專題03數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度等可能條件下的概率（7知識&8題型清單）【清單01】數(shù)據(jù)的集中趨勢1.平均數(shù)（1）定義：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平。（2）特性：易受極端值影響，適用于數(shù)據(jù)差異較小的場景。（3）加權(quán)平均數(shù)：考慮數(shù)據(jù)重要性的平均數(shù)。2.中位數(shù)（1）定義：將數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位于中間位置的數(shù)（奇數(shù)個數(shù)據(jù)）或中間兩個數(shù)的平均數(shù)（偶數(shù)個數(shù)據(jù)）。（2）特性：不受極端值影響，適用于數(shù)據(jù)差異較大的場景。3.眾數(shù)（1）定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。（2）特性：可能不唯一，適用于存在重復(fù)數(shù)據(jù)的場景?！厩鍐?2】數(shù)據(jù)的離散程度1.極差（1）定義：最大值與最小值的差，反映數(shù)據(jù)的變化范圍。（2）特性：計算簡單，但受極端值影響較大。2.方差（1）定義：各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，反映數(shù)據(jù)的波動大小。（2）特性：方差越大，數(shù)據(jù)波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。3.標準差：方差的算術(shù)平方根，單位與原數(shù)據(jù)一致，便于比較?！厩鍐?3】隨機事件1.必然事件：在一定條件下必然會發(fā)生的事件，概率為1。2.不可能事件：在一定條件下必然不會發(fā)生的事件，概率為0。3.隨機事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，概率在0到1之間?！厩鍐?4】等可能性1.定義：試驗中所有可能結(jié)果出現(xiàn)的機會均等。2.特性：試驗結(jié)果的有限性和等可能性?！厩鍐?5】古典概型1.定義：試驗中所有可能結(jié)果有限且等可能。2.概率公式：P(A)=m/n，其中m為事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)，n為所有可能結(jié)果數(shù)?！厩鍐?6】概率計算方法1.列舉法：直接列出所有可能結(jié)果，適用于結(jié)果較少的情況。2.列表法：用表格形式列出所有可能結(jié)果，適用于涉及兩個因素的試驗。3.樹狀圖法：用樹狀結(jié)構(gòu)表示所有可能結(jié)果，適用于涉及多個因素的試驗。【清單07】幾何概型1.定義：試驗中所有可能結(jié)果有無限多個，但每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。2.概率公式：P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）?！绢}型一】求平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)【例1】在一次數(shù)學(xué)考試中，第一小組10名學(xué)生的成績與全班平均成績88分的差（單位：分）分別是2，，0，，，10，8，2，3，，這個小組的平均成績是（

）A．90分 B．89分 C．88分 D．86分【答案】B【分析】本題主要考查了算術(shù)平均數(shù)的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是理解算術(shù)平均數(shù)的定義，根據(jù)算術(shù)平均數(shù)定義計算即可．故選：B．【變式11】陽光中學(xué)最終選定20名學(xué)生代表學(xué)校參加市級“漢字溯源”主題大賽，這20名學(xué)生的年齡統(tǒng)計如下表，則該校參加市級比賽的學(xué)生的平均年齡是（

）年齡/歲13141516人數(shù)/名9452A．13歲 B．14歲 C．15歲 D．16歲【答案】B【分析】本題考查的是求解一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)公式計算即可．故選：B【變式12】已知數(shù)據(jù)a，b，c的平均數(shù)是2，數(shù)據(jù)d，e的平均數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)a，b，c，d，e的平均數(shù)是．【答案】【詳解】解：∵數(shù)據(jù)a，b，c的平均數(shù)是2，數(shù)據(jù)d，e的平均數(shù)是4，故答案為：．【題型二】求中位數(shù)和眾數(shù)A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分【答案】A【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可求解，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵數(shù)據(jù)中分出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是分，故選：．【變式21】某鞋店一天中賣出運動鞋11雙，其中各種尺碼的鞋的銷售量如下表：則這11雙鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）尺碼（cm）232424.52525.5銷售量（雙）12251A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5【答案】A【分析】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)的計算，掌握其計算方法是關(guān)鍵．眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，中間的數(shù)即為中位，當這組數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，中間兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，當這組數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，中間的數(shù)為中位數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：25出現(xiàn)了5次，∴眾數(shù)是25，∴中位數(shù)是第6位，即25，故選：A．【變式22】某車間甲班的名工人加工零件，每人完成的件數(shù)分別是，，，，，，，，，，則這班組工人日產(chǎn)量的中位數(shù)和眾數(shù)是．【答案】，【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念，熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再計算第5，6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)；根據(jù)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)來求解眾數(shù)即可．【詳解】解：將數(shù)據(jù)排列為：，，，，，，，，，，故答案為：，．【題型三】求方差A(yù)．甲團 B．乙團 C．丙團 D．甲乙丙均可以【答案】A【分析】本題主要考查了方差的意義，根據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．故選：A．【變式31】想要獲得高超的技術(shù)，不付出一番努力是絕對做不到的．在射擊訓(xùn)練過程中，新手的表現(xiàn)一般不太穩(wěn)定，會有較大的波動．下圖是小逸和小亮在射擊訓(xùn)練中進行10次射擊之后的成績統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息推測，可能是新手的是（

）A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．無法判定【答案】A【分析】本題考查了方差的意義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．根據(jù)圖中的信息找出波動性大的即可．【詳解】解：根據(jù)圖中的信息可知，小亮的成績波動性大，則這兩人中的新手是小亮；故選：A．【變式32】小明和小兵兩人參加學(xué)校組織的理化實驗操作測試，近期的5次測試成績?nèi)鐖D所示，則小明5次成績的方差與小兵5次成績的方差之間的大小關(guān)系為．（填“”“”或“”）【答案】【分析】本題考查了方差的意義，熟知方差的意義是解答的關(guān)鍵．方差它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)折線統(tǒng)計圖，小明5次成績的波動比小兵5次成績的波動小，故答案為：．【題型四】已知概率求數(shù)量【例4】在一個不透明口袋中，裝有若干個顏色不同其余相同的球，若口袋中裝有4個黃球，且摸到黃球的概率為，那么口袋中球的總個數(shù)為（）A．4 B．8 C．9 D．12【答案】D根據(jù)概率公式即可求解．故選：D．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D即袋中藍球的個數(shù)是1，故選：D．【變式42】一只不透明的袋子中裝有紅球和白球共30個，這些球除了顏色外都相同，校課外學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?，將球攪勻后任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，通過多次重復(fù)試驗，算得摸到紅球的頻率是0.2，則袋中有個紅球．【答案】6【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．故答案為：6．【題型五】幾何概率【例5】如圖是由4塊完全相同的正方形瓷磚鋪成的地面，若一只螞蟻爬到該區(qū)域內(nèi)，停留在區(qū)域內(nèi)的任意位置（分隔線忽略不計），則螞蟻停留在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．由圖可得該正方形由4塊一模一樣的直角三角形組成，其中陰影區(qū)域由2個一模一樣的直角三角形組成，再根據(jù)概率公式即可求解．故選：D．【變式51】如圖，將一個飛鏢隨機投擲到方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何概率，用陰影方塊個數(shù)除以方塊總數(shù)即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握幾何概率的求法．【詳解】解：根據(jù)題意得：方格紙中一共有9個小正方形，其中陰影部分有4個，∴飛鏢落在陰影部分的概率為．故選：B【答案】【分析】本題主要考查幾何概率．用陰影部分的面積除以正方形的總面積，即可得解．【詳解】解：如圖，故答案為：【題型六】游戲公平性【例6】由于只有1張市運動會開幕式的門票，小王和小張都想去，兩人商量采取轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤（如圖，轉(zhuǎn)盤被分成四等份，且每個扇形區(qū)域標上數(shù)字）的游戲方式?jīng)Q定誰勝誰去觀看．游戲規(guī)則：兩人各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止后，若兩次指針所指數(shù)字都是奇數(shù)，則小王勝；若兩次指針所指數(shù)字都是偶數(shù)，則小張勝；若兩次指針所指數(shù)字是一奇一偶，視為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負．該游戲是否公平？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由．【答案】游戲公平，理由見解析【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷，用列表法或樹狀圖法求概率，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，用到的知識點為概率等于所求情況數(shù)與總情況之比．列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩指針所指數(shù)字都是偶數(shù)或都是奇數(shù)的概率即可得知該游戲是否公平．【詳解】解：游戲公平，理由如下：列表如下：所有等可能的情況有種，其中兩次指針所指數(shù)字都是奇數(shù)的情況有4種，都是偶數(shù)的情況也有4種，∴游戲公平．【變式61】小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券．于是，老師就設(shè)計了這樣的一個游戲：一口袋裝有除顏色外均相同的2個白球1個紅球和1個藍球，通過摸球來決定誰去觀看演出．方案如下：第一次隨機從口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，兩人勝負規(guī)則如下：摸到“一白一紅”，則小穎去觀看；摸到“一紅一藍”，則小亮去觀看．(1)這個方案公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由；(2)你若認為這個方案不公平，那么請你改變兩人勝負規(guī)則，設(shè)計一個公平的方案．【答案】(1)這個游戲公平，詳見解析(2)拿出一個白球或放進一個藍球，其他不變．游戲就公平了．【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．畫出樹狀圖，求出他們各自獲勝的概率是解答本題的關(guān)鍵．（1）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式即可求出概率，比較概率即可得出結(jié)論；（2）讓二者的概率相同即可．【詳解】（1）解：游戲方案不公平．理由如下：由樹狀圖可以看出：共有12種可能，摸到“一白一紅”有4種，摸到“一紅一藍”的情況有2種，故小穎獲勝的概率為=，小亮獲勝的概率為=，所以這個游戲不公平．（2）拿出一個白球或放進一個藍球，其他不變．游戲就公平了．【變式62】某校舉辦藝術(shù)節(jié)，其中A班和B班的節(jié)目總成績并列第一，學(xué)校決定從A、B兩班中選派一個班代表學(xué)校參加全省比賽，B班班長想法是：用八張撲克牌，將數(shù)字為1，2，3，5的四張牌給A班班長，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：A班班長和B班班長從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則A班去；如果和為奇數(shù)，則B班去．(1)請用樹狀圖或列表的方法求A班去參賽的概率；(2)B班班長設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你設(shè)計一種公平的游戲規(guī)則．【答案】(1)；(2)游戲不公平，游戲規(guī)則可改為：若和小于9則A班去參賽，若和大于9則B班去參賽，若和等于9，則重新抽?。痉治觥浚?）利用列表法得出所有可能結(jié)果，即可求出A班去參賽的概率；（2）根據(jù)（1）中所求數(shù)據(jù)即可得出A班B班去參賽的概率，從而判斷游戲是否公平，將規(guī)則修改為兩班被選中的概率相等即可．本題考查概率的求法，掌握利用列表法或樹狀圖求概率是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）所有可能的結(jié)果如下表：BA46781(1,4)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,4)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,4)(3,6)(3,7)(3,8)5(5,4)(5,6)(5,7)(5,8)一共16種結(jié)果，每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，∴A班去參賽的概率為：；（2）游戲不公平．由（1）列表的結(jié)果可知：A班去的概率為，B班去的概率為，∴游戲不公平，對B班有利．【題型七】列表法或樹狀圖法——概率【例7】2025年伊始，《哪吒之魔童鬧?！费杆倩鸨狈砍晒ζ瓢賰|，成為中國電影史上首部，全亞洲首部過百億的電影．并肩而行，不以山海為遠；向新出發(fā)，定能再攀高峰．下面是《哪吒之魔童鬧?！冯娮悠钡募o念款，分別為A，B，C，D（除正面圖案不同外其余均相同）．現(xiàn)將四張紀念票打印出來，背面朝上，洗勻放好．(1)友利奈緒從中隨機抽取一張紀念票是哪吒C的概率是．(2)神尾觀鈴計劃從中隨機抽取兩張紀念票，請用列表法或畫樹狀圖法計算她抽取的兩張紀念票恰好是申公豹A和敖丙D的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)概率公式計算即可；（2）畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖解答即可求解．【詳解】（1）解：友利奈緒從中隨機抽取一張紀念票是哪吒C的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的2張紀念票為申公豹A和敖丙D的結(jié)果有2種，【變式71】一個不透明的盒子里裝有四張卡片，分別寫有“美”“好”“淮”“安”四個字，卡片除文字外都相同，并將四張卡片充分攪勻．(1)從盒子中隨機抽取1張卡片，恰好抽到“淮”的概率是；(2)一次從盒子中隨機抽取2張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的卡片恰好1張為“美”、1張為“好”的概率．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查利用概率公式計算概率，掌握樹狀圖或列表法求概率是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式即可解題；（2）運用樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果，找出符合條件的結(jié)果數(shù)量，利用公式解題即可．【詳解】（1）解：盒子里裝有四張卡片，從盒子中隨機抽取1張卡片，恰好抽到“淮”的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片恰好1張為“美”，1張為“好”的結(jié)果有2種，【變式72】一個布袋里裝有三個小球，上面分別寫著“塔”，“山”，“石”，除文字外三個小球無其他差別．(1)從布袋里任意摸出一個小球，摸到文字恰好是“石”的概率(2)從布袋里任意摸出一個小球，記錄其文字，放回并搖勻，再從中任意摸出一個小球記錄其文字，求兩次記錄的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或畫樹狀圖說明）【答案】(1)(2)【分析】本題考查概率公式和列表法求概率；（1）根據(jù)概率公式直接求解；（2）列表，找到所有情況及需要情況求解即可得到答案；【詳解】（1）解：從布袋里任意摸出一個小球，摸到文字恰好是“石”的概率為；（2）解：列表如下，塔山石塔塔塔山塔石塔山塔山山山石山石塔石山石石石共有9種等可能結(jié)果，其中兩次記錄的文字有“塔”、“山”的有2種，兩次記錄的文字有“塔”、“山”的概率為：．【題型八】列表法或樹狀圖法——統(tǒng)計【例8】某學(xué)校隨機選取部分八年級同學(xué)進行數(shù)學(xué)預(yù)測卷難度評估，對考試成績進行統(tǒng)計（成績均為正數(shù)，滿分100分）依據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如下的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，根據(jù)圖表解答下列問題：組別分數(shù)段頻數(shù)頻率12345(1)表中的________，________，________，________；(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；(3)已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績，其中包括來自同一班的甲、乙兩名同學(xué)，學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機選出兩名參加市級比賽，請用列表法求出甲、乙兩名同學(xué)都被選中頻率．(2)見解析(3)【分析】本題考查求頻數(shù)與頻率，頻數(shù)分布直方圖，利用樹狀圖法求概率：（1）根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率，頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)進行求解即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論補全頻數(shù)分布直方圖；（3）畫出樹狀圖，利用概率公式進行計算即可．（2）解：補全頻數(shù)分布直方圖如圖，（3）將同一班級的甲、乙學(xué)生記為A、B，另外兩學(xué)生記為C、D，畫樹形圖得：∵共有12種等可能的情況，甲、乙兩名同學(xué)都被選中的情況有2種，【變式81】隨著選修課的全面開展，我校決定圍繞“科技、閱讀、書法、演講和英語”活動項目中，你最喜歡哪一項（每人只限一項）活動的問題，采用隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查情況繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．由圖中所給出的信息解答下列問題：(1)求在此次調(diào)查活動中一共抽查了多少名學(xué)生，并將不完整的統(tǒng)計圖補充完整；(2)在此次調(diào)查活動中，初三（1）班的兩個學(xué)習(xí)小組內(nèi)各有2人都最喜歡演講活動，其中，只有1人是女同學(xué)，現(xiàn)從中任選2人去參加學(xué)校的演講比賽．用列表或畫樹狀圖的方法求出所選2人來自同一個小組且恰有1人是女同學(xué)的概率．【答案】(1)400名，圖見解析(2)（1）結(jié)合兩圖科技的數(shù)據(jù)求出抽查的總?cè)藬?shù)，再求出扇形圖中演講和英語的數(shù)據(jù)和條形圖中書法的數(shù)據(jù)，補全條形圖和扇形圖的數(shù)據(jù)；（2）列出樹狀圖，根據(jù)概率公式解答即可．扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，圖形如圖所示：（2）解：設(shè)第一小組中男為A，女為B，則第二小組中兩男為a、b；樹狀圖：答：所選2人