專題01特殊的平行四邊形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律菱形的性質(zhì)與判定掌握菱形的定義、性質(zhì)和判定方法，能運(yùn)用這些知識解決與菱形相關(guān)的計(jì)算和證明問題高頻考點(diǎn)，常與矩形、正方形等知識綜合考查，在選擇題、填空題、解答題中均有出現(xiàn)矩形的性質(zhì)與判定掌握矩形的定義、性質(zhì)和判定方法，能運(yùn)用這些知識解決與矩形相關(guān)的計(jì)算和證明問題高頻考點(diǎn)，常結(jié)合三角形、菱形、正方形等知識綜合考查，在各類題型中廣泛出現(xiàn)正方形的性質(zhì)與判定掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定方法，能運(yùn)用這些知識解決與正方形相關(guān)的計(jì)算和證明問題核心考點(diǎn)，是菱形和矩形知識的綜合，常與其他特殊四邊形、三角形等知識結(jié)合，在幾何綜合題中高頻考查四邊形綜合能綜合運(yùn)用各種特殊四邊形（平行四邊形、菱形、矩形、正方形）的性質(zhì)與判定，解決復(fù)雜的四邊形相關(guān)問題重要考點(diǎn)，多為幾何綜合題，考查對特殊四邊形知識的綜合運(yùn)用能力，在解答題中較為常見知識點(diǎn)01菱形的性質(zhì)與判定1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì)性質(zhì)符號語言圖示邊菱形的四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線菱形的對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【解題技巧】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形；3）菱形的兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形；3.菱形的面積公式：4.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴?ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴?ABCD是菱形知識點(diǎn)02矩形的性質(zhì)與判定1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的性質(zhì)性質(zhì)符號語言圖示角四個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對角線兩條對角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【解題技巧】1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經(jīng)常會用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.3.矩形的判定判定定理符號語言圖示角有一個角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形有三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形知識點(diǎn)03正方形的性質(zhì)與判定1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補(bǔ)充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.3.正方形的判定：定義法有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角判定定理已知是矩形時有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+一組鄰邊相等對角線互相垂直的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直已知是菱形時有一個角是直角的菱形是正方形菱形+一個角是直角對角線相等的菱形是正方形菱形+對角線相等知識點(diǎn)04四邊形綜合1.特殊平行四邊形的性質(zhì)對比四邊形邊角對角線對稱性矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形、中心對稱圖形菱形對邊平行且四條邊都相等對角相等兩條對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形、中心對稱圖形正方形對邊平行且四條邊都相等四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形、中心對稱圖形2.矩形、菱形、正方形的判定四邊形邊角對角線矩形1）平行四邊形+一直角2）四邊形+三直角平行四邊形+兩條對角線相等菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等2）四邊形+四條邊都相等平行四邊形+兩條對角線互相垂直正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角矩形+對角線互相垂直菱形+對角線相等平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角題型一利用菱形的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧1）菱形的對角線互相垂直平分，因此涉及菱形的問題常會在直角三角形中解決；2）菱形的四條邊相等，因此菱形與等腰三角形、等邊三角形的綜合應(yīng)用較多，利用菱形的性質(zhì)求線段、角時，注意菱形與其他幾何知識的結(jié)合.1．（2425九年級上·全國·課后作業(yè)）在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，△AEF是等邊三角形，若AE=AB，則∠2．（2425九年級上·廣東茂名·階段練習(xí)）菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，則菱形ABCD的周長為．3．（2425九年級上·江西吉安·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC和DB相交于點(diǎn)O，AC=8，DB=6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則4．（2425九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB邊上的一點(diǎn)，E,?F分別是題型二利用菱形的性質(zhì)證明5．（2425九年級上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在菱形ABCD中，E是DB延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD延長線上一點(diǎn)，連接AE,CE,CF,6．（2425九年級上·湖北孝感·期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=α，點(diǎn)E在對角線BD上，將線段DE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)角α，得到DF，連接AF、CE7．（2425九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F(xiàn)為射線BC和CD上一點(diǎn)，(1)如圖，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，求證：CE=(2)在圖中，若AB=4，求四邊形AECF題型三證明四邊形是菱形解｜題｜技｜巧判定一個四邊形是菱形的關(guān)鍵是能把已知條件轉(zhuǎn)化為判定菱形時所需要的條件，如在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件即可判定其為菱形;若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需四條邊都相等才可判定其為菱形.重難點(diǎn)一添一個條件使四邊形是菱形8．（2425九年級上·寧夏中衛(wèi)·期末）如圖，添加下列條件不能判定平行四邊形ABCD是菱形的是（

）A．AD=AB B．ACC．OA=OC，OB=9．（2425九年級上·全國·課后作業(yè)）?ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，分別添加下列條件：①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BADA．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2425九年級上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，連接ED并延長ED到點(diǎn)F，使CF∥AB．連接CE，AF重難點(diǎn)二證明四邊形是菱形11．（2425九年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，AC平分∠12．（2425九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在四邊形ABCD，AD∥BC，連接BD，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，連接CO并延長交AD于點(diǎn)E，EC⊥BD，連接13．（2425九年級上·安徽六安·期末）已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM(1)△ABM(2)四邊形MENF是菱形．題型四根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解解｜題｜技｜巧判定一個四邊形是菱形的關(guān)鍵是能把已知條件轉(zhuǎn)化為判定菱形時所需要的條件，如在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件即可判定其為菱形;若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需四條邊都相等才可判定其為菱形.14．（2324八年級下·湖南益陽·期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線BD的垂直平分線分別交BD、AD、(1)求證：四邊形BEDF是菱形；(2)若∠AEB=62°，求15．（2025·黑龍江大慶·中考真題）如圖．在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)B，點(diǎn)D關(guān)于(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)過點(diǎn)D作BC的垂線交BC延長線于點(diǎn)E．若CE=3，AD=5，求線段16．（2025·貴州·中考真題）如圖，在?ABCD中，E為對角線AC上的中點(diǎn)，連接BE，且BE⊥AC，垂足為E．延長BC至F，使CF=CE，連接EF，F(xiàn)D，且(1)求證：?ABCD(2)若BE=EF,題型五利用矩形的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧運(yùn)用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分關(guān)系，以及直線的位置關(guān)系、角的等量關(guān)系.運(yùn)用時應(yīng)注意：1）矩形的性質(zhì)是證明線段相等、角相等、線段平行或垂直的常用依據(jù)和手段；2）矩形的四個角都是直角，據(jù)此，常把矩形的有關(guān)問題放到直角三角形中解決；3）矩形的兩條對角線相等且互相平分，并將矩形分割成四個等腰三角形，因而矩形的有關(guān)問題也常放在等腰三角形中解決.17．（2425九年級上·河南鄭州·期中）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD對角線BD的延長線上的一點(diǎn)，連接AE，若AE=12BD，∠ADO18．（2324九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，四邊形OABC是矩形，A2,1，B0,5，點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是19．（2425九年級上·山東青島·期末）如圖，把兩個全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如圖所示的圖案，已知AB=3，BC=4，則AF的長為20．（2425九年級上·全國·期末）如圖，在矩形ABCD中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，若題型六利用矩形的性質(zhì)證明21．（2024·江蘇淮安·中考真題）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE=DF．求證：22．（2425九年級上·貴州黔東南·期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM=AB，且BN⊥(1)求證：△ABN(2)若AD=2，AN=4，求四邊形23．（2425九年級上·廣東佛山·期末）如圖，把兩個全等的矩形ABCD和矩形FGCE拼成如圖所示的圖案，判斷△ACF題型七斜邊的中線等于斜邊的一半解｜題｜技｜巧1）性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的__________，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，則AD=___________.2）拓展：①∠1=∠2，∠3=∠4；②∠ADB=______=2∠4，∠ADC=______=2∠224．（2425九年級上·廣東佛山·期末）如圖，將直角三角尺放置在刻度尺上，斜邊上三個點(diǎn)A、D、B對應(yīng)的刻度分別為1、4、7（單位：cm），則A．6 B．4.5 C．3.5 D．325．（2425九年級上·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB邊的中點(diǎn)，AH⊥BC于H，F(xiàn)D=5，則HEA．5 B．4 C．2 D．2.526．（2425九年級上·云南麗江·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點(diǎn)，若題型八證明四邊形是矩形解｜題｜技｜巧1）在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件即可判定該平行四邊形為矩形.2）在四邊形的基礎(chǔ)上，有三個角是直角(第四個角必是直角)，則可判定該四邊形為矩形.重難點(diǎn)一添一個條件使四邊形是矩形27．（2324九年級下·甘肅平?jīng)觥て谥校┤鐖D，點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上，BM=CM．請從以下三個選項(xiàng)中：①∠1=∠2，②AM=DM，③∠28．（2324八年級下·湖北荊州·期中）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，分別添加下列條件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AC=BD；④29．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)在對角線AC上，且DE∥(1)求證：DE=(2)連接BE，DF，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形BEDF為矩形(不需要證明)重難點(diǎn)二證明四邊形是矩形30．（2425九年級上·廣東清遠(yuǎn)·期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作BD、AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P，求證：四邊形CODP是矩形．31．（2425九年級上·陜西咸陽·期中）如圖，BF,BE分別是∠ABC及其鄰補(bǔ)角的平分線，AE⊥BE于點(diǎn)E，AF⊥BF32．（2425九年級上·廣東河源·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，P，N，Q分別在OA，OB，OC，OD上，連接而成的四邊形MPNQ是矩形，且AM=BP=題型九根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求解解｜題｜技｜巧1）利用矩形的性質(zhì)可證明線段相等或互相平分、角相等、直線平行等；2）證明是矩形可以直接證明三個角等于90°或者先證明是平行四邊形再證明一個角是90°或?qū)蔷€相等.33．（2324八年級下·重慶南川·期中）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，AE⊥BD于點(diǎn)E，DF⊥AC(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠BAE=134．（2425九年級上·山西運(yùn)城·期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，延長CB至點(diǎn)E，使BE=BC，再延長AB至點(diǎn)F，使BF=AB，連接AC，CF，(1)求證：四邊形AEFC是矩形．(2)若AD=5，AC=8，則四邊形AEFC的面積是35．（2425九年級上·四川成都·期中）如圖，平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），CP=CD，過點(diǎn)P作PQ⊥CP，交AD于點(diǎn)(1)若CQ平分∠DCP，求證：四邊形ABCD(2)在（1）的條件下，當(dāng)AP=2，CB=4時，求題型十利用正方形的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧在正方形問題中，一般可以通過證三角形全等來得到等線段或等角，也可以利用正方形的角是直角來構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.在正方形中，也常用對角線互相垂直平分證明線段相等.36．（2425九年級上·四川成都·期末）如圖，在正方形ABCD的對角線BD上取點(diǎn)E使BE=BA，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，則∠37．（2425九年級上·全國·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)M在CB的延長線上，BM=2，作∠MAN=45°交DC延長線于點(diǎn)N38．（2122八年級下·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個正方形A'O'C'題型十一根據(jù)正方形的性質(zhì)證明39．（2425九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，∠(1)在CB延長線上存在一點(diǎn)G，使△ABG繞著A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后能與△ADF重合，請?jiān)趫D上畫出(2)證明：△AEF40．（2425九年級上·黑龍江黑河·期中）如圖ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門且分別是AD、CD的中點(diǎn)，要修兩條路BE(1)如圖1這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？直接寫出結(jié)果．(2)如圖2若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊的中點(diǎn)但滿足41．（2425九年級上·陜西咸陽·期末）如圖，正方形ABCD是綠地公園的一塊空地，其邊長為60m．公園設(shè)計(jì)部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動場地，準(zhǔn)備將空地中的四邊形DEBF（E在AB上，F(xiàn)在BC上）部分作為兒童活動區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個出入口，即點(diǎn)D，E，F(xiàn)，而且根據(jù)實(shí)際需要，要使得∠EDF=45°，并將兒童活動區(qū)（即四邊形DEBF）劃分為△DEF(1)證明：AE+(2)若AE=20題型十二證明四邊形是正方形解｜題｜技｜巧在判定一個四邊形是正方形時，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來判定的，判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．重難點(diǎn)一添一個條件使四邊形是正方形42．（2223九年級上·山西運(yùn)城·期末）如圖，已知四邊形ABCD是菱形，從①AB=AD，②∠ABC=∠ADC，③AC43．（2425九年級上·山西太原·階段練習(xí)）在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時．某小組同學(xué)畫出了如圖關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫了它們之間轉(zhuǎn)換的條件，其中在（4）處填寫的條件可以是．44．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，∠BAC=90°，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，連接CG，CG的延長線交BA的延長線于點(diǎn)(1)求證：AB=(2)請?jiān)黾右粋€條件，使得四邊形ACDF為正方形．（不需要說明理由）重難點(diǎn)二證明四邊形是正方形45．（2021九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到．試判斷四邊形的形狀，并證明．46．（2324八年級下·廣西防城港·期中）已知：如圖，在矩形中，M、N分別是邊的中點(diǎn)，E、F分別是線段的中點(diǎn)，設(shè)．(1)求證：；(2)當(dāng)a為何值時，四邊形是正方形？47．（2425八年級下·河北承德·期末）已知：如圖，中，O為對角線的交點(diǎn)，平分．(1)求證：是菱形．(2)在上截取，在上截取．連結(jié)．判斷四邊形的形狀并證明．題型十三正方形的性質(zhì)與判定綜合48．（2425九年級上·遼寧·期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，AB⊥BC，E是邊CD的延長線上的動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)C作(1)求證：四邊形ABCD是正方形．(2)當(dāng)F是AE的中點(diǎn)，且CE=82時，求49．（2223八年級下·山東煙臺·期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AD=(1)求證：BE=(2)若AB=32，CE題型十四特殊平行四邊形的判定定理的理解50．（2425九年級上·吉林長春·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC=90°，那么四邊形③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF④如果AE=AF，AD平分∠BAC其中，正確的有（只填寫序號）51．（2425八年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA=A．若AC=BD，則四邊形ABCD是矩形B．若BD平分∠ABC，則四邊形ABCDC．若AB⊥BC且AC⊥D．若AB=BC且AC⊥52．（2425九年級上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)（不與A,?C重合），過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處，四邊形AECF是矩形？并說明理由．(2)在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由．53．（2425九年級上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作CF∥BD，DF∥AC，連接BF交AC于點(diǎn)E(1)求證：△FCE(2)當(dāng)△ADC滿足什么條件時，四邊形OCFD(3)當(dāng)△ADC滿足什么條件時，四邊形OCFD(4)當(dāng)△ADC滿足______時，四邊形OCFD題型十五多結(jié)論問題解｜題｜技｜巧對每個結(jié)論進(jìn)行逐一求證和求解，已經(jīng)驗(yàn)證的正確結(jié)論可以作為已知條件使用.54．（2425九年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AC,BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BF⊥AC交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DE∥BF交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)N，連接FN,EM．則下列結(jié)論：①DN=BM；②EMA．1 B．2 C．3 D．455．（2425九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB=1，聯(lián)結(jié)AC,∠ACD的平分線交AD于點(diǎn)E，在AB上截取AF=DE，聯(lián)結(jié)DF，分別交CE，AC于點(diǎn)G,H，點(diǎn)P是線段GC上的動點(diǎn)，PQ⊥AC于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PH．下列結(jié)論：①CE⊥DF；其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②④ B．①② C．①③ D．①456．（2024九年級下·廣東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°．E為CD邊中點(diǎn)．將菱形沿過A點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)H．有如下結(jié)論：①∠CFH=30°；A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④57．（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)H，有如下結(jié)論：①∠CFH=30°；②DE=33A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④題型十六最值問題解｜題｜技｜巧解決此類問題，關(guān)鍵是分辨出“動”和“定”，探尋“動點(diǎn)”的運(yùn)動軌跡，這個軌跡一般是直線(線段)或圓，探究最值問題的理論依據(jù)有:直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短以及三角形的三邊關(guān)系等.55．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一動點(diǎn)，則DN+MN56．（2425九年級上·四川成都·期中）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，連接AM，MN，P，Q分別為AM，MN的中點(diǎn)，連接PQ．若∠B=45°，AB=4，則PQ57．（2425九年級上·廣東珠海·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=7，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF=3，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長的最小值為58．（2425九年級上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，直線AB的表達(dá)式為y=2x+5，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，PF⊥x軸于點(diǎn)F題型十七折疊問題解｜題｜技｜巧在初中數(shù)學(xué)中，圖形的折疊是我們常見的一種數(shù)學(xué)問題，這類問題的解決是有規(guī)律可循的.由于圖形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在圖形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等.這些圖形的不變性，在求解幾何全等型問題時，具有很重要的運(yùn)用價(jià)值.一些要通過作輔助線進(jìn)行全等證明的數(shù)量關(guān)系，由圖形的折疊變換就可以直接得到.59．（2425九年級上·甘肅白銀·期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)E在BC上，把這個矩形沿EF折疊后，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若矩形面積為43且∠AFG=60°，GF=2BG60．（2425九年級上·湖北孝感·期末）如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB=4cm，BC=6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．連接AE，將紙片沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接BB'，則（1）∠BB61．（2425九年級上·海南?？凇て谥校┤鐖D，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，已知AB=6cm，BC=10cm，則CF=cm62．（2425九年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，以EP為折痕將△BEP折疊得到△FEP，連接DF．若AB=4，∠B=60°，則EF題型十八動點(diǎn)問題解｜題｜技｜巧一般有兩種情況，一種情況是有一個動點(diǎn)，一種情況是有兩個動點(diǎn)，經(jīng)常與其他知識點(diǎn)相結(jié)合，要求學(xué)生既要有數(shù)形結(jié)合的能力，還需要洞察出可能的多解，分類討論.63．（2025·四川廣元·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸負(fù)半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸負(fù)半軸上的動點(diǎn)，，則．64．（2425八年級下·山東日照·期末）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E從A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)F從C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)A停止，E，F(xiàn)的運(yùn)動速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長；(2)如圖2，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的點(diǎn)，連接，，，．①若P，Q分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)________時，四邊形是矩形；②若P，Q分別是動點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動到點(diǎn)B停止，P，Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位長度，P，Q，E，F(xiàn)均同時出發(fā)，是否存在某一時刻，使得以P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求此時的長；若不存在，請說明理由．65．（2025·吉林松原·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿線段向終點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作交折線于點(diǎn)Q，以為邊向右側(cè)作正方形．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，正方形與四邊形重疊部分圖形的面積為．(1)____________．(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，求x的值．(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．期中重難突破練（測試時間：25分鐘）1．（2425九年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)．(1)求證：DM=(2)四邊形MPNQ是怎樣的特殊四邊形，請說明理由；(3)矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么長度關(guān)系時四邊形MPNQ為正方形，請說明理由．2．（2425九年級上·全國·期末）如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交△ABC(1)求證：OE=(2)若