最新人教版高中數學必修2課時同步測題

（全冊共236頁附解析）

目錄

第一章空間幾何體3.2.3直線的一般式方程

1.1空間幾何體的結構3.3.2兩點間的距離

1.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結構特征第I課時兩宜線的交點坐標、兩點間

1.1.2圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結構特征的距離

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖第2課時兩直線的交點坐標、兩點間

1.2.1中心投影與平行投影的距離（習題課）

1.2.2空間幾何體的三視圖3.3.3點到直線的距離

1.2.3空間幾何體的直觀圖3.3.4兩條平行直線間的距離

1.3空間幾何體的表面積與體積章末復習課

1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積第三單元評估驗收卷（三）

13.2球的體積和表面積第四章圓與方程

章末復習課4.1圓的方程

第一單元評估驗收卷（一）4.1.1圓的標準方程

第二章點、直線、平面之間的位置關系4.1.2圓的一般方程

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系4.2直線、圓的位置關系

2.1.1平而4.2,1直線與圓的位置關系

第二章點、直線、平面之間的位置關系4.2.2圓與圓的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系4.2,3直線與圓的方程的應用

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系4.3空間直角坐標系

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關系4.3.1空間直角坐標系

2.1.4平面與平面之間的位置關系4.3.2空間兩點間的距離公式

2.2直線、平面平行的判定及其性質章末復習課

2.2.1直線與平面平行的判定第四單元評估驗收卷（四）

2.2.2平面與平面平行的判定

2.2.3直線與平面平行的性質

2.2.4平面與平面平行的性質

2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

2.3.2平面與平面垂直的判定

2.3.3直線與平面垂直的性質

2.3.4平面與平面垂直的性質

章末復習課

第二單元評估驗收卷（二）

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角與斜率

3.1.1傾斜角與斜率

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

3.2直線的方程

3.2.1直線的點斜式方程

3.2.2直線的兩點式方程

第1頁共236頁

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結構

1.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

-.....----------iI

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.下列幾何體中棱柱有（）

\

A.5個B.4個C.3個D.2個

解析：由棱柱的定義及幾何特征，①③為棱柱.

答案：D

2.對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說

法正確的是（）

A.棱柱B.棱錐

C.棱臺D.一定不是棱柱、棱錐

解析：根據棱柱、棱錐、棱臺的特征，一定不是棱柱、棱錐.

答案：D

3.下列圖形經過折疊可以圍成一個棱柱的是（）

解析：A、B、C、中底面多邊形的邊數與側面數不相等.

第2頁共236頁

答案：D

4.由5個面圍成的多面體，其中上、下兩個面是相似三角形，

其余三個面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點，則該

多面體是（）

A.三棱柱B.三棱臺C.三棱錐D.四棱錐

解析：根據棱臺的定義可判斷知道多面體為三棱臺.

答案：B

5.某同學制作了一個對面圖案均相同的正方形禮品盒，如圖所

示，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應該為（對面是相同的圖

案）（）

—t；

解析：其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪個棱剪開，剪開的

相鄰面在展開在圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定

相鄰，又相同的圖案是盒子相對的面，展開后絕不能相鄰.

答案：A

二、填空題

6.如圖所示，正方形A8CD中，E,尸分別為CD,的中點,

沿AE,AF,￡尸將其折成一個多面體，則此多面體是

解析：折疊后，各面均為三角形，且點8、C、Q重合為一點,

因此該多面體為三棱錐（四面體）.

第3頁共236頁

答案：三棱錐(四面體)

7.一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60cm,則每條

側棱長為cm.

解析：由題設，該棱柱為五棱柱，共5條側棱.

所以每條側棱的長為當=12(cm).

答案：12

8.①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體的

側棱一定不相交于一點，故一定不是棱臺；②兩個互相平行的面是平

行四邊形，其余各面是四邊形的幾何體不一定是棱臺；③兩個互相平

行的面是正方形，其余各面是四邊形的幾何體一定是棱臺.其中正確

說法的個數為.

解析：①正確，因為具有這些特征的幾何體的側棱一定不相交于

一點，故一定不是棱臺；②正確；③不正確，當兩個平行的正方形完

全相等時，一定不是棱臺.

答案：2

9.根據如圖所示的幾何體的表面展開圖，畫出立體圖形.

解：圖①是以ABCO為底面，P為頂點的四棱錐.

圖②是以ABCD和AiBiCiDx為底面的棱柱.

其圖形如圖所示.

B級能力提升

第4頁共236頁

L如圖所示，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小

角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是（）

A.棱柱B.棱臺

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

解析：如圖所示，傾斜小角度后,

因為平面44101。〃平面BBiCiC,

所以有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行

四邊形（水面與兩平行平面的交線）因此呈棱柱形狀.

答案：A

2.一個正方體的六個面上分別標有字母A,B,C,D,E,F,

下圖是此正方體的兩種不同放置，則與D面相對的面上的字母是

解析：由圖知，標字母C的平面與標有A、8、。、E的面相鄰，

則與O面相對的面為E面，或〃面，若〃面與。面相對，則A面

與8面相對，這時圖②不可能，故只能與。面相對的面上字母為比

答案：B

3.如圖所示，M是棱長為2cm的正方體ABCO-A/iGOi的棱

CG的中點，求沿正方體表面從點A到點M的最短路程.

第5頁共236頁

磕

解：若以5C為軸展開，則4,M兩點連成的線段所在的直角三

角形的兩直角邊的長度分別為2cm,3cm,故兩點之間的距離是回

cm.若以為軸展開，則A,M兩點連成的線段所在的直角三角形

的兩直角邊的長度分別為1,4,故兩點之間的距離是行cm.

故沿正方體表面從點A到點"的最短路程是亞cm.

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結構

1.1.2圓柱、園錐、圓臺、球、簡單組

合體的結構特征

—------

-----——二―I--------1hp三

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.下列幾何體中是旋轉體的是（）

①圓柱②六棱錐③正方體④球體⑤四面體

A.①和⑤B.①

C.③和④D.①和④

解析：圓柱、球體是旋轉體，其余均為多面體.

答案：D

2.如圖所示的簡單組合體的結構特征是（）

玲

第6頁共236頁

A.由兩個四棱錐組合成的

B.由一個三棱錐和一個四棱錐組合成的

C.由一個四棱錐和一個四棱柱組合成的

D.由一個四棱錐和一個四棱臺組合成的

解析：這個8面體是由兩個四棱錐組合而成.

答案：A

3.下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（）

解析：圖中幾何體由圓錐、圓臺組合而成，可由A中圖形繞圖

中虛線旋轉360°得到.

答案：A

4.如圖所示的幾何體是從一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面

為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的.現用一個平面去截這個

幾何體，若這個平面平行于底面，那么截面圖形為（）

解析：微面圖形應為圖C所示的圓環(huán)面.

答案：C

5.用一張長為8、寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面，則相應

圓柱的底面半徑是（）

A.2B.2n

第7頁共236頁

2T4冗一冗

C?豆或x9D?爹或彳

解析：如圖所示，設底面半徑為，，若矩形的長8恰好為卷成圓

柱底面的周長，

4

則2nr=8,所以/

同理，若矩形的寬4恰好為卷成圓柱的底面周長，則2nr=4,

2

所以r=—?所以選C.

n

答案：C

二、填空題

6.等腰三角形繞底邊上的高所在的直線旋轉18?！?所得幾何

體是________.

解析：結合旋轉體及圓錐的特征知，所得幾何體為圓錐.

答案：圓錐

7.給出下列說法：

①圓柱的母線與它的軸可以不平行；

②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的

連線，都可以構成直角三角形；

③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓

臺的母線；

④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是____________（填序號）.

解析：由旋轉體的形成與幾何特征可知①③錯誤，②④正確.

答案：②④

8.如圖是一個幾何體的表面展成的平面圖形，則這個幾何體是

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答案：圓柱

三、解答題

9.如圖所示的物體是運動器材——空竹，你能描述它的幾何特

征嗎？

解：此幾何體是由兩個大圓柱、兩個小圓柱和兩個小圓臺組合而

成的.

10.如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，

截得圓臺上、下底面的半徑分別2cm和5cm,圓臺的母線長是12cm,

求圓錐SO的母線長.

解：如圖，過圓臺的軸作截面，截面為等腰梯形由已知

可得上底半徑OiA=2cm,下底半徑03=5cm,且腰長A3=12cm.

設截得此圓臺的圓錐的母線長為/,則由△SAO】S2\SBO,可得

1-122“

一7—所以Z=20cm.

故截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

第9頁共236頁

B級能力提升

1.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何

體形狀為（）

A.一個球體

B.一個球體中間挖出一個圓柱

C,一個圓柱

D.一個球體中間挖去一個長方體

解析：外面的圓旋轉形成一個球，里面的長方形旋轉形成一個圓

柱.

所有形成的幾何為一個球體挖出一個圓柱.

答案：B

2.一個半徑為5cm的球，被一平面所截，球心到截面圓心的距

離為4cm,則截面圓面積為cm2.

解析：如圖所示，過球心。作軸截面，設截面圓的圓心為a,

其半徑為r.

由球的性質，001_LCD

在RtZkOOiC中，R=OC=5f00i=4,則0在=3,

所以截面圓的面積S=TT?r2=n?0/2=9兀

答案:9n

3.如圖，底面半徑為1,高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，

現在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離

是多少？

第10頁共236頁

解：把圓柱的側面沿A3剪開，然后展開成為平面圖形——矩形,

如圖所示，連接A*,即為螞蟻爬行的最短距離.

因為44'為底而圓的周長，且44，=27rxi=2幾.

所以AB^yjA/Bf2+AA,2=^4+（2TT）2=2yjl+n2,

所以螞蟻爬行的最短距離為2y/l+芯

第一章空間幾何體

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖

---------------高效演練知能提升-------------

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.以下關于投影的敘述不正確的是（）

A.手影就是一種投影

B.中心投影的投影線相交于點光源

C.斜投影的投影線不平行

D.正投影的投影線和投影面垂直

解析：平行投影的投影線互相平行，分為正投影和斜投影兩種,

故C錯.

第11頁共236頁

答案：c

2.如圖所示，水平放置的圓柱形物體的三視圖是（)

0

oo口O

正視圖側視圖正視圖則視圖

□O

俯視圖俯視圖

AB

OaOO

正視圖便視圖正視圖側視圖

□O

俯視圖俯視圖

答案：A

3.如圖，在直角三角形A5C,ZACB=90°，△A5C繞邊AB

所在直線旋轉一周形成的幾何體的正視圖為（）

解析：由題意，該幾何體是兩個同底的圓錐組成的簡單組合體,

且上部分圓錐比底部圓錐高，所以正視圖應為選項B.

答案：B

4.一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾

何體不可以是（）

A.球B.三棱錐

C.正方體D.圓柱

解析：球的三視圖都是圓；三棱錐的三視圖都是全等的三角形；

正方體的三視圖都是正方形；圓柱的底面放置在水平面上，則其俯視

圖是圓，正視圖是矩形，故幾何體不可能是圓柱.

第12頁共236頁

答案：D

5?一個四棱錐S?A3CD,底面是正方形，各側棱長相等，如圖所

示，其正視圖是一等腰三角形，其腰長與圖中等長的線段是（）

A.ABB.SB

C.BCD.SE

解析：正視圖的投影面應是過點￡與底面ABC。垂直的平面，

所以側棱SB在投影面上的投影為線段SE.

答案：D

二、填空題

6.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是

（填序號）.

①正方體②圓錐③三棱臺④正四棱錐

解析：在各自的三視圖中，①正方體的三個視圖都相同；②圓錐

有兩個視圖相同；③三棱臺的三個視圖都不同；④正四棱錐有兩個視

圖相同.所以滿足僅有兩個視圖相同的是②

答案：②④

7.一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖不

可能為:①長方形;②正方形;③圓.其中滿足條件的序號是_______.

答案：②③

8.下圖中的三視圖表示的幾何體是

第13頁共236頁

解析：根據三視圖的生成可知，該幾何體為三棱柱.

答案：三棱柱

三、解答題

9.根據三視圖（如圖所示）想象物體原形，指出其結構特征，并

畫出物體的實物草圖.

解：由俯視圖知，該幾何體的底面是一直角梯形；由正視圖知,

該幾何體是一四棱錐，且有一側棱與底面垂直.所以該幾何體如圖所

示.

10.畫出圖中3個圖形的指定視圖.

解：如圖所示.

B級能力提升

1.如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應的實物圖是

第14頁共236頁

答案：A

2.已知正三棱錐匕43c的正視圖、俯視圖如圖所示，它的側棱

VA=2f底面的邊AC=小,則由該三棱錐得到的側視圖的面積為

解析：正三棱錐匕A5C的側視圖不是一個等腰三角形，而是一

個以一條側棱、該側棱所對面的斜高和底面正三角形的一條高構成的

三角形，如側視圖所示（其中VF是斜高），由所給數據知原幾何體的

高為由，且CF=5.

故側視圖的面積為s=1x曰2

答案：乎

3.如圖所示的是某兩個幾何體的三視圖，試判斷這兩個幾何體

的形狀.

第15頁共236頁

）

￥

,/,.

解：①由俯視圖知該幾何體為多面體，結合正視圖和側視圖知,

幾何體應為正六棱錐.

②由幾何體的三視圖知該幾何體的底面是圓，相交的一部分是一

個與底面同圓心的圓，正視圖和側視圖是由兩個全等的等腰梯形組成

的.

故該幾何體是兩個圓臺的組合體.

第一章空間幾何體

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.3空間幾何體的直觀圖

---------------高效演練知能提升-------------

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.關于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（）

A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形

第16頁共236頁

B.正方形的直觀圖為平行四邊形

C.梯形的直觀圖不是梯形

D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形

解析：由直觀圖的性質知B正確.

答案：B

2.利用斜二測畫法畫邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是

圖中的（）

解析：正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比

為2：L

答案：C

3.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為一個正方

形，則原來圖形的形狀是（）

解析：直觀圖中正方形的對角線為啦，故在平面圖形中平行四

邊形的高為2a,只有A項滿足條件，故A正確.

答案:A

4.已知兩個圓錐，底面重合在一起，其中一個圓錐頂點到底面

的距離為2cm,另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm,則其直觀圖

中這兩個頂點之間的距離為（）

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

解析：因為這兩個頂點連線與圓錐底面垂直，現在距離為5cm,

而在直觀圖中根據平行于z軸的線段長度不變，仍為5cm.

第17頁共236頁

答案：D

5.若一個三角形采用斜二測畫法，得到的直觀圖的面積是原三

角形面積的（）

A.坐B.2倍C彗D.啦倍

解析：底不變，只研究高的情況即可，此結論應識記.

答案：A

二、填空題

6.如圖所示，△A'BfC是△A3C的水平放置的直觀圖，

A，B1〃y軸，則△A3C是_______三角形.

殖

解析：由于川/〃丁軸，所以在原圖中軸，故△A8C為

直角三角形.

答案：直角

7.已知△A8C的直觀圖如圖所示，則△A5C的面積為.

解析：△4BC中，ZA=90°,

AB=3,AC=6f所以S=；X3X6=9.

答案：9

8.如圖所示，水平放置的△4BC的斜二測直觀圖是圖中的

△A，小。，已知477=6,/C=4,則A3邊的實際長度是_______.

第18頁共236頁

冠

解析：在原圖中AC=6,BC=4X2=8,ZAOB=90°,所以

AB=A/62+82=10.

答案：10

三、解答題

9.如圖所示，已知水平放置的平面圖形的直觀圖是一等腰直角

三角形A5C,RAB=BC=1試畫出它的原圖形.

9二

解：(1)在如圖所示的圖形中畫相應的x軸、y軸，使NxOy=90°

(O與4重合);

(2)在x軸上取。，使A77=4C,在y軸上取力,使A'=

2AB;

(3)連接夕C,則就是原圖形.

10.畫出底面是正方形、側棱均相等的四棱錐的直觀圖(棱錐的

高不做具體要求).

解：畫法：⑴畫軸.畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，ZxOj=45°(135°),

ZxOz=90°,如圖.

(2)畫底面.以。為中心在x0y平面內，畫出底面正方形的直觀

圖ABCD.

(3)畫頂點.在。:軸上截取OP,使。尸的長度是四棱錐的高.

(4)成圖.順次連接B4、PB.PC、PD9并擦去輔助線，得四棱

第19頁共236頁

錐的直觀圖.

B級能力提升

1.水平放置的△AHC有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是

正△47T。，則△4笈。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.以上都有可能

解析：如下圖所示，斜二測直觀圖還原為平面圖形，故△A3C

是鈍角三角形.

答案：C

2.如圖，RtZXO'A'B'是一平面圖形的直觀圖，直角邊0fB,

=1,則這個平面圖形的面積是________.

解析：因為。8=1,所以。⑷=也，

所以在RtNkQAB中，NAO8=90°,03=1,OA=2^2.

所以S?OB=；X1X2吸=衣

答案：y[2

3.如圖是一個空間幾何體的三視圖，試用斜二測畫法畫出它的

直觀圖.

第20頁共236頁

解：根據三視圖可以想象出這個幾何體是六棱臺.

⑴畫軸.如圖①，畫x軸、y軸、z軸，使NxOy=45°,ZxOz

=90°.

(2)畫兩底面，由三視圖知該幾何體為六樓臺，用斜二測畫法畫

出底面正六邊形ABCDEF,在z軸上截取00',使00等于三視圖

中的相應高度，過。，作Ox的平行線O'N,Oy的平行線。了，利

用Ofx與0曠畫出底面正六邊形A'B'CD'E'F'.

f

(3)成圖.連接A'A,B9CC,DD,E'EtF'F,整理

得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如圖②.

第一章空間幾何體

1.3空間幾何體的表面積與體積

1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積

---------------高效演練知能提升-------------

A級基礎鞏固

一、選擇題

1.軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側面

第21頁共236頁

積是底面積的（）

A.4倍B.3倍

C.啦倍D.2倍

解析：設軸截面正三角形的心邊長為2%

所以S底

S?=7ro?2。=2九。2,因此S?=2S底.

答案：D

2.如圖所示，ABC-AfB，C是體積為1的棱柱，則四棱錐

G44劣劣的體積是（）

有

A,3B,2

C,3D,4

1112

解析：因為Vc-A'B，C=鼻胃柱=1所以Vc-AA-8F=1—Q=

JJ0J

答案：c

3.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為小，則這個圓

錐的全面積為（）

A.3nB.3、/§兀

C.6nD.9n

解析：由于圓錐的軸截面是等邊三角形，所以2r=/,

又S軸=5><FXsin600=方-尸=小，所以，=2,r=l.

第22頁共236頁

所以S圃饞&=nr/=n+2n=3n.故選A.

答案：A

4.（2015?課標全國I卷）《九章算術》是我國古代內容極為豐富

的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高

五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如

圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米

堆的高為5尺，間米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的

體積約為L62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放米約有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解析：由/=；X27rr=8得圓錐底面的半徑「=號=室所以米堆

irTTJ

的體積V=；X;rr2/i=；X^|^X5=年與立方尺），所以堆放的米有年^

?1.62=22（斛）.

答案：B

5.已知正方體的8個頂點中，有4個為側面是等邊三角形的一三

棱錐的頂點，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為（）

A.1：^2B.1：^3

C.2：也D.3：\[6

解析：棱錐"為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊

nz

三角形，設正方體的邊長為1,則B'C=啦，S.B，AC=*.

第23頁共236頁

三棱錐的表面積S錚=4X嘩=2小,

又正方體的表面積S正=6.

因此SJS正=2而：6=1：小.

答案：B

二、填空題

6.若一個圓臺的正視圖如圖所示，則其側面積為

解析：由正視圖可知，該圓臺的上、下底面圓的半徑分別為1,

2,其高為2,

所以其母線長/=\/（苫目?+22=/,

所以S值=n（l+2）x/=34n.

答案：3下冗

7.下圖是一個空間幾何體的三視圖，這個幾何體的體積是

解析：由圖可知幾何體是一個圓柱內挖去一個圓錐所得的幾何體,

V=V典檢—Vai?=nX22X3—17rX22X3=8n.

答案:87r

8.（2015,福建卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表

面積等于

第24頁共236頁

若

解析：由三視圖知，該幾何體是直四棱柱，底面是直角梯形，且

底面梯形的周長為4+72.

則S側=8+2g,S底=2X（半）xi=3.

故S4t=S惻+S底=11+2啦.

答案：11+2也

三、解答題

9.已知圓柱的側面展開圖是長、寬分別為2n和4n的矩形，求

這個圓柱的體積.

解：設圓柱的底面半徑為K,高為兒

當圓柱的底面周長為2n時，/i=4n,

由2nK=2n,得7?=1,

22

所以VBBU=n/?/j=4n.

當圓柱的底面周長為4n時，/z=2n,

由2nR=4n,得R=2,

所以丫回柱=nW力=4n?2n=8n2.

所以圓柱的體積為4n2或8n2.

10.一個正三棱柱的三視圖如圖所示（單位：cm）,求這個正三棱

柱的表面積與體積.

解：由三視圖知直觀圖如圖所示，則高A4=2cm,底面高87r

第25頁共236頁

=2/cm,所以底面邊長AB'=2小X『(cm).

宿

一個底面的面積為2小X4=4小(512).

所以表面積S=2X4V3+4X2X3=24+8A/3(CIII2),

V=4V§X2=86(cn?).

所以表面積為(24+隊/§)cm2,體積為85(cn?).

B級能力提升

L某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖是由一個半圓與其直徑組

解析：該幾何體的上方是以2為底面圓的半徑，高為2的圓錐的

一半，下方是以2為底面圓的半徑，高為1的圓柱的一半，其體積為

21114

+-X-X22X22+-

23n=n3n130

2

答案：B

2.(2015?江蘇卷)現有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓

錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體

積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新

第26頁共236頁

的底面半徑為.

解析：底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的

圓柱的總體積為%rX52X4+7rX22X8="1B

設新的圓錐和圓柱的底面半徑為r,則;加?r2X4+;r?r2X8=^^

196n

二一，解得，=巾r.

答案：木

3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,求該幾何體的體積.

解：由三視圖知，該幾何體是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體.

1Q

V四枚柱=2^=8,V四枝儺=QX2?X2=不

8

8-32

校

故幾何體的體積y=v四枝柱+vW饞+-33

第一章空間幾何體

1.3空間幾體的表面積與體積

1.3.2球的體積和表面積

-------------高效演練知能提升-------------

A級基礎鞏固

第27頁共236頁

一、選擇題

1.若一個球的體積擴大到原來的27倍，則它的表面積擴大到原

來的（）

A.3倍B.3小倍

C.9倍D.9^3倍

R，

解析：由U=27匕得R'=3R,方=3

（匕￥

則球的表面積比S'：S==9.

答案：C

2.把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓

柱的高為（）

A.RB.2RC.3RD.4R

解析：設圓柱的高為貝比Tr/e/zMbxMrW,

J

所以h=4R.

答案：D

3.如圖所示，是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

A.9TT+42

99

C.Tn+12D.Tn+18

乙乙

第28頁共236頁

解析：由三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體,

4（3）3Q

其體積丫=§九U+3X3X2=5?r+18.

答案：D

4.設長方體的長、寬、高分別為2ma,a,其頂點都在一個球

面上，則該球的表面積為（）

A.3na2B.6na2

C.12na2D.24na2

解析：設該球的半徑為Rf

所以（2R）2=（2a）2+a2+a2=6a2,

即4肥=6/?

所以球的表面積為S=4nK2=67ta2.

答案：B

5.下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得幾何體的

表面積是（）

A.4n+24B.4兀+32

C.22nD.12n

解析：由三視圖可知，該幾何體上部分為半徑為1的球，下部分

為底邊長為2,高為3的正四棱柱，幾何體的表面積為4n+32.

答案：B

二、填空題

第29頁共236頁

6.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升

高4cm,則鋼球的半徑是.

解析：圓柱形玻璃容器中水面升高4cm,則鋼球的體積為V=n

4

X32X4=36n,Fp^-^3=36n,所以R=3.

J

答案：3cm

7.兩個球的表面積之差為48元，它們的大圓周長之和為12n,

則這兩個球的半徑之差為.

解析：由題意設兩球半徑分別為R、r(R>r),

[4ni?2—4nr=48nf7?2—7^=12

則?〈即“

?[2n/?+2nr=12n[/?+r=6.，

所以A—r=2.

答案：2

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

解析：由三視圖可知幾何體為組合體，上方是半徑為1的球，下

方是長方體，其底面是邊長為2的正方形，側棱長為4,故其體積V

43—.4n

=T0X7TX1+2X2X4=16+-^J-.

答案：16+=

三、解答題

第30頁共236頁

9.某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端

均為半球形，若圖中，=1,/=3,試求該組合體的表面積和體積.

解：組合體的表面積5=4加，+2加”=4兀*12+2九*1*3=10兀

因為圓柱的體積Vaiu=7rr2Z=nXl2X3=37r,

4,4

又兩個半球的體積2丫半球=3兀-=3瓦，

因此組合體的體積1/=3兀+4和=號13兀

JJ

10.如圖，一個圓柱形的玻璃瓶的內半徑為3cm,瓶里所裝的

水深為8cm,將一個鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm,

求鋼球的半徑.

君

4

解：設球的半徑為大，由題意可得,nK3=nX32X0.5,

解得：R=L5(cm),

所以所求球的半徑為l.5cm.

B級能力提升

1.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為7T,則

球的體積為()

解析：截面面積為肛則該小圓的半徑為1,設球的半徑為R,

222

則R=l+1=29

所以R=也,.=飆3=釁日

第31頁共236頁

答案：B

2.邊長為4啦的正方形ABCD的四個頂點在半徑為5的球。的

表面上，則四棱錐。的體積是________.

解析：因為正方形ABCD外接圓的半徑r=

22

y］（4^2）+（472）由出世砧史必由c

2—4.又因為球的半徑為5,

所以球心O到平面ABCD的距離d=，所2—戶=3,

所以Vo-ABCD=\x（4^2）3X3=32.

答案：32

3.體積相等的正方體、球、等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）

的表面積分別是Si,&,S3,試比較它們的大小.

解：設正方體的棱長為°,球的半徑為此等邊圓柱的底面半徑

為r9

貝4SI=6A2,S2=4TTR2,S3=671，.

4

由題意知，鏟爐=〃3=口2?2々

所以S2Vs3.

又63>3y表?！?為54?！?即Si>S3.

所以Si,S2,S3的大小關系是S2Vs3VS1.

第32頁共236頁

章末復習課

Ii

［整合,網絡構建］

［警示?易錯提醒］

1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側

棱（母線）延長后必交于一點.

2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.

3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是

它們的分界線，在三視圖中，易忽視虛線的畫法.

4.求組合體的表面積時:組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

5.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原

不準確及幾何體的結構特征認識不準易導致失誤.

6.易混側面積與表面積的概念.

一°”---JI

專題1空間幾何體的三視圖與直觀圖

三視圖是立體幾何中的基本內容,能根據三視圖識別其所表示的

第33頁共236頁

立體模型，并能根據三視圖與直觀圖所提供的數據解決問題.

主要考查形式：（1）由三視圖中的部分視圖確定其他視圖；（2）由

三視圖還原幾何體；（3）三視圖中的相關量的計算.其中⑶是本章的

難點，也是重點之一，解這類題的關鍵是準確地將三視圖中的數據轉

化為幾何體中的數據.

[例1]（1）若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱

柱的高和底面邊長分別為（）

A.2,25B.2^2,2C.4,2D.2,4

（2）（2016?全國HI卷）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線

畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）

A.18+36由B.54+184C.90D.81

解析：（1）由三視圖的畫法規(guī)則知，正視圖與俯視圖長度一致，

正視圖與側視圖高度一致，俯視圖與側視圖寬度一致.所以側視圖中

2為正三棱柱的高，2小為底面等邊三角形的高，所以底面等邊三角

形邊長為4.

（2）由三視圖可知，該幾何體的底面是邊長為3的正方形，高為6,

側棱長為3芯,則該幾何體的表面積3=2X32+2X3X3市+2X3X6

=54+184?故選B.

答案：（1）D（2）B

第34頁共236頁

歸納升華

1.第⑴題中易把2小誤認為是正三棱錐底面等邊三角形的邊

長.注意“長對正、高平齊、寬相等”.

2.（1）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、

球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為

實物圖.

（2）組合體的三視圖要分開分析，特殊幾何體要結合日常生活的

觀察分析還原.

［變式訓練］（1汝口圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三

個命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱

柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯

視圖如下圖.其中真命題的個數是（）

A.3B.2C.1D.0

（2）（2015?北京卷）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱

的棱長為（）

A.1B.^2C.A/3D.2

解析：⑴如圖①@③所示的正（主）視圖和俯視圖與題圖相同.

第35頁共236頁

所以題中的3個命題均是真命題.

(2)由三視圖知，四棱錐的直觀圖如圖所示.

其中側棱SAJ_底面A〃CD,S4=/，且底面是邊長為1的正方形.

所以四棱錐的最長棱為SC9

且SC=y]SA2-\~CA2=y[3.

答案：(1)A(2)C

專題2空間幾何體的表面積與體積的計算

面積和體積的計算是本章的重點，熟記各種簡單幾何體的表面積

和體積公式是基礎，復雜幾何體常用割補法、等積法求解，具體問題

具體分析，靈活轉化是解題策略.

[例2]如圖所示的三棱錐為長方體的一角.其中04、

。仄。。兩兩垂直,三個側面0A8、OAC.0BC的面積分別為1.5cm?、

1cm2>3cm2,求三棱錐0-ABC的體積.

解：設。A、OB、0C的長依次為xcm、ycm、zcm,

則由已知可得;盯=1.5,|xz=l,；yz=3.

解得x=l,y=3,z=2.

顯然三棱錐0-ABC的底面積和高是不易求出的，于是我們不妨

轉換視角，將三棱錐看成以C為頂點，以046為底面.

易知OC為三棱錐C-OAB的高.

于是Vo-ABC=Vc0AB=]S&OAB*0C~

第36頁共236頁

TX1.5X2=l(cm3).

J

?歸納升華

1.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和，計算組合體的表面

積時應注意銜接部分的處理.

(2)求解旋轉體的表面積問題時注意其側面展開圖的應用.

2.(1)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用

轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.

(2)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何

體的直觀圖，然后根據條件求解.

［變式訓練］某幾何體的三視圖如圖所示，試求該幾何體的體積.

>

/

?/,

解：由三視圖知，該幾何體是一圓柱被平面所截后得的簡單組合

體，如圖所示，其中4。=5,BC=2,且底面圓的半徑R=2.

過。點作平行于底面的截面，將幾何體分成兩部分.

故該幾何體的體積V=7rX22X2+1;rX22X3=147r.

專題3轉化思想與函數方程思想

轉化思想的核心在于把生疏和復雜的問題轉化、歸結為較為熟悉、

簡單的問題解決，在本章中體現在通過展開圖求其表面積、利用截面

圖將立體幾何問題轉化成平面幾

何問題等.函數方程思想是用運動變化的觀點研究具體問題中的

第37頁共236頁

數量關系，如表面積、體積及空間幾何體表面上的距離等問題.

［例3］一個圓錐的底面半徑為2,高為6,在其中有一個高為

x的內接圓柱.

(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；

(2)當x為何值時，S最大？

解：畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示.

設圓柱的底面半徑為r,

r2-