第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警.....................................................................................................................2

02體系構(gòu)建·思維可視.........................................................................................................................3

03核心突破·靶向攻堅.........................................................................................................................4

知能解碼........................................................................................................................................4

知識點1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念..............................................................................4

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示..............................................................4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律..................................................................................5

知識點4平面幾何中的向量方法......................................................................................5

題型破譯...............................................................................................................................................5

題型1平面向量數(shù)量積的定義..........................................................................................5

題型2平面向量數(shù)量積的運算....................................................................................6

題型3數(shù)量積的坐標表示..................................................................................................7

題型4投影向量..................................................................................................................8

題型5向量在幾何中的應(yīng)用..............................................................................................8

題型6向量在物理中的應(yīng)用..............................................................................................9

題型7向量新定義......................................................................................................10

04真題溯源·考向感知.......................................................................................................................12

05課本典例·高考素材.......................................................................................................................12

考點要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量數(shù)量

積的含義及其物理意

義.

2.了解平面向量的數(shù)

量積與投影向量的長

度的關(guān)系.

新課標I卷，第3題，5

3.掌握數(shù)量積的坐標全國二卷，第12新課標I卷，第3題，5分

表達式，會進行平面分

題，5分新課標II卷，第13題，5

向量數(shù)量積的運算.單選題新課標II卷，第3題，5

上海卷，第12題，分

4.能運用數(shù)量積表示多選題分

兩個向量的夾角，會填空題5分全國甲卷，第4題，5分

全國甲卷，第題，分

用數(shù)量積判斷兩個平95

解答題天津卷，第14題，全國乙卷，第12題，5分

面向量的垂直關(guān)系.天津卷，第14題，5分

會用向量的方法解5分天津卷，14題，5分

5.北京卷，第5題，4分

決某些簡單的平面幾

何問題.

6.會用向量方法解決

簡單的力學(xué)問題與其

他一些實際問題.

考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單

獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，

而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視．

預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點．

復(fù)習(xí)目標：

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．

2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．

3.了解平面向量基本定理及其意義

4.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算

知識點1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作O→A＝a，O→B＝b，則∠

AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做向量

a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，

即0·a＝0.

(3)投影向量

如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作O→M＝a，O→N＝b，過點M作直線ON的垂線，

垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.

→→

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1與e，a，θ之間的關(guān)系為OM1＝|a|cos

θe.

自主檢測（多選）關(guān)于平面向量a，b，c，下列說法不正確的是（）

22

A．a(chǎn)bababB．a(chǎn)bcacbc

rrrrrrrrrr

C．若abac，且a0，則bcD．a(chǎn)bcabc

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示

設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.

(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝a·a＝.

a·bx1x2＋y1y2

(3)夾角：cosθ＝＝.

2222

|a||b|x1＋y1·x2＋y2

(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0.

2222

(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤x1＋y1·x2＋y2.

?

r

自主檢測（多選）若a2,1，b3,1，則（）

A．a(chǎn)b5B．a(chǎn)bab

π

C．a(chǎn)與b的夾角為D．b在a方向上的投影向量為2a

4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律

(1)a·b＝(交換律).

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

自主檢測（多選）已知a、b、c是三個向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．a(chǎn)bbaB．a(chǎn)(bc)abac

C．(ab)ca(bc)D．若abac，則bc

知識點4平面幾何中的向量方法

(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

π

自主檢測已知非零平面向量a、b、c，滿足a4，bc2，若a與b的夾角為，則ac的最小值為

3

（）

3

A．232B．3C．232D．

2

題型1平面向量數(shù)量積的定義

例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A，B，P為三個固

定頂點，則APAB（）

A．12B．16C．162D．163

例1-2已知向量a,b滿足a2bab3，且|a|2,|b|1，則a與b的夾角為（）

A．30oB．60oC．120D．150

方法技巧

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即

ab=|a||b|cos，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，

它是負數(shù)；當為直角時，它是0．

②ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cos的乘積．

π

【變式訓(xùn)練1-1】已知向量a2b2，且向量a與向量b的夾角為，則(2a)(3b)．

3

π

【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長為4的菱形ABCD的一個內(nèi)角為，則ABAD．

3

題型2平面向量數(shù)量積的運算

π

例2-1已知向量a與b的夾角為，a3，b2，則ab（）

6

A．1B．23C．23D．13

例2-2已知平面向量a，b，c均為單位向量，若a與b的夾角為60°，則cac2b的最大值為（）

A．23B．4C．27D．5

例2-3已知a2,0,b1,1，若aab，則（）

A．1B．1C．2D．2

方法技巧

平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)基底法：當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積

的有關(guān)計算問題；

(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

【變式訓(xùn)練2-1】已知e1,e2是兩個垂直的單位向量．若ae1e2,b2e1e2，設(shè)向量a,b的夾角為，則

cos（）

12510

A．B．C．D．

102510

【變式訓(xùn)練2-2·變考法】已知abab2，則ab.

題型3數(shù)量積的坐標表示

例3-1已知向量a(4,3),b(3,1)，則ab.

例3-2已知向量a1,2,b2,0，則向量a在向量b方向上的投影向量為.

r

例3-3已知向量a3,1，b2,3，若a，b的夾角為銳角，則的取值范圍是．

方法技巧坐標法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，

rrrr

即若，，則；

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

（2）適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積。

【變式訓(xùn)練3-1】已知向量a1,3，向量b2,1，則向量a在向量ab上的投影向量的模為（）

5111711517

A．B．C．D．

517517

2π

【變式訓(xùn)練3-2】平面向量a，b滿足a2,5，b8，a與b的夾角為，則b在a方向上的投影向量

3

為（）

433

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．bD．4b

316163

題型4投影向量

例4-1已知VABC的外接圓圓心為O，且2AOABAC，OAAC，則向量AB在向量BC上的投影向量

為（）

13uuur13

A．BCB．BCC．BCD．BC

4444

例4-2設(shè)向量a.b滿足a6,b4且ab12，則向量a在向量b方向上的投影是.

方法技巧

rrrrrr

uuuurrruuuurrrrbrabbabr

設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有rrrrr，

A1B1abA1B1|a|cosa,b|a|b

|b||a||b||b||b|2

rr

uuuur|ab|

則r

|A1B1|

|b|

π

【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在VABC中，C，ADBC于D，AD2，BC6，則AB在AC上的投影向

4

量為（）

1111

A．ACB．ACC．ACD．AC

2552

【變式訓(xùn)練4-2·變載體】已知am1,2，b1,m.

(1)若abb，求m的值；

(2)若ab2且m0，求a在b方向上的投影數(shù)量.

題型5向量在幾何中的應(yīng)用

π1

例5-1已知OBA，OB4，且ABOA，則xOBOAxOBOAxR的最小值為（）

32

3

A．25B．23C．3D．

2

π2

例5-2已知a,b,e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足，

3b6be80

則ab的最小值是（）．

33

A．31B．31C．31D．23

22

方法技巧用向量方法解決實際問題的步驟

【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量AB、AC、AD，ABAC1，ABAC1，△BCD的面積為23，則AD

的最小值為（）

37

A．B．2C．D．4

22

rrrrrrrrur2rur

【變式訓(xùn)練5-2】已知a3,b1,ab0,caca4,d4bd30，則cd的最大值

為．

【變式訓(xùn)練5-3】在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD上靠近C的三等分點，BEBABC，

則，F(xiàn)為線段BE上的動點，G為AF中點，則AFDG的最小值為.

題型6向量在物理中的應(yīng)用

例6-1共點力F1lg2,lg2，F(xiàn)2lg5,lg2作用在物體M上，產(chǎn)生位移S2lg5,1，則共點力對物體做

的功為（）

A．lg2B．lg5C．1D．2

例6-2如圖所示，支座A受F1，F(xiàn)2兩個力的作用，已知F118N，與水平線成角，F(xiàn)28N，沿水平方

向，兩個力的合力F的大小F20N，則cos（）

1111

A．B．C．D．

4812224

【變式訓(xùn)練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船

的速度大小為5km/h，水流速度的大小為3km/h，當航程最短時，預(yù)計這艘船行駛到河對岸需要時間為

h.

【變式訓(xùn)練6-2】如圖所示，支座A受F1,F2兩個力的作用，已知F118N，與水平線成角，F(xiàn)28N，

沿水平方向，兩個力的合力F的大小F20N，則cos.

題型7向量新定義

π

例7-1已知ax1,y1，bx2,y2，定義新運算abx1x21y1y21，記msin,1，

6

π5π

n1,sin，滿足mn，則sin2（）

3103

551010

A．B．C．D．

551010

例7-2）我們可以把平面向量坐標的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對z1,z2z1,z2C視為一個向

量，記作z1,z2．類比平面向量的線性運算可以定義復(fù)向量的線性運算；兩個復(fù)向量z1,z2，

z3,z4的數(shù)量積記作，定義為z1z3z2z4；復(fù)向量的模定義為．

(1)設(shè)6,8，i2,i，求復(fù)向量與的模；

(2)已知對任意的實向量與，都有，當且僅當與平行時取等號；

①求證：對任意實數(shù)a，b，c，d，不等式acbda2b2c2d2成立，并寫出此不等式的取等條件；

②求證：對任意兩個復(fù)向量與，不等式仍然成立；

(3)當時，稱復(fù)向量與平行．設(shè)1i,2i，i,z，zC，若復(fù)向量與平行，

求復(fù)數(shù)z的值．

x

【變式訓(xùn)練7-1】定義：若不相等的兩個向量ax1,y1，bx2,y2滿足條件：ab且1，y1，x2，y2均

為整數(shù)，則稱向量a，b互為“等模整向量”，則與向量a1,0互為“等模整向量”的向量個數(shù)有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

【變式訓(xùn)練7-2】如圖，在VABC中，ABC90，AB23，BC2，AMxAB(0x1)，

ANyAC(0y1)，設(shè)CM與BN交于點P，且CP2PM．

(1)求2xy3y的值；

asin

(2)定義平面非零向量之間的一種運算“”：ab（其中是兩非零向量a和b的夾角）．

b

（?。┤鬗為AB的中點，求PBPC的值；

3

（ⅱ）若APBC，求xy的值．

2

xy

11

【變式訓(xùn)練7-3】已知向量ax1,y1,bx2,y2，且x2y20，定義向量的新運算：ab．

x2y2

(1)若向量a(2,6),b(6,m)，且ab，求ab；

(2)證明：a∥b是ab0的充要條件，

1．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)向量ax1,x,bx,2，則（）

A．“x3”是“ab”的必要條件B．“x13”是“a//b”的必要條件

C．“x0”是“ab”的充分條件D．“x13”是“a//b”的充分條件

2．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“ab·ab0”是“ab或ab”的（）．

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量a,b滿足a1,a2b2，且b2ab，則b（）

123

A．B．C．D．1

222