(diǎn)，若(\overrightarrow{AB}=\vec{a})，(\overrightarrow{AD}=\vec)，則(\overrightarrow{DF}=)（）A.(-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec)B.(\frac{3}{4}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec)C.(-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec)D.(\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{3}{4}\vec)技巧點(diǎn)撥：向量分解時，可通過“首尾相接”法則逐步推導(dǎo)，也可建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，兩種方法都試試吧！5.復(fù)數(shù)與運(yùn)算已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|+z\cdot\overline{z}=)（）A.(\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5}{2})B.(\frac{5\sqrt{2}}{2}+5)C.(\sqrt{10}+\frac{5}{2})D.(\sqrt{10}+5)得分口訣：復(fù)數(shù)除法要“分母實(shí)數(shù)化”，模的運(yùn)算可借助(|z|^2=z\cdot\overline{z})簡化計(jì)算，別算錯啦！6.立體幾何與空間向量在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(M)為(A_1D_1)中點(diǎn)，(N)為(CC_1)中點(diǎn)，則直線(BM)與平面(B_1MN)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\frac{\sqrt{6}}{3})C.(\frac{\sqrt{10}}{5})D.(\frac{2\sqrt{5}}{5})空間想象小助手：建系！以(D)為原點(diǎn)，(DA,DC,DD_1)為坐標(biāo)軸，用空間向量法求線面角，公式(\sin\theta=|\cos\langle\vec{a},\vec{n}\rangle|)要牢記！7.概率統(tǒng)計(jì)與貝葉斯定理某醫(yī)院使用兩種檢測方法診斷某疾?。悍椒ˋ的準(zhǔn)確率為90%（患病者90%被確診，健康者90%被排除），方法B的準(zhǔn)確率為80%。已知該疾病在人群中的患病率為1%，若某人用方法A檢測結(jié)果為陽性，則其實(shí)際患病的概率為（）A.(\frac{9}{109})B.(\frac{9}{100})C.(\frac{8}{108})D.(\frac{8}{100})現(xiàn)實(shí)應(yīng)用：本題考查貝葉斯定理，設(shè)“患病”為事件(A)，“檢測陽性”為事件(B)，則(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})})，代入數(shù)據(jù)即可！8.數(shù)列與數(shù)學(xué)建模某企業(yè)2023年研發(fā)投入為100萬元，計(jì)劃每年比上一年增加(x%)的研發(fā)投入，若到2025年底（共3年）累計(jì)研發(fā)投入不少于364萬元，則(x)的最小值為（）A.10B.12C.15D.20生活中的數(shù)列：這是等比數(shù)列求和問題，累計(jì)投入(S=100+100(1+x%)+100(1+x%)^2\geq364)，設(shè)(t=1+x%)，轉(zhuǎn)化為二次不等式求解，注意(t>1)哦！9.圓錐曲線與多空題已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為2，右焦點(diǎn)為(F)，過(F)的直線與雙曲線右支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(AB)的斜率為________；若雙曲線(C)的實(shí)軸長為2，則其漸近線方程為________。多空題技巧：第一空用焦半徑公式或韋達(dá)定理，第二空由離心率(e=\frac{c}{a}=2)及(a=1)求(b)，漸近線方程(y=\pm\frac{a}x)別記錯符號！10.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則(a=)；若函數(shù)(f(x))的圖像與直線(y=m)有三個不同交點(diǎn)，則(m)的取值范圍是。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，先求導(dǎo)(f'(x)=3x^2-6x+a)，由(f'(-1)=0)且(f'(3)=0)求(a)；再求極大值與極小值，(m)需介于兩者之間！二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）11.不等式與線性規(guī)劃若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，則(z=x+2y)的最大值為________，此時((x,y)=)________。12.三角函數(shù)與圖像變換函數(shù)(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))的圖像向左平移(\frac{\pi}{6})個單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為________；該函數(shù)在([0,\frac{\pi}{2}])上的單調(diào)遞減區(qū)間為________。13.概率與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（滿分150分），得到頻率分布直方圖如圖所示（圖略，假設(shè)數(shù)據(jù)分組為[80,90),[90,100),...,[140,150]），若成績不低于120分為“優(yōu)秀”，則估計(jì)該校高二年級數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為________；若這100名學(xué)生成績的中位數(shù)為110，則(x=)________（注：直方圖中[100,110)組的頻率為(x)）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）14.三角函數(shù)與解三角形（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\sinB=\frac{5}{13})。（1）求(\sinC)的值；（2）若(a=10)，求(\triangleABC)的面積。加油提示：注意角的范圍！由(\cosA>0)知(A)為銳角，(\sinB=\frac{5}{13})需判斷(B)是否為鈍角，再用(C=\pi-A-B)求(\sinC)！15.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法（12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+2^n)。（1）證明：數(shù)列({\frac{a_n}{2^n}})是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)，并證明：對任意(n\in\mathbb{N}^*)，(S_n\geqn(n-1))。遞推數(shù)列技巧：第（1）問構(gòu)造新數(shù)列，兩邊同除以(2^{n+1})即可；第（2）問用錯位相減法求和，放縮證明不等式時可嘗試數(shù)學(xué)歸納法！16.立體幾何與空間向量（12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)，(M)為(PD)中點(diǎn)。（1）求證：(PB\parallel)平面(ACM)；（2）求二面角(A-CM-D)的余弦值?？臻g向量大法：（1）連(BD)交(AC)于(O)，證明(OM\parallelPB)即可；（2）建系后求平面(ACM)與平面(DCM)的法向量，再算夾角余弦值，注意二面角與法向量夾角的關(guān)系！17.概率統(tǒng)計(jì)與回歸分析（12分）為研究某地區(qū)居民月收入（單位：千元）與月消費(fèi)支出（單位：千元）的關(guān)系，隨機(jī)抽取10戶家庭，得到如下數(shù)據(jù)：|月收入(x)|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11||--------------|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----||月消費(fèi)(y)|1.5|2|2.5|3|3.5|4|4.5|5|5.5|6|（1）求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})；（2）若該地區(qū)某家庭月收入為12千元，預(yù)測其月消費(fèi)支出；（3）計(jì)算相關(guān)系數(shù)(r)（精確到0.01），并判斷線性相關(guān)程度（參考數(shù)據(jù)：(\sumx_i=65)，(\sumy_i=40)，(\sumx_i^2=505)，(\sumy_i^2=175)，(\sumx_iy_i=285)）?；貧w公式：(\hat=\frac{n\sumx_iy_i-(\sumx_i)(\sumy_i)}{n\sumx_i^2-(\sumx_i)^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x})，相關(guān)系數(shù)(r=\frac{n\sumx_iy_i-(\sumx_i)(\sumy_i)}{\sqrt{[n\sumx_i^2-(\sumx_i)^2][n\sumy_i^2-(\sumy_i)^2]}})，(|r|)越接近1相關(guān)性越強(qiáng)！18.圓錐曲線與綜合應(yīng)用（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(diǎn)(P(0,2))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，是否存在直線(l)，使得以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說明理由。圓錐曲線綜合：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})及(a^2=b^2+c^2)，結(jié)合點(diǎn)((2,1))代入方程求解；（2）設(shè)直線(l:y=kx+2)，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理及(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)求(k)！19.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a\in\mathbb{R}))。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極值，且對任意(x\in(0,+\infty))，(f(x)\leq0)恒成立，求(a)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若(b>a)，證明：(\frac{\lnb-\lna}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}})。導(dǎo)數(shù)壓軸題策略：（1）求導(dǎo)后通分，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)區(qū)間；（2）由(f'(1)=0)求(a)，再驗(yàn)證極值點(diǎn)，恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題；（3）構(gòu)造函數(shù)(g(x)=2\lnx-x+\frac{1}{x}(x>1))，證明其單調(diào)遞減即