2026屆新高考數(shù)學(xué)_拋物線熱點精準復(fù)習(xí)與解題策略一、引言在新高考的數(shù)學(xué)體系中，拋物線作為圓錐曲線的重要組成部分，一直是考查的重點和熱點內(nèi)容。它不僅融合了代數(shù)與幾何的諸多知識，還能有效考查學(xué)生的邏輯推理、運算求解、直觀想象等核心素養(yǎng)。對于2026屆考生而言，精準復(fù)習(xí)拋物線相關(guān)知識，掌握有效的解題策略，對于在高考中取得優(yōu)異成績至關(guān)重要。本文將圍繞拋物線的熱點知識進行深入剖析，并總結(jié)相應(yīng)的解題策略。二、拋物線的基礎(chǔ)知識回顧（一）拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點\(F\)和一條定直線\(l\)（\(F\notinl\)）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點\(F\)叫做拋物線的焦點，定直線\(l\)叫做拋物線的準線。這一定義是拋物線性質(zhì)的根源，在解題中常常用于將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行相互轉(zhuǎn)化。（二）拋物線的標準方程拋物線的標準方程有四種形式：1.\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)，準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)，開口向右。2.\(y^{2}=-2px(p\gt0)\)，焦點坐標為\((-\frac{p}{2},0)\)，準線方程為\(x=\frac{p}{2}\)，開口向左。3.\(x^{2}=2py(p\gt0)\)，焦點坐標為\((0,\frac{p}{2})\)，準線方程為\(y=-\frac{p}{2}\)，開口向上。4.\(x^{2}=-2py(p\gt0)\)，焦點坐標為\((0,-\frac{p}{2})\)，準線方程為\(y=\frac{p}{2}\)，開口向下。在復(fù)習(xí)過程中，要準確理解\(p\)的幾何意義，它表示焦點到準線的距離。同時，能夠根據(jù)拋物線的開口方向和焦點位置準確寫出其標準方程。（三）拋物線的簡單幾何性質(zhì)以\(y^{2}=2px(p\gt0)\)為例：1.范圍：\(x\geq0\)，\(y\inR\)。2.對稱性：關(guān)于\(x\)軸對稱，拋物線的對稱軸也稱為拋物線的軸。3.頂點：坐標為\((0,0)\)，是拋物線與對稱軸的交點。4.離心率：\(e=1\)，拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之比為\(1\)。三、拋物線熱點知識剖析（一）拋物線的焦點弦問題焦點弦是指過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的弦。設(shè)拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，過焦點\(F(\frac{p}{2},0)\)的直線\(AB\)與拋物線交于\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)兩點。1.焦點弦長公式-若直線\(AB\)的斜率存在且為\(k\)，直線\(AB\)的方程為\(y=k(x-\frac{p}{2})\)，聯(lián)立拋物線方程\(\begin{cases}y=k(x-\frac{p}{2})\\y^{2}=2px\end{cases}\)，消去\(y\)可得\(k^{2}(x-\frac{p}{2})^{2}=2px\)，展開并整理得\(k^{2}x^{2}-(k^{2}p+2p)x+\frac{k^{2}p^{2}}{4}=0\)。根據(jù)韋達定理\(x_{1}+x_{2}=\frac{k^{2}p+2p}{k^{2}}\)，由拋物線的定義可知\(\vertAB\vert=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p=\frac{2p}{sin^{2}\theta}\)（\(\theta\)為直線\(AB\)的傾斜角）。-當直線\(AB\)垂直于\(x\)軸時，\(\theta=90^{\circ}\)，\(\vertAB\vert=2p\)，此時焦點弦長最短，稱為拋物線的通徑。2.焦點弦的性質(zhì)-\(y_{1}y_{2}=-p^{2}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}\)。這兩個性質(zhì)在解決與焦點弦端點坐標相關(guān)的問題時非常有用，可以避免復(fù)雜的聯(lián)立方程求解過程。（二）拋物線的切線問題1.切線方程的求法-設(shè)拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)上一點\(P(x_{0},y_{0})\)，對\(y^{2}=2px\)兩邊關(guān)于\(x\)求導(dǎo)，\(2y\cdoty^\prime=2p\)，則\(y^\prime=\frac{p}{y}\)，所以在點\(P\)處的切線斜率\(k=\frac{p}{y_{0}}\)，切線方程為\(y-y_{0}=\frac{p}{y_{0}}(x-x_{0})\)，又因為\(y_{0}^{2}=2px_{0}\)，切線方程可化為\(y_{0}y=p(x+x_{0})\)。2.切線的應(yīng)用-切線問題常常與導(dǎo)數(shù)、最值等知識相結(jié)合。例如，求拋物線上一點到某條直線的最短距離，可以通過求與該直線平行的拋物線的切線，利用兩平行線間的距離公式求解。（三）拋物線與其他曲線的綜合問題拋物線常與直線、圓、橢圓、雙曲線等曲線綜合考查。例如，拋物線與直線的位置關(guān)系，可通過聯(lián)立它們的方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)的值來判斷：1.當\(\Delta\gt0\)時，直線與拋物線相交，有兩個不同的交點。2.當\(\Delta=0\)時，直線與拋物線相切，有一個切點。3.當\(\Delta\lt0\)時，直線與拋物線相離，沒有交點。在解決拋物線與其他曲線的綜合問題時，要善于運用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解。四、拋物線解題策略總結(jié)（一）定義法利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行轉(zhuǎn)化，是解決拋物線問題的常用策略。例如，在求拋物線上一點到焦點和到某一定點距離之和的最小值時，可根據(jù)拋物線的定義將其轉(zhuǎn)化為該點到準線和到定點距離之和的最小值，利用幾何圖形的性質(zhì)求解。例1：已知拋物線\(y^{2}=4x\)上一點\(P\)到焦點\(F\)的距離為\(5\)，求點\(P\)的橫坐標。解：由拋物線\(y^{2}=4x\)可知\(2p=4\)，即\(p=2\)，準線方程為\(x=-1\)。根據(jù)拋物線的定義，點\(P\)到焦點\(F\)的距離等于點\(P\)到準線的距離，設(shè)點\(P\)的橫坐標為\(x_{P}\)，則\(x_{P}+1=5\)，解得\(x_{P}=4\)。（二）方程法在解決拋物線的焦點弦、切線、與其他曲線的綜合問題時，常常需要聯(lián)立方程，利用韋達定理進行求解。例2：已知拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點為\(F\)，過點\(F\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vertAB\vert=10\)，求直線\(l\)的方程。解：由拋物線\(y^{2}=8x\)可知\(2p=8\)，\(p=4\)，焦點\(F(2,0)\)。設(shè)直線\(l\)的方程為\(y=k(x-2)\)（\(k\neq0\)），聯(lián)立\(\begin{cases}y=k(x-2)\\y^{2}=8x\end{cases}\)，消去\(y\)得\([k(x-2)]^{2}=8x\)，即\(k^{2}x^{2}-(4k^{2}+8)x+4k^{2}=0\)。設(shè)\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，則\(x_{1}+x_{2}=\frac{4k^{2}+8}{k^{2}}\)。由焦點弦長公式\(\vertAB\vert=x_{1}+x_{2}+p\)，可得\(\frac{4k^{2}+8}{k^{2}}+4=10\)，\(\frac{4k^{2}+8}{k^{2}}=6\)，\(4k^{2}+8=6k^{2}\)，\(2k^{2}=8\)，\(k^{2}=4\)，解得\(k=\pm2\)。所以直線\(l\)的方程為\(y=2(x-2)\)或\(y=-2(x-2)\)，即\(2x-y-4=0\)或\(2x+y-4=0\)。（三）數(shù)形結(jié)合法拋物線是一種幾何圖形，其許多問題都具有明顯的幾何特征。通過畫出準確的圖形，利用圖形的直觀性可以幫助我們更好地理解問題，找到解題思路。例3：已知拋物線\(y^{2}=2x\)，點\(A(2,4)\)，在拋物線上求一點\(P\)，使得\(\vertPA\vert+\vertPF\vert\)最?。╘(F\)為拋物線的焦點）。解：由拋物線\(y^{2}=2x\)可知\(2p=2\)，\(p=1\)，焦點\(F(\frac{1}{2},0)\)，準線方程為\(x=-\frac{1}{2}\)。過點\(A\)作準線\(x=-\frac{1}{2}\)的垂線，垂足為\(B\)，交拋物線于點\(P\)，此時\(\vertPA\vert+\vertPF\vert=\vertPA\vert+\vertPB\vert\)最小，且最小值為\(\vertAB\vert\)。因為\(A(2,4)\)，所以\(P\)點的縱坐標為\(4\)，代入\(y^{2}=2x\)得\(16=2x\)，\(x=8\)，即\(P(8,4)\)。五、復(fù)習(xí)建議（一）夯實基礎(chǔ)要深入理解拋物線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，熟練掌握基本公式和定理。通過做一些基礎(chǔ)練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識，確保在高考中能夠準確無誤地解答基礎(chǔ)題目。（二）專題訓(xùn)練針對拋物線的熱點問題，如焦點弦、切線、與其他曲線的綜合問題等，進行專題訓(xùn)練。在訓(xùn)練過程中，總結(jié)解題方法和技巧，提高解題能力。（三）錯題反思建立錯題本，將做錯的題目整理下來，分析錯誤原因，總結(jié)解題的關(guān)鍵思路和容易出錯的地方。定期復(fù)習(xí)錯題，避免在高考中犯同樣的錯誤。（四）模擬考試定期進行模擬考試，適應(yīng)