第03講集合的基本運算【人教A版】1．并集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．(2)對于A∪B，不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．3．全集(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)符號表示：全集通常記作U.4．補集定義文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA符號語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形語言性質【注】?UA的三層含義：(1)?UA表示一個集合；(2)A是U的子集，即A?U；(3)?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．5．集合關系的轉化A∩B=A等價于A是B的子集；A∪B=A等價于B是A的子集.6．集合的運算性質(1)A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A.(2)A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A.【題型1并集的運算】【例1】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A={x∣?1<x≤1},B={x∣0<x<2}，則A∪B=（

）A．{x∣0<x≤1} B．{x∣?1<x<2}C．{x∣0<x<1} D．{x∣?1<x<0}【變式1.1】（2425高一上·北京·階段練習）已知集合M=xx?1≥0，N=xx>2A．xx≥1 B．xx>2或C．xx>1或x<?2 D．xx≥1【變式1.2】（2425高一上·云南曲靖·期末）已知集合M=xy=x?1，N=x?1≤x≤2A．?1,2 B．?1,?2 C．?2,?1 D．?1,+【變式1.3】（2425高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合A={x∣?3<x<1},B=x∣0≤x≤2，則A∪B=（

A．{x∣?3<x<2} B．x0≤x≤2C．{x∣?3<x≤2} D．{x∣0≤x<1}【題型2交集的運算】【例2】（2526高一上·河南南陽·開學考試）已知集合A=x1<x<3，B=yy=2x?1,x∈A，則A∩B=A．? B．A C．B D．A∪B【變式2.1】（2526高一上·全國·開學考試）已知集合A={x|?1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，則A∩B=（

）A．{x|?1<x<2} B．{x|?1<x≤2}C．{x|0≤x<1} D．x【變式2.2】（2425高一上·浙江杭州·期末）集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8，則A∩BA．1,3 B．2,4 C．1,2,3,4,6,8 D．?【變式2.3】（2025·全國·模擬預測）已知集合A=?4,?2,0,2，B=xxx+1∈Z,x∈AA．0 B．?2,0 C．0,2 D．?2,0,2【題型3補集的運算】【例3】（2425高一上·新疆烏魯木齊·期末）已知集合U=x∈Z|x<3，且A={?2,?1,0}，則A．{?1,0,1} B．{?2,?1,0} C．{0,1,2} D．{1,2}【變式3.1】（2425高一下·云南臨滄·期末）設全集U={x∣x<3,x∈Z}，集合A={0,2,4,6,8}，則?UA．3 B．4 C．5 D．6【變式3.2】（2526高一上·河南駐馬店·開學考試）已知集合U=0,1,2,3,4,5，A=1,2,4，則?UA．1,2,4 B．0,1,2,3,4,5 C．3,5 D．0,3,5【變式3.3】（2425高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）設全集U=x∈N?|x<8，集合A={1,3,6},B={3,5,7}，則A．3 B．4 C．7 D．8【題型4根據交集、并集或補集運算結果求集合】【例4】（2425高一上·浙江溫州·期中）已知集合A=1,2,3，B=2,3,4，M∪A=M∪B，則集合M可以是（

A．4 B．1 C．2,3 D．1,2,3,4【變式4.1】（2425高三上·北京海淀·期中）已知全集U=1,2,3,4，集合A=1，?UA∪B=A．4 B．1,4 C．2,4 D．1,2,3【變式4.2】（2425高一上·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6,7},A∩?UB={4,7}，則集合A．{1,2,4,6} B．{1,2,5,6} C．{1,2,6,7} D．{1,3,5,7}【變式4.3】（2425高三上·湖南長沙·階段練習）已知集合A=2,3,4，B=xx2?3x+t=0.若A∩B=A．2,3,4 B．1,2,3,4 C．?1,2,3,4 D．2,3,4,5【題型5根據交集、并集或補集運算結果求參數】【例5】（2425高一上·江蘇常州·階段練習）已知集合A=xx<?1或x≥3，B=xax+1≤0，若A∩B=B，則實數aA．?13,1 B．?13,1【變式5.1】（2425高一上·上海浦東新·期中）已知集合A=xx?1>2，集合B=xmx+1<0，若A∪B=AA．?13,0 B．?13,1【變式5.2】（2425高一上·上?！て谥校┮阎螦={x∣x2?3x+2=0}，B={x∣(1)若A∩B=B，求實數a的值；(2)若A∩C=C，求實數m的取值范圍.【變式5.3】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知A=x∣a≤x≤?a+3，B={x∣x<?1或x>5}(1)若A∩B=?，求a的取值范圍；(2)若A∪B=R，求a【題型6交、并、補集的混合運算】【例6】（2425高二上·四川綿陽·階段練習）設集合U=0,1,3,4,5，M=0,3,5，N=1,4,5，則A．5 B．0,3 C．0,2,3,5 D．0,1,3,4,5【變式6.1】（2025高三·全國·專題練習）已知全集U，集合M，N滿足M?N?U，則下列結論正確的是（

）A．M∪N=U B．?C．M∩(?UN)=?【變式6.2】（2425高一上·云南昭通·期中）設集合A=xa+1<x<3a?2，(1)若a=3，求?R(2)若A∩B=A，求實數a的取值范圍.【變式6.3】（2526高一上·全國·單元測試）已知集合A=x∈N*∣x<9，(1)求A∩B，A∩B∩C(2)求B∩?AC【題型7集合混合運算中的求參問題】【例7】（2025·陜西商洛·模擬預測）已知全集U=R,A=x∣x2+4x+3=0,B=x∣x2A．1 B．3 C．1或3 D．1或3【變式7.1】（2425高一上·廣東佛山·階段練習）已知集合A=x3≤x<7，B=xx>m，若?RA．m<3 B．m>3 C．m<7 D．m>7【變式7.2】（2425高二下·遼寧葫蘆島·階段練習）已知集合A=x|x<?3或x>7，B=(1)若?RA∪B=(2)若?RA∩B=x|a≤x≤b，且【變式7.3】（2425高一上·重慶沙坪壩·期中）已知A=xx2(1)若a=1，求A∩?(2)從①A∪?RB=R；②問題：若，求實數a的所有取值構成的集合C.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.1．Venn圖表達集合的運算如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的Venn圖表示.2．Venn圖的應用在部分有限集中，我們經常遇到元素個數的問題，常用Venn圖表示兩個集合的交、并、補集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個數，即Card(A)表示有限集A的元素個數.【題型8Venn圖表達集合的關系和運算】【例8】（2425高一上·重慶·期中）已知全集U=?2,?1,0,1,2,3,4，集合A=x∈Zx2?x<6，B=?2,0,1,3，給出下列4種方式表示圖中陰影部分：①?1,2②?A∪BA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8.1】（2425高一上·福建福州·期中）設全集U=R，A=x?5≤x<4A．xx≥4 B．C．xx≤?2 D．【變式8.2】（2425高一上·福建福州·期中）設全集U=R，集合A=x|?2≤x≤4，B={x|x<?6或(1)求圖中陰影部分表示的集合；(2)已知集合C=x|10?a<x<2a+1，若?UB【變式8.3】（2425高一上·貴州·階段練習）已知全集U為實數集，集合A={x∣?2<x<3},(1)若m=?1，求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若A∩B=B，求實數m的取值范圍.【題型9集合運算中的新定義問題】【例9】（2025高一上·全國·專題練習）設設A，B是兩個非空集合，定義A?B=x∈A∪B且x?A∩B，已知A=x|0<x<2，B=y|y<1，則A．? B．{x|1≤x<2或x≤0}C．x|0≤x≤1 D．x|0≤x≤2【變式9.1】（2425高一上·上海浦東新·開學考試）定義集合運算A?B=xx∈A且x?B稱為集合A與集合B的差集；定義集合運算AΔB=A?B∪B?A稱為集合A與集合B的對稱差，有以下4個等式：①AΔB=BA．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【變式9.2】（2425高一上·安徽銅陵·期末）對于非空集合U，記Ω={x∣x?U}．若集合A?Ω，且滿足如下兩個條件：①對任意的M,N∈A，有M∪N∈A；②對任意的M∈A，有?U(1)若集合U={1,2,3}，試寫出集合U的所有“完美子集類”；(2)已知A是集合U的一個“完美子集類”，證明：（Ⅰ）?∈A；（Ⅱ）對任意的M,N∈A，有M∩N∈A．【變式9.3】（2425高一上·浙江紹興·期中）定義兩種新運算“⊕”與“?”，滿足如下運算法則：對任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a?b=ab+1.設全集U=xx=a⊕b+a?b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能滿足?UA∩B=?一、單選題1．（2526高一上·全國·期中）已知全集U={0,1,2,4}，集合M={0,4}，?UN={0,2}，則M∩N=（A．{1,4} B．{0,4} C．{0,1,4} D．{4}2．（2025高一上·全國·專題練習）已知集合A=1,3,5，B=x∈NA．64 B．63 C．6 D．653．（2425高二下·新疆烏魯木齊·期末）設全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={1,3,5,7}，B={6,7,8}，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）

A．{6,8} B．{6,7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5}4．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合P=x∣?2≤x≤10,Q=x∣1?m≤x≤1+m.若Q∩?RA．mm≤3 C．{mm≤3或m≥9} D．5．（2526高一上·全國·單元測試）已知集合A=x?1<x<4，B=xa?1≤x≤a+2，若集合A∩B中恰好只有兩個整數，則實數A．?1,0∪2,3 B．?1,0∪2,3 C．6．（2425高一上·遼寧沈陽·期中）已知集合U=N，集合A=xx=2n+1,n∈N，B=xA．A∪B B．?UA∪B C．A∪7．（2025高一上·全國·專題練習）某校高一四班學生46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的學生數為（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2425高一上·江西上饒·階段練習）已知集合A=0,1,3，B=1,2，定義運算A?B=xA．0?B．若U=A?B，則?C．若BMA?B，則符合要求的集合M有6個D．A?B中所有元素之和為15.二、多選題9．（2425高一上·山東泰安·階段練習）集合U，M，N的關系如圖所示，則下列關系中能表示陰影區(qū)域的是（

）A．?UA∩B B．?UA∩B 10．（2025·河南·三模）已知全集U=xx<4,x∈Z，集合M=?1,2,a2，N=?1,1,2,aA．a的取值有3個 B．M∩P=C．P∪N=?3,?1,0,1,2,3 D．?U11．（2024·江蘇泰州·模擬預測）對任意A,B?R，記A⊕B=xx∈A∪B,x?A∩B，并稱A⊕B為集合A,B的對稱差．例如：若A=1,2,3A．若A,B?R且A⊕B=B，則A=?B．若A,B?R且A⊕B=?，則A=BC．若A,B?R且A⊕B?A，則A?BD．存在A,B?R，使得A⊕B≠三、填空題12．（2425高一下·湖北黃石·階段練習）設A={x|x=2}，B={x|ax=2}，若A∪B=A，則實數a的值為13．（2425高一上·四川綿陽·階段練習）已知A=x|x<?1或x>3，B=x|m?2≤x≤m+2，若(?RA)∩B≠?，則m14．（2425高一上·河北石家莊·階段練習）設全集U=x∈Nx≤10，A∩(?UB)=四、解答題15．（2025高一·全國·專題練習）已知集合A=xx≤?1或x≥3，(1)若a=1，試求?RA∪B(2)若A∩B=B，求實數a的取值范圍；16．（2425高一上·廣西河池·期末）已知集合U=1,2,3,5,7,9(1)求A∩?(2)若集合C=x∣x?2x?a=0，是否存在實數a，使得17．（2425高一上·北京·期中）設A是由有限個正整數組成的集合，定義A+A=x+yx,y