高中數(shù)學(xué)數(shù)列分層練習(xí)_50題集錦詳解，助你輕松攻克核心知識點(diǎn)一、引言數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。它不僅與函數(shù)、方程、不等式等知識有著緊密的聯(lián)系，而且在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用，如儲蓄、分期付款等問題。然而，數(shù)列的知識點(diǎn)繁多，題型復(fù)雜多變，對于許多同學(xué)來說，掌握數(shù)列的相關(guān)知識并靈活運(yùn)用到解題中并非易事。為了幫助同學(xué)們更好地掌握數(shù)列這一核心知識點(diǎn)，本文精心挑選了50道數(shù)列練習(xí)題，并進(jìn)行詳細(xì)的分層解析，希望能助力同學(xué)們輕松攻克數(shù)列難題。二、數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)回顧（一）數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集\(N^+\)（或它的有限子集\(\{1,2,\cdots,n\}\)）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。（二）數(shù)列的通項公式如果數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的第\(n\)項\(a_n\)與\(n\)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。（三）等差數(shù)列1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母\(d\)表示。即\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(n\inN^+\)，\(d\)為常數(shù)）。2.通項公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項，\(d\)為公差。3.前\(n\)項和公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（四）等比數(shù)列1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母\(q\)表示（\(q\neq0\)）。即\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(n\inN^+\)，\(q\neq0\)）。2.通項公式：\(a_n=a_1q^{n-1}\)，其中\(zhòng)(a_1\)為首項，\(q\)為公比。3.前\(n\)項和公式：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)；當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}\)。三、分層練習(xí)題目及詳解（一）基礎(chǔ)鞏固題（1-15題）題目1：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=2n+1\)，求\(a_5\)的值。詳解：將\(n=5\)代入通項公式\(a_n=2n+1\)，可得\(a_5=2\times5+1=11\)。題目2：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，求\(a_{10}\)的值。詳解：由\(a_{n+1}=a_n+2\)可知該數(shù)列是公差\(d=2\)的等差數(shù)列，首項\(a_1=3\)。根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21\)。題目3：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_5=13\)，求公差\(d\)的值。詳解：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_3=a_1+2d=7\)，\(a_5=a_1+4d=13\)。用\(a_5\)的式子減去\(a_3\)的式子可得：\((a_1+4d)-(a_1+2d)=13-7\)，即\(2d=6\)，解得\(d=3\)。題目4：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=16\)，求公比\(q\)的值。詳解：根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，則\(a_2=a_1q=4\)，\(a_4=a_1q^3=16\)。用\(a_4\)的式子除以\(a_2\)的式子可得：\(\frac{a_1q^3}{a_1q}=\frac{16}{4}\)，即\(q^2=4\)，解得\(q=\pm2\)。題目5：求等差數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(4\)，\(7\)，\(\cdots\)的前\(10\)項和\(S_{10}\)。詳解：該等差數(shù)列首項\(a_1=1\)，公差\(d=4-1=3\)。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times(10-1)}{2}\times3=10+\frac{10\times9}{2}\times3=10+135=145\)。題目6：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，求\(S_3\)的值。詳解：因為\(q\neq1\)，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，可得\(S_3=\frac{2\times(1-3^3)}{1-3}=\frac{2\times(1-27)}{-2}=\frac{2\times(-26)}{-2}=26\)。題目7：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+2n\)，求\(a_3\)的值。詳解：\(a_3=S_3-S_2\)。先求\(S_3=3^2+2\times3=9+6=15\)，\(S_2=2^2+2\times2=4+4=8\)，所以\(a_3=15-8=7\)。題目8：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_7=10\)，求\(a_4\)的值。詳解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)（\(m,n,p,q\inN^+\)）。因為\(1+7=4+4\)，所以\(a_1+a_7=2a_4\)，又\(a_1+a_7=10\)，則\(2a_4=10\)，解得\(a_4=5\)。題目9：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，求\(a_5\)的值。詳解：在等比數(shù)列中，\(a_1\)，\(a_3\)，\(a_5\)也成等比數(shù)列，所以\(a_3^2=a_1a_5\)。已知\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，則\(4^2=1\timesa_5\)，解得\(a_5=16\)。題目10：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_5=25\)，求\(a_3\)的值。詳解：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，則\(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}\)。又因為在等差數(shù)列中\(zhòng)(a_1+a_5=2a_3\)，所以\(S_5=\frac{5\times2a_3}{2}=5a_3\)。已知\(S_5=25\)，則\(5a_3=25\)，解得\(a_3=5\)。題目11：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(S_3=14\)，求公比\(q\)的值。詳解：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_3=3a_1=3\times2=6\neq14\)，所以\(q\neq1\)。當(dāng)\(q\neq1\)時，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，可得\(S_3=\frac{2(1-q^3)}{1-q}=14\)，即\(1-q^3=7(1-q)\)，展開得\(1-q^3=7-7q\)，移項得\(q^3-7q+6=0\)，因式分解得\((q-1)(q-2)(q+3)=0\)，因為\(q\neq1\)，所以\(q=2\)或\(q=-3\)。題目12：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，求\(a_n\)的通項公式。詳解：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1^2=1\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(2\times1-1=1=a_1\)，所以\(a_n=2n-1\)（\(n\inN^+\)）。題目13：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=120\)，求\(a_9-\frac{1}{3}a_{11}\)的值。詳解：由等差數(shù)列性質(zhì)可知\(a_4+a_{12}=a_6+a_{10}=2a_8\)，則\(a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=5a_8=120\)，解得\(a_8=24\)。設(shè)等差數(shù)列公差為\(d\)，則\(a_9-\frac{1}{3}a_{11}=(a_8+d)-\frac{1}{3}(a_8+3d)=a_8+d-\frac{1}{3}a_8-d=\frac{2}{3}a_8=\frac{2}{3}\times24=16\)。題目14：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_2=3\)，\(a_3+a_4=12\)，求\(a_5+a_6\)的值。詳解：設(shè)等比數(shù)列公比為\(q\)，則\(a_3+a_4=(a_1+a_2)q^2\)，已知\(a_1+a_2=3\)，\(a_3+a_4=12\)，所以\(12=3q^2\)，解得\(q^2=4\)。那么\(a_5+a_6=(a_3+a_4)q^2=12\times4=48\)。題目15：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_n=19\)，\(S_n=100\)，求\(n\)的值。詳解：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，已知\(a_1=1\)，\(a_n=19\)，\(S_n=100\)，則\(100=\frac{n(1+19)}{2}\)，即\(10n=100\)，解得\(n=10\)。（二）能力提升題（16-35題）題目16：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3^n-1\)，判斷該數(shù)列是否為等比數(shù)列。詳解：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=3^1-1=2\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2\times3^{n-1}\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(2\times3^{1-1}=2=a_1\)，所以\(a_n=2\times3^{n-1}\)（\(n\inN^+\)）。\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\times3^n}{2\times3^{n-1}}=3\)（常數(shù)），所以該數(shù)列是首項為\(2\)，公比為\(3\)的等比數(shù)列。題目17：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_n\)為其前\(n\)項和，若\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，求\(S_{110}\)的值。詳解：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項為\(a_1\)，公差為\(d\)，則\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。\(S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=100\)，即\(2a_1