平面向量坐標(biāo)運(yùn)算突破_概念理解與策略精講，助力高考數(shù)學(xué)備考一、引言在高考數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，平面向量是一個(gè)重要的板塊，它兼具代數(shù)與幾何的雙重特性，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。而平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算更是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它為解決向量的相關(guān)問(wèn)題提供了一種便捷、高效的方法。對(duì)于廣大考生而言，深入理解平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的概念，熟練掌握其運(yùn)算策略，不僅有助于在高考中取得優(yōu)異的成績(jī)，還能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文將從概念理解和策略精講兩個(gè)方面入手，全面剖析平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，為高考數(shù)學(xué)備考提供有力的支持。二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的概念理解（一）平面向量坐標(biāo)的定義在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個(gè)單位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量\(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)。我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\vec{a}=(x,y)\)。其中\(zhòng)(x\)叫做\(\vec{a}\)在\(x\)軸上的坐標(biāo)，\(y\)叫做\(\vec{a}\)在\(y\)軸上的坐標(biāo)。理解這一定義時(shí)，要明確向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的聯(lián)系與區(qū)別。若向量\(\vec{a}\)的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)\(O\)，終點(diǎn)是\(A(x,y)\)，那么向量\(\overrightarrow{OA}\)的坐標(biāo)\((x,y)\)就與點(diǎn)\(A\)的坐標(biāo)相同；但如果向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)就不同，需要通過(guò)向量的減法運(yùn)算來(lái)得到。例如，已知\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\)。（二）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則1.加法運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。從幾何意義上看，向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算符合平行四邊形法則或三角形法則。在坐標(biāo)運(yùn)算中，就是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加，這體現(xiàn)了向量加法的代數(shù)性質(zhì)。2.減法運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。同樣，向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相減，其幾何意義是從向量\(\vec\)的終點(diǎn)指向向量\(\vec{a}\)的終點(diǎn)的向量。3.數(shù)乘運(yùn)算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是實(shí)數(shù)，則\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算就是用這個(gè)實(shí)數(shù)乘以向量的每個(gè)坐標(biāo)。數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義是向量的伸長(zhǎng)或縮短，當(dāng)\(\lambda>0\)時(shí)，向量的方向不變；當(dāng)\(\lambda<0\)時(shí)，向量的方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時(shí)，得到零向量。4.數(shù)量積運(yùn)算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，避免了使用向量夾角公式\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)中求向量模長(zhǎng)和夾角的復(fù)雜過(guò)程。（三）平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示1.平行的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec\neq\vec{0}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。這是由向量共線的性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)的。當(dāng)兩個(gè)非零向量平行時(shí)，它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例。2.垂直的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)的充要條件是\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。這是根據(jù)向量垂直的定義\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos90^{\circ}=0\)得到的。三、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的策略精講（一）巧用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的線性運(yùn)算問(wèn)題在解決向量的線性運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，將向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后按照坐標(biāo)運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算，可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。例1：已知\(\vec{a}=(2,-3)\)，\(\vec=(-1,4)\)，求\(2\vec{a}+3\vec\)的坐標(biāo)。分析：本題可先根據(jù)數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出\(2\vec{a}\)和\(3\vec\)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算求出\(2\vec{a}+3\vec\)的坐標(biāo)。解：因?yàn)閈(\vec{a}=(2,-3)\)，所以\(2\vec{a}=2\times(2,-3)=(2\times2,2\times(-3))=(4,-6)\)；因?yàn)閈(\vec=(-1,4)\)，所以\(3\vec=3\times(-1,4)=(3\times(-1),3\times4)=(-3,12)\)。則\(2\vec{a}+3\vec=(4,-6)+(-3,12)=(4+(-3),-6+12)=(1,6)\)。（二）利用坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量的平行與垂直關(guān)系在判斷兩個(gè)向量是否平行或垂直時(shí)，可根據(jù)向量平行與垂直的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行計(jì)算。例2：已知\(\vec{a}=(3,x)\)，\(\vec=(-2,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，求\(x\)的值。分析：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，列出關(guān)于\(x\)的方程，然后求解方程即可。解：因?yàn)閈(\vec{a}\perp\vec\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=0\)。又因?yàn)閈(\vec{a}=(3,x)\)，\(\vec=(-2,1)\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=3\times(-2)+x\times1=-6+x=0\)，解得\(x=6\)。（三）借助坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模長(zhǎng)和夾角1.求向量的模長(zhǎng)若\(\vec{a}=(x,y)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。這是根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)，再結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到的。例3：已知\(\vec{a}=(-1,2)\)，求\(\vert\vec{a}\vert\)。解：因?yàn)閈(\vec{a}=(-1,2)\)，所以\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。2.求向量的夾角若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}\)，其中\(zhòng)(\theta\)是\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角。例4：已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,-4)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)。解：首先計(jì)算\(\vec{a}\cdot\vec=1\times(-2)+2\times(-4)=-2-8=-10\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\)。則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}=\frac{-10}{\sqrt{5}\times2\sqrt{5}}=-1\)。因?yàn)閈(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，所以\(\theta=\pi\)。（四）運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題平面向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決幾何問(wèn)題中具有重要的應(yīng)用，如證明線段平行、垂直，求三角形的面積等。例5：已知\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(-2,5)\)，證明\(\triangleABC\)是直角三角形。分析：要證明\(\triangleABC\)是直角三角形，只需證明其中有兩個(gè)向量垂直，可通過(guò)計(jì)算向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示來(lái)判斷。解：因?yàn)閈(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(-2,5)\)，所以\(\overrightarrow{AB}=(2-1,3-2)=(1,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-2-1,5-2)=(-3,3)\)。則\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times(-3)+1\times3=-3+3=0\)，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，即\(\angleBAC=90^{\circ}\)，所以\(\triangleABC\)是直角三角形。四、高考中的平面向量坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)分析（一）選擇題和填空題在高考的選擇題和填空題中，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算主要考查向量的基本運(yùn)算、平行與垂直的判斷、向量的模長(zhǎng)和夾角等基礎(chǔ)知識(shí)。這些題目通常難度不大，只要考生熟練掌握平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的概念和法則，認(rèn)真計(jì)算，就能準(zhǔn)確解答。例6（2023年某省高考真題）：已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m=(\quad)\)A.\(-8\)B.\(-6\)C.\(6\)D.\(8\)分析：本題可先求出\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，進(jìn)而求解\(m\)的值。解：因?yàn)閈(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，所以\(\vec{a}+\vec=(1+3,m-2)=(4,m-2)\)。又因?yàn)閈((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，所以\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec=0\)，即\(4\times3+(m-2)\times(-2)=0\)，\(12-2m+4=0\)，\(16-2m=0\)，解得\(m=8\)。故選D。（二）解答題在高考的解答題中，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算常與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查。這類題目綜合性較強(qiáng)，需要考生具備較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和邏輯推理能力。例7（2022年某高考真題）：已知向量\(\vec{m}=(\sinx,1)\)，\(\vec{n}=(\sqrt{3}\cosx,\frac{1}{2})\)，函數(shù)\(f(x)=(\vec{m}+\vec{n})\cdot\vec{m}\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期；（2）已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對(duì)邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(c=3\)，且\(f(A)=\frac{5}{2}\)，求\(\triangleABC\)的面積。分析：本題先根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出\(f(x)\)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最小正周期；然后根據(jù)\(f(A)\)的值求出角\(A\)，最后利用正弦定理或余弦定理求出三角形的面積。解：（1）因?yàn)閈(\vec{m}=(\sinx,1)\)，\(\vec{n}=(\sqrt{3}\cosx,\frac{1}{2})\)，所以\(\vec{m}+\vec{n}=(\sinx+\sqrt{3}\cosx,\frac{3}{2})\)。則\(f(x)=(\vec{m}+\vec{n})\cdot\vec{m}=(\sinx+\sqrt{3}\cosx)\sinx+\frac{3}{2}\)\(=\sin^{2}x+\sqrt{3}\sinx\cosx+\frac{3}{2}\)\(=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{3}{2}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+2\)\(=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+2\)。所以函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）由\(f(A)=\frac{5}{2}\)，得\(\sin(2A-\frac{\pi}{6})+2=\frac{5}{2}\)，即\(\sin(2A-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。因?yàn)閈(0\ltA\lt\pi\)，所以\(-\frac{\pi}{6}\lt2A-\frac{\pi}{6}\lt\frac{11\pi}{6}\)，則\(2A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}