期末沖刺_數(shù)與式全面復(fù)習，有理數(shù)知識點大揭秘引言隨著期末考試的臨近，同學們都進入了緊張的沖刺階段。在數(shù)學學科中，“數(shù)與式”是非?；A(chǔ)且重要的內(nèi)容，它貫穿于整個初中數(shù)學學習的始終。而有理數(shù)作為數(shù)與式的開篇，更是重中之重。本文將帶領(lǐng)大家全面復(fù)習數(shù)與式中的有理數(shù)知識點，幫助同學們在期末取得優(yōu)異的成績。一、有理數(shù)的基本概念（一）正數(shù)和負數(shù)在生活中，我們常常會遇到具有相反意義的量，比如收入和支出、上升和下降等。為了表示這些具有相反意義的量，我們引入了正數(shù)和負數(shù)。大于\(0\)的數(shù)叫做正數(shù)，正數(shù)前面的“\(+\)”號通常可以省略不寫；在正數(shù)前面加上“\(-\)”號的數(shù)叫做負數(shù)。需要注意的是，\(0\)既不是正數(shù)也不是負數(shù)，它是正數(shù)和負數(shù)的分界點。例如，若規(guī)定向東走為正，那么向西走就為負。如果小明向東走了\(5\)米，可記作\(+5\)米；若他向西走了\(3\)米，則記作\(-3\)米。通過這樣的實際例子，我們能更好地理解正數(shù)和負數(shù)在生活中的應(yīng)用。（二）有理數(shù)的分類有理數(shù)可以按照不同的標準進行分類。1.按定義分類有理數(shù)可分為整數(shù)和分數(shù)。整數(shù)包括正整數(shù)、\(0\)和負整數(shù)；分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)。例如，\(5\)是正整數(shù)，\(-3\)是負整數(shù)，\(0\)是整數(shù)；\(\frac{3}{4}\)是正分數(shù)，\(-\frac{2}{5}\)是負分數(shù)。2.按性質(zhì)分類有理數(shù)可分為正有理數(shù)、\(0\)和負有理數(shù)。正有理數(shù)包括正整數(shù)和正分數(shù)；負有理數(shù)包括負整數(shù)和負分數(shù)。這種分類方式有助于我們從數(shù)的正負性角度去理解有理數(shù)。二、數(shù)軸（一）數(shù)軸的定義數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線。原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，缺一不可。（二）數(shù)軸的畫法1.畫一條水平直線。2.在直線上選取一點作為原點，用原點表示\(0\)。3.規(guī)定直線的一個方向為正方向，一般向右為正方向，并用箭頭表示。4.根據(jù)需要選取適當?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示\(1\)，\(2\)，\(3\)，…；從原點向左，每隔一個單位長度取一個點，依次表示\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，…。（三）數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，還可能表示無理數(shù)。例如，\(2\)可以用數(shù)軸上原點右邊距離原點\(2\)個單位長度的點表示；\(-\frac{3}{2}\)可以用數(shù)軸上原點左邊距離原點\(\frac{3}{2}\)個單位長度的點表示。通過數(shù)軸，我們可以直觀地比較有理數(shù)的大小，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。三、相反數(shù)（一）相反數(shù)的定義只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。特別地，\(0\)的相反數(shù)是\(0\)。例如，\(5\)和\(-5\)互為相反數(shù)，它們到原點的距離相等，只是方向相反。（二）相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)\(a\)的相反數(shù)是\(-a\)。這里的\(a\)可以是正數(shù)、負數(shù)或\(0\)。當\(a\)是正數(shù)時，\(-a\)是負數(shù)；當\(a\)是負數(shù)時，\(-a\)是正數(shù)；當\(a=0\)時，\(-a=0\)。（三）相反數(shù)在數(shù)軸上的特征互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等。這一特征可以幫助我們在數(shù)軸上直觀地理解相反數(shù)的概念。四、絕對值（一）絕對值的定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)\(a\)的點與原點的距離叫做數(shù)\(a\)的絕對值，記作\(\verta\vert\)。（二）絕對值的性質(zhì)1.正數(shù)的絕對值是它本身，即若\(a\gt0\)，則\(\verta\vert=a\)。例如，\(\vert5\vert=5\)。2.負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即若\(a\lt0\)，則\(\verta\vert=-a\)。例如，\(\vert-3\vert=-(-3)=3\)。3.\(0\)的絕對值是\(0\)，即\(\vert0\vert=0\)。（三）絕對值的非負性任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即\(\verta\vert\geq0\)。這一性質(zhì)在很多數(shù)學問題中都有重要的應(yīng)用，比如在求解方程或不等式時，常常會利用絕對值的非負性來確定未知數(shù)的取值范圍。五、有理數(shù)的大小比較（一）利用數(shù)軸比較大小在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。所以，我們可以將需要比較的有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來，然后根據(jù)它們的位置關(guān)系來比較大小。（二）利用絕對值比較大小1.兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大。例如，比較\(5\)和\(3\)的大小，因為\(\vert5\vert=5\)，\(\vert3\vert=3\)，且\(5\gt3\)，所以\(5\gt3\)。2.兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。例如，比較\(-5\)和\(-3\)的大小，因為\(\vert-5\vert=5\)，\(\vert-3\vert=3\)，且\(5\gt3\)，所以\(-5\lt-3\)。六、有理數(shù)的加減法（一）有理數(shù)的加法法則1.同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。例如，\((+3)+(+5)=+(3+5)=8\)；\((-3)+(-5)=-(3+5)=-8\)。2.異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為\(0\)；絕對值不相等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。例如，\((+5)+(-3)=+(5-3)=2\)；\((-5)+(+3)=-(5-3)=-2\)。3.一個數(shù)同\(0\)相加，仍得這個數(shù)。例如，\(0+(+5)=5\)；\(0+(-3)=-3\)。（二）有理數(shù)加法的運算律1.加法交換律：\(a+b=b+a\)。例如，\(3+5=5+3=8\)。2.加法結(jié)合律：\((a+b)+c=a+(b+c)\)。例如，\((2+3)+5=2+(3+5)=10\)。利用加法運算律可以使有理數(shù)的加法運算更加簡便。（三）有理數(shù)的減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即\(a-b=a+(-b)\)。例如，\(5-3=5+(-3)=2\)；\(3-5=3+(-5)=-2\)。通過減法法則，我們可以將有理數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算。七、有理數(shù)的乘除法（一）有理數(shù)的乘法法則1.兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。例如，\((+3)\times(+5)=15\)；\((-3)\times(-5)=15\)；\((+3)\times(-5)=-15\)。2.任何數(shù)與\(0\)相乘，都得\(0\)。例如，\(0\times5=0\)；\(0\times(-3)=0\)。（二）有理數(shù)乘法的運算律1.乘法交換律：\(ab=ba\)。例如，\(3\times5=5\times3=15\)。2.乘法結(jié)合律：\((ab)c=a(bc)\)。例如，\((2\times3)\times5=2\times(3\times5)=30\)。3.乘法分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)。例如，\(3\times(2+5)=3\times2+3\times5=21\)。乘法運算律在有理數(shù)乘法運算中起著重要的簡化作用。（三）有理數(shù)的除法法則1.除以一個不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即\(a\divb=a\times\frac{1}(b\neq0)\)。例如，\(6\div3=6\times\frac{1}{3}=2\)；\(6\div(-3)=6\times(-\frac{1}{3})=-2\)。2.兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。\(0\)除以任何一個不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。八、有理數(shù)的乘方（一）乘方的定義求\(n\)個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在\(a^n\)中，\(a\)叫做底數(shù)，\(n\)叫做指數(shù)，\(a^n\)讀作“\(a\)的\(n\)次方”或“\(a\)的\(n\)次冪”。例如，\(2^3\)表示\(3\)個\(2\)相乘，即\(2^3=2\times2\times2=8\)。（二）乘方的符號法則1.正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。例如，\(3^2=9\)，\(3^3=27\)。2.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。例如，\((-2)^3=-8\)，\((-2)^4=16\)。3.\(0\)的任何正整數(shù)次冪都是\(0\)。例如，\(0^3=0\)，\(0^4=0\)。九、有理數(shù)的混合運算有理數(shù)的混合運算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。例如，計算\(2+3\times(-2)^2\)，先算乘方\((-2)^2=4\)，再算乘法\(3\times4=12\)，最后算加法\(2+12=14\)。在進行有理數(shù)混合運算時，要嚴格按照運算順序進行計算，同時要注意合理運用運算律簡化計算。十、總結(jié)有理數(shù)的知識點繁多且相互關(guān)聯(lián)，在期末復(fù)習時，同學們要系統(tǒng)地掌握這些知識點，理解其概念