《高中數(shù)學(xué)突破寶典_數(shù)列分層精練50題——基礎(chǔ)與核心知識點深度掌握訓(xùn)練手冊》引言在高中數(shù)學(xué)的知識體系中，數(shù)列是極為重要的一部分內(nèi)容。它不僅在高考中占據(jù)著相當(dāng)?shù)谋戎兀覍τ谂囵B(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運算能力以及數(shù)學(xué)建模能力都有著不可忽視的作用。數(shù)列問題常常與函數(shù)、方程、不等式等知識相互交融，形成綜合性較強的題目，這對學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了較高的要求。然而，許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)列時常常感到困惑，面對各種類型的數(shù)列題目，不知道從何處入手，對于數(shù)列的基本概念、性質(zhì)和解題方法掌握得不夠扎實。為了幫助同學(xué)們更好地掌握數(shù)列這一重要知識點，我們精心編寫了這本《數(shù)列分層精練50題——基礎(chǔ)與核心知識點深度掌握訓(xùn)練手冊》。通過對這50道題的分層練習(xí)，同學(xué)們能夠逐步深入理解數(shù)列的基礎(chǔ)與核心知識，提升解題能力，實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)成績的突破。數(shù)列基礎(chǔ)概念與簡單運算題等差數(shù)列基礎(chǔ)-題目1：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求該數(shù)列的首項\(a_1\)和公差\(d\)。-分析：本題直接考查等差數(shù)列的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)。我們可以根據(jù)已知條件列出關(guān)于\(a_1\)和\(d\)的方程組，然后求解。-解答：由通項公式可得\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)，用第二個方程減去第一個方程消去\(a_1\)，得到\(4d=8\)，解得\(d=2\)。將\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，可得\(a_1+2×2=5\)，解得\(a_1=1\)。-題目2：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_2+a_4+a_6=12\)，求\(a_4\)的值。-分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。在\(a_2+a_4+a_6\)中，\(a_2+a_6=2a_4\)。-解答：因為\(a_2+a_6=2a_4\)，所以\(a_2+a_4+a_6=3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。等比數(shù)列基礎(chǔ)-題目3：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，\(b_2=2\)，\(b_5=16\)，求該數(shù)列的公比\(q\)和首項\(b_1\)。-分析：利用等比數(shù)列的通項公式\(b_n=b_1q^{n-1}\)，根據(jù)已知條件列出關(guān)于\(b_1\)和\(q\)的方程組求解。-解答：由通項公式可得\(\begin{cases}b_1q=2\\b_1q^4=16\end{cases}\)，用第二個方程除以第一個方程消去\(b_1\)，得到\(\frac{b_1q^4}{b_1q}=\frac{16}{2}\)，即\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。將\(q=2\)代入\(b_1q=2\)，可得\(b_1×2=2\)，解得\(b_1=1\)。-題目4：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，若\(b_3b_7=9\)，求\(b_5\)的值。-分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(b_mb_n=b_pb_q\)。在\(b_3b_7\)中，\(b_3b_7=b_5^2\)。-解答：因為\(b_3b_7=b_5^2=9\)，所以\(b_5=±3\)。又因為等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同，所以\(b_5=3\)（當(dāng)公比\(q>0\)時）或\(b_5=-3\)（當(dāng)公比\(q<0\)時）。數(shù)列通項公式的求解由遞推公式求通項公式-題目5：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。-分析：由\(a_{n+1}=a_n+2\)可知，后一項與前一項的差為常數(shù)\(2\)，所以該數(shù)列是等差數(shù)列，公差\(d=2\)，首項\(a_1=1\)。-解答：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=1+(n-1)×2=2n-1\)。-題目6：已知數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)滿足\(b_1=1\)，\(b_{n+1}=2b_n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的通項公式。-分析：由\(b_{n+1}=2b_n\)可知，后一項與前一項的比值為常數(shù)\(2\)，所以該數(shù)列是等比數(shù)列，公比\(q=2\)，首項\(b_1=1\)。-解答：根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(b_n=b_1q^{n-1}\)，可得\(b_n=1×2^{n-1}=2^{n-1}\)。-題目7：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3a_n+2\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。-分析：我們可以通過構(gòu)造新數(shù)列的方法來求解。將\(a_{n+1}=3a_n+2\)變形為\(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+1\}\)是以\(a_1+1=2\)為首項，\(3\)為公比的等比數(shù)列。-解答：由上述分析可知\(a_n+1=2×3^{n-1}\)，所以\(a_n=2×3^{n-1}-1\)。由前\(n\)項和\(S_n\)求通項公式-題目8：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+2n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。-分析：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)，最后需要檢驗\(n=1\)時是否滿足\(n\geq2\)時的通項公式。-解答：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1^2+2×1=3\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(2×1+1=3\)，滿足上式，所以\(a_n=2n+1\)。數(shù)列求和問題等差數(shù)列求和-題目9：求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)：\(1,3,5,\cdots\)的前\(10\)項和\(S_{10}\)。-分析：首先確定該等差數(shù)列的首項\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，然后利用等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)求解。-解答：將\(a_1=1\)，\(d=2\)，\(n=10\)代入求和公式，可得\(S_{10}=10×1+\frac{10×(10-1)}{2}×2=10+90=100\)。-題目10：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_7=15\)，求該數(shù)列前\(10\)項的和\(S_{10}\)。-分析：先根據(jù)已知條件求出首項\(a_1\)和公差\(d\)，再利用求和公式計算\(S_{10}\)。-解答：由\(\begin{cases}a_1+2d=7\\a_1+6d=15\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a_1=3\\d=2\end{cases}\)。則\(S_{10}=10×3+\frac{10×(10-1)}{2}×2=30+90=120\)。等比數(shù)列求和-題目11：求等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)：\(2,4,8,\cdots\)的前\(5\)項和\(T_5\)。-分析：確定該等比數(shù)列的首項\(b_1=2\)，公比\(q=2\)，然后利用等比數(shù)列求和公式\(T_n=\begin{cases}nb_1(q=1)\\\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\end{cases}\)求解。-解答：因為\(q=2\neq1\)，所以\(T_5=\frac{2(1-2^5)}{1-2}=2(2^5-1)=2×31=62\)。-題目12：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)中，\(b_2=3\)，\(b_5=81\)，求該數(shù)列前\(4\)項的和\(T_4\)。-分析：先求出首項\(b_1\)和公比\(q\)，再根據(jù)求和公式計算\(T_4\)。-解答：由\(\begin{cases}b_1q=3\\b_1q^4=81\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}b_1=1\\q=3\end{cases}\)。則\(T_4=\frac{1×(1-3^4)}{1-3}=\frac{1-81}{-2}=40\)。錯位相減法求和-題目13：求數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)：\(1×2,2×2^2,3×2^3,\cdots,n×2^n\)的前\(n\)項和\(S_n\)。-分析：該數(shù)列是由等差數(shù)列\(zhòng)(\{n\}\)與等比數(shù)列\(zhòng)(\{2^n\}\)對應(yīng)項相乘得到的，可采用錯位相減法求和。-解答：\(S_n=1×2+2×2^2+3×2^3+\cdots+n×2^n\)①，\(2S_n=1×2^2+2×2^3+\cdots+(n-1)×2^n+n×2^{n+1}\)②。①-②得：\(-S_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n-n×2^{n+1}\)。前面\(n\)項是等比數(shù)列求和，\(-S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n×2^{n+1}=2^{n+1}-2-n×2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2\)，所以\(S_n=(n-1)2^{n+1}+2\)。裂項相消法求和-題目14：求數(shù)列\(zhòng)(\{d_n\}\)：\(\frac{1}{1×2},\frac{1}{2×3},\frac{1}{3×4},\cdots,\frac{1}{n(n+1)}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。-分析：先將數(shù)列的通項公式\(d_n=\frac{1}{n(n+1)}\)裂項為\(d_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，然后通過裂項相消法求和。-解答：\(S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)。數(shù)列綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合-題目15：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=n^2-5n+4\)。-（1）數(shù)列中有多少項是負數(shù)？-（2）\(n\)為何值時，\(a_n\)有最小值？并求出最小值。-分析：（1）令\(a_n<0\)，解不等式求出\(n\)的取值范圍，進而確定負數(shù)項的個數(shù)；（2）將\(a_n\)看作關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值。-解答：（1）令\(n^2-5n+4<0\)，即\((n-1)(n-4)<0\)，解得\(1<n<4\)。因為\(n\inN^+\)，所以\(n=2\)，\(3\)，即數(shù)列中有\(zhòng)(2\)項是負數(shù)。（2）\(a_n=n^2-5n+4=(n-\frac